山东省德州市禹城市齐鲁中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、根据题意可得，该方程是分式方程，∴A不符合题意；
B、根据题意可得，该方程化简后为一元一次方程，∴B不符合题意；
C、根据题意可得，该方程是一元二次方程，∴C符合题意；
D、根据题意可得，当a=0时，该方程不是一元二次方程，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义逐项分析判断即可.
2．把方程化成的形式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程配方法的计算方法分析求解即可.
3．将抛物线平移，使它与抛物线重合．则平移的方式可以是（ ）
A．向左平移2个单位，向上平移4个单位
B．向左平移2个单位，向下平移4个单位
C．向右平移2个单位，向上平移4个单位
D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵，
∴将函数向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析为，
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
根据题意可得：，
故答案为：D.
【分析】设四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，根据“该楼常驻人口285人”列出方程即可.
5．若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0 B．1或9 C．或 D．0或或
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当m=0时，
函数为与x轴只有一个交点，符合题意；
②当m≠0时，
∵函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得：m1=-1，m2=-9，
综上，m的值为0或-1或-9，
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当m=0时，②当m≠0时，再利用根的判别式列出方程求出m的值即可.
6．设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可.
7．已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C（-3，y3）关于对称轴的对称点为C'（5，y3），
∵抛物线的开口向上，
∴当x≥1时，函数值y随x的增大而增大，
∵3<4<5，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出当x≥1时，函数值y随x的增大而增大，结合3<4<5，可得.
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，即，
解得：且，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组，再求解即可.
9．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵A、根据抛物线图象可得，a>0，b<0，c>0，根据直线图象可得，c<0，b<0，∴A不符合题意；
B、∵根据抛物线图象可得，a>0，b>0，c>0，根据直线图象可得，c>0，b<0，∴B不符合题意；
C、∵根据抛物线图象可得，a<0，b>0，c>0，根据直线图象可得，c<0，b>0，∴C不符合题意；
D、∵根据抛物线图象可得，a<0，b<0，c>0，根据直线图象可得，c>0，b<0，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象和抛物线的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
10．如图，平面直角坐标系中，点A，B，C，D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点的抛物线可能还经过（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线经过点M（1，-2）时，可得：m+2m+n=-2，即n=-3m-2，
A、当抛物线经过点A（2，-3）时，可得：4m+4m+n=8m+（-3m-2）=5m-2=-3，解得：，
∵m＞0与矛盾，
∴A不符合题意；
B、当抛物线经过点B（-1，0）时，可得：m-2m+（-3m-2）=-4m-2=0，解得：，
∵m＞0与矛盾，
∴B不符合题意；
C、当抛物线经过点C（-2，1）时，可得：4m-4m+（-3m-2）=-3m-2=1，解得：，
∵m＞0与矛盾，
∴C不符合题意；
D、当抛物线经过点D（-4，-1）时，可得：16m-8m+（-3m-2）=5m-2=-1，解得：，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】先将点M代入解析式求出m+2m+n=-2，即n=-3m-2，再将各选项分别代入解析式求出m的值，再判断即可.
11．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
整理可得：，
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】先求出方程，再利用根的判别式求解即可.
12．如图，抛物线（）与x轴交于点A、B，顶点为C．对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④若点A的坐标为，则；⑤若点B的坐标为，当时，；⑥若，是抛物线上两点（），则．其中正确结论的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴ab<0，
∵抛物线交在y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
∴①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，
∴，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数由最大值，
∴，
∴，
∴③不正确；
④∵点A的坐标为（-2，0），
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∵，
∴b=-2a，
∴3a+c>0，
∴④不正确；
⑤当点B的坐标为（4，0）时，
则点A的坐标为（-2，0），
∴当-2
∴⑤正确；
⑥根据图象可知，当x>1时，y随x的增大而减小，
∴，，
∴⑥正确；
综上，正确的结论是①②⑤⑥，共4个，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（2020九上·梁子湖期中）当方程 是关于x一元二次方程时， 的值 ；
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解(1)得，m=±1，
当m=1时，m 1=0，不合题意，
当m= 1时，m 1≠0，故m= 1.
故答案为：-1.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.
14．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】根据抛物线的形状与的形状相同，可得，再利用顶点式求出函数解析式即可.
15．已知x为实数，且满足，那么的值为 ．
【答案】1
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令y=，
则原方程可变形为，
解得：y1=-3，y2=1，
∴的值为-3或1，
当时，∵△=12-4×1×4<0，∴x不是实数，舍掉；
当时，经检验，△>0，∴x是实数，符合题意；
综上，的值为1，
故答案为：1.
【分析】利用换元法求解一元二次方程即可.
16．已知二次函数，当时，函数值的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
①当x=-1时，函数值，
②当x=3时，函数值
③当x=2时，函数值，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：.
【分析】先将x=-1和x=3分别代入解析式求出y的值，再根据当x=2时，可得函数值y的最小值，最后可得y的取值范围.
17．已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据当时，y的值随x值的增大而减小，
可得抛物线的开口向上，则m>0，且对称轴为，
解得m≤3，
综上，m的取值范围为，
故答案为：.
【分析】利用抛物线对称轴的左侧的增减性可得m>0，再根据求出m≤3，可得m的取值范围.
18．某公园草坪的防护栏的形状是抛物线，如图所示，为了牢固起见，在护拦跨径之间按0.4米的间距加设了4根不锈钢支柱，已知防护栏的最高点距底部0.5米，则所需这4根不锈钢支柱总长度为 ．
【答案】1.6m
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：
根据题意可得：A点的坐标为（-1，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，0.5），点D的坐标为（0.2，0），点F的坐标为（0.6，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+1），
将点C（0，0.5）代入解析式可得a=-0.5，
∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+0.5，
当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32，
∴DE=0.48，FP=0.32，
∴每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2×（DE+FP）=2×（0.48+0.32）=1.6m，
故答案为：1.6m.
【分析】先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出y=-0.5x2+0.5，再将x=0.2和x=0.6分别代入解析式求出y的值，可得DE和FP的长，最后求出答案即可.
三、解答题（共78分）
19．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原方程化为，，，，
所以，
所以方程有两个不相等的实数根，
即，
（2）解：原方程可化为，
所以，
所以，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
20．（2021·黄石）已知关于 的一元二次方程 有实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是
（2）解：由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）解：，
顶点坐标为
（2）解：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）将点（2，-3）代入，
可得：-3=22+2b-3，
解得：b=-2，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），
故答案为：；（1，-4）；
（2）将y=-3代入解析式，
可得：，
解得：x1=0，x2=2，
∴当时， 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】（1）将点（2，-3）代入解析式求出b的值，再利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得顶点坐标；
（2）将y=-3代入解析式求出x的值，再结合函数图象直接求出x的取值范围即可.
22．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设橱栏长为x米．
（1） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏面积为210平方米，求橱栏的长；
（3）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【答案】（1）（）
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏面积不可能达到240平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：AB=51-3x，
故答案为：；
【分析】（1）利用橱栏的总长度求出AB的长即可；
（2）利用“ 矩形围栏面积为210平方米 ”列出方程，再求解即可；
（3）根据题意列出方程，再利用根的判别式求解即可.
23．某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：
（2）解：根据题意可得：
，
解得：，（舍去）；
当每本足球纪念册销售单价为50元时，商店每天获利2400元
（3）解：，
∵，对称轴为直线
∴二次函数开口方向向下
当时，w随着x的增大而增大，
而，
∴当时，
w有最大值为，此时最大利润为元
【知识点】列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意直接列出函数解析式并求出x的取值范围即可；
（2）根据“每天获利2400元”列出方程，再求解即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可.
24．（2021九上·江阴月考）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.
（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
【答案】（1）解：设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，
∴ (6﹣x) 2x= × ×6×8，
∴x2﹣6x+12=0.
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）解：设t秒后，△PBQ的面积为1.分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4.
由题意知： (6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+ （不合题意，应舍去），t2=5﹣ ；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知： (6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5.
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+ ，t2=5- （不合题意，应舍去）.
综上所述：经过5- 秒、5秒或5+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2.
故答案为：（1）不能；（2）5﹣ 秒、5秒或5+ 秒.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，结合题意可得(6-x)·2x=××6×8，据此判断；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1，当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4，由题意可得：(6-t)(8-2t)=1，求解即可；同理可求出点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上；点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上，对应的t的值.
25．如图1，抛物线：与抛物线：开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线上方抛物线C上的一个动点，连接，，M运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）解：．
（2）解：存在．．
（3）解：的最大值为，此时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）将y=0代入，可得，
解得：x1=0，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OB=2，
∵OA=2OB，
∴OA=4，
∴点A的坐标为（4，0），
∵抛物线和开口大小相同、方向相反，
∴a=-1，
∴抛物线为
将点A（4，0）代入，
可得：0=-16+4b，
解得：b=4，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：；
（2）联立和表达式可得：，
解得：x1=0，x2=3，
∴点C的坐标为（3，3），
作点C关于C2对称轴的对称点C'为（1，3），连接AC'交函数C2的对称轴于点P，如图所示：
此时PA+PC的值最小为线段AC'的长=，
此时点P的坐标为（2，2），
故答案为：P（2，2）；
（3）根据题意可得，直线OC的解析式为y=x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，如图所示：
设点M的坐标为（x，-x2+4x），则点H的坐标为（x，x），
∴S△MOC=×MH×xC=×（-x2+4x-x）==，
∴当x=时，S△MOC最大为，此时点M的坐标为，
故答案为：；.
【分析】（1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点C关于C2对称轴的对称点C'为（1，3），连接AC'交函数C2的对称轴于点P，再求出点P的坐标即可；
（3）过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M的坐标为（x，-x2+4x），则点H的坐标为（x，x），再求出S△MOC=×MH×xC=×（-x2+4x-x）==，最后利用二次函数的性质求解即可.
山东省德州市禹城市齐鲁中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把方程化成的形式，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．将抛物线平移，使它与抛物线重合．则平移的方式可以是（ ）
A．向左平移2个单位，向上平移4个单位
B．向左平移2个单位，向下平移4个单位
C．向右平移2个单位，向上平移4个单位
D．向右平移2个单位，向下平移4个单位
4．某小区A楼居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．0 B．1或9 C．或 D．0或或
6．设a，b是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
7．已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
9．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，平面直角坐标系中，点A，B，C，D都在边长为1的小正方形网格的格点上，过点的抛物线可能还经过（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
11．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例．若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
12．如图，抛物线（）与x轴交于点A、B，顶点为C．对称轴为直线．给出下列结论：①；②；③；④若点A的坐标为，则；⑤若点B的坐标为，当时，；⑥若，是抛物线上两点（），则．其中正确结论的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（每题4分，共24分）
13．（2020九上·梁子湖期中）当方程 是关于x一元二次方程时， 的值 ；
14．如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为 ．
15．已知x为实数，且满足，那么的值为 ．
16．已知二次函数，当时，函数值的取值范围为 ．
17．已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 ．
18．某公园草坪的防护栏的形状是抛物线，如图所示，为了牢固起见，在护拦跨径之间按0.4米的间距加设了4根不锈钢支柱，已知防护栏的最高点距底部0.5米，则所需这4根不锈钢支柱总长度为 ．
三、解答题（共78分）
19．解方程：
（1）
（2）
20．（2021·黄石）已知关于 的一元二次方程 有实数根.
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值.
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．
22．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的橱栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设橱栏长为x米．
（1） 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏面积为210平方米，求橱栏的长；
（3）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
23．某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．
（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
24．（2021九上·江阴月考）如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm.
（1）点 P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由.
（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点 Q沿射线 CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？
25．如图1，抛物线：与抛物线：开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；
（3）M是直线上方抛物线C上的一个动点，连接，，M运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、根据题意可得，该方程是分式方程，∴A不符合题意；
B、根据题意可得，该方程化简后为一元一次方程，∴B不符合题意；
C、根据题意可得，该方程是一元二次方程，∴C符合题意；
D、根据题意可得，当a=0时，该方程不是一元二次方程，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程配方法的计算方法分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵，
∴将函数向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后的解析为，
故答案为：B.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，
根据题意可得：，
故答案为：D.
【分析】设四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，根据“该楼常驻人口285人”列出方程即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当m=0时，
函数为与x轴只有一个交点，符合题意；
②当m≠0时，
∵函数的图象与x轴只有一个交点，
∴，
解得：m1=-1，m2=-9，
综上，m的值为0或-1或-9，
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①当m=0时，②当m≠0时，再利用根的判别式列出方程求出m的值即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a，b是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C（-3，y3）关于对称轴的对称点为C'（5，y3），
∵抛物线的开口向上，
∴当x≥1时，函数值y随x的增大而增大，
∵3<4<5，
∴，
故答案为：D.
【分析】先求出抛物线的对称轴，再求出当x≥1时，函数值y随x的增大而增大，结合3<4<5，可得.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，即，
解得：且，
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列出不等式组，再求解即可.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵A、根据抛物线图象可得，a>0，b<0，c>0，根据直线图象可得，c<0，b<0，∴A不符合题意；
B、∵根据抛物线图象可得，a>0，b>0，c>0，根据直线图象可得，c>0，b<0，∴B不符合题意；
C、∵根据抛物线图象可得，a<0，b>0，c>0，根据直线图象可得，c<0，b>0，∴C不符合题意；
D、∵根据抛物线图象可得，a<0，b<0，c>0，根据直线图象可得，c>0，b<0，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用一次函数的图象和抛物线的图象与系数的关系逐项分析判断即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线经过点M（1，-2）时，可得：m+2m+n=-2，即n=-3m-2，
A、当抛物线经过点A（2，-3）时，可得：4m+4m+n=8m+（-3m-2）=5m-2=-3，解得：，
∵m＞0与矛盾，
∴A不符合题意；
B、当抛物线经过点B（-1，0）时，可得：m-2m+（-3m-2）=-4m-2=0，解得：，
∵m＞0与矛盾，
∴B不符合题意；
C、当抛物线经过点C（-2，1）时，可得：4m-4m+（-3m-2）=-3m-2=1，解得：，
∵m＞0与矛盾，
∴C不符合题意；
D、当抛物线经过点D（-4，-1）时，可得：16m-8m+（-3m-2）=5m-2=-1，解得：，
∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】先将点M代入解析式求出m+2m+n=-2，即n=-3m-2，再将各选项分别代入解析式求出m的值，再判断即可.
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
整理可得：，
∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：C.
【分析】先求出方程，再利用根的判别式求解即可.
12．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线的开口向下，
∴a<0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴ab<0，
∵抛物线交在y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，
∴①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac>0，
∴，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x=1时，函数由最大值，
∴，
∴，
∴③不正确；
④∵点A的坐标为（-2，0），
∴当x=-1时，y=a-b+c>0，
∵，
∴b=-2a，
∴3a+c>0，
∴④不正确；
⑤当点B的坐标为（4，0）时，
则点A的坐标为（-2，0），
∴当-2
∴⑤正确；
⑥根据图象可知，当x>1时，y随x的增大而减小，
∴，，
∴⑥正确；
综上，正确的结论是①②⑤⑥，共4个，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解(1)得，m=±1，
当m=1时，m 1=0，不合题意，
当m= 1时，m 1≠0，故m= 1.
故答案为：-1.
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：.
【分析】根据抛物线的形状与的形状相同，可得，再利用顶点式求出函数解析式即可.
15．【答案】1
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：令y=，
则原方程可变形为，
解得：y1=-3，y2=1，
∴的值为-3或1，
当时，∵△=12-4×1×4<0，∴x不是实数，舍掉；
当时，经检验，△>0，∴x是实数，符合题意；
综上，的值为1，
故答案为：1.
【分析】利用换元法求解一元二次方程即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
①当x=-1时，函数值，
②当x=3时，函数值
③当x=2时，函数值，
∴当时，函数值y的取值范围为，
故答案为：.
【分析】先将x=-1和x=3分别代入解析式求出y的值，再根据当x=2时，可得函数值y的最小值，最后可得y的取值范围.
17．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据当时，y的值随x值的增大而减小，
可得抛物线的开口向上，则m>0，且对称轴为，
解得m≤3，
综上，m的取值范围为，
故答案为：.
【分析】利用抛物线对称轴的左侧的增减性可得m>0，再根据求出m≤3，可得m的取值范围.
18．【答案】1.6m
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：
根据题意可得：A点的坐标为（-1，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，0.5），点D的坐标为（0.2，0），点F的坐标为（0.6，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+1），
将点C（0，0.5）代入解析式可得a=-0.5，
∴抛物线的解析式为y=-0.5x2+0.5，
当x=0.2时，y=-0.5×0.22+0.5=0.48，
当x=0.6时，y=-0.5×0.62+0.5=0.32，
∴DE=0.48，FP=0.32，
∴每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2×（DE+FP）=2×（0.48+0.32）=1.6m，
故答案为：1.6m.
【分析】先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出y=-0.5x2+0.5，再将x=0.2和x=0.6分别代入解析式求出y的值，可得DE和FP的长，最后求出答案即可.
19．【答案】（1）解：原方程化为，，，，
所以，
所以方程有两个不相等的实数根，
即，
（2）解：原方程可化为，
所以，
所以，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法的计算方法求解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法的计算方法求解一元二次方程即可。
20．【答案】（1）解：由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是
（2）解：由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴
即 的值为-2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）若一元二次方程有两个实数根，则b2-4ac≥0；由此可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1·x2的值；再将已知条件转化为（x1+x2）2-21·x2=12，再整体代入可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值.
21．【答案】（1）解：，
顶点坐标为
（2）解：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：（1）将点（2，-3）代入，
可得：-3=22+2b-3，
解得：b=-2，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），
故答案为：；（1，-4）；
（2）将y=-3代入解析式，
可得：，
解得：x1=0，x2=2，
∴当时， 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】（1）将点（2，-3）代入解析式求出b的值，再利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得顶点坐标；
（2）将y=-3代入解析式求出x的值，再结合函数图象直接求出x的取值范围即可.
22．【答案】（1）（）
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，
不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏面积不可能达到240平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：AB=51-3x，
故答案为：；
【分析】（1）利用橱栏的总长度求出AB的长即可；
（2）利用“ 矩形围栏面积为210平方米 ”列出方程，再求解即可；
（3）根据题意列出方程，再利用根的判别式求解即可.
23．【答案】（1）解：
（2）解：根据题意可得：
，
解得：，（舍去）；
当每本足球纪念册销售单价为50元时，商店每天获利2400元
（3）解：，
∵，对称轴为直线
∴二次函数开口方向向下
当时，w随着x的增大而增大，
而，
∴当时，
w有最大值为，此时最大利润为元
【知识点】列一次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意直接列出函数解析式并求出x的取值范围即可；
（2）根据“每天获利2400元”列出方程，再求解即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可.
24．【答案】（1）解：设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，
∴ (6﹣x) 2x= × ×6×8，
∴x2﹣6x+12=0.
∵b2﹣4ac＜0，
此方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）解：设t秒后，△PBQ的面积为1.分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4.
由题意知： (6﹣t)(8﹣2t)=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+ （不合题意，应舍去），t2=5﹣ ；
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知： (6﹣t)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5.
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知： (t﹣6)(2t﹣8)=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+ ，t2=5- （不合题意，应舍去）.
综上所述：经过5- 秒、5秒或5+ 秒后，△PBQ的面积为1cm2.
故答案为：（1）不能；（2）5﹣ 秒、5秒或5+ 秒.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分，由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6-x，结合题意可得(6-x)·2x=××6×8，据此判断；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1，当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4，由题意可得：(6-t)(8-2t)=1，求解即可；同理可求出点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上；点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上，对应的t的值.
25．【答案】（1）解：．
（2）解：存在．．
（3）解：的最大值为，此时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）将y=0代入，可得，
解得：x1=0，x2=2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OB=2，
∵OA=2OB，
∴OA=4，
∴点A的坐标为（4，0），
∵抛物线和开口大小相同、方向相反，
∴a=-1，
∴抛物线为
将点A（4，0）代入，
可得：0=-16+4b，
解得：b=4，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：；
（2）联立和表达式可得：，
解得：x1=0，x2=3，
∴点C的坐标为（3，3），
作点C关于C2对称轴的对称点C'为（1，3），连接AC'交函数C2的对称轴于点P，如图所示：
此时PA+PC的值最小为线段AC'的长=，
此时点P的坐标为（2，2），
故答案为：P（2，2）；
（3）根据题意可得，直线OC的解析式为y=x，
过点M作y轴的平行线交OC于点H，如图所示：
设点M的坐标为（x，-x2+4x），则点H的坐标为（x，x），
∴S△MOC=×MH×xC=×（-x2+4x-x）==，
∴当x=时，S△MOC最大为，此时点M的坐标为，
故答案为：；.
【分析】（1）先求出点B的坐标，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作点C关于C2对称轴的对称点C'为（1，3），连接AC'交函数C2的对称轴于点P，再求出点P的坐标即可；
（3）过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M的坐标为（x，-x2+4x），则点H的坐标为（x，x），再求出S△MOC=×MH×xC=×（-x2+4x-x）==，最后利用二次函数的性质求解即可.
