北师大版数学九年级下册综合复习自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．3tan 60°的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
第2题图 第4题图 第6题图
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知∠ABC＝60°，点D为BA边上一点，BD＝10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．5
5．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
6. 如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5 m，坡面AB的坡度为1:，则AB的长度为（ ）
A．10 m B．10 m C．5 m D．5 m
7．（2022·荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（ ）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
8. 如图，以□ABCD的边AB为直径的⊙O，与DC相切于点E，与AD相交于点F.若AB=12，∠C=60 ，则弧FE的长为（ ）
A. B. C.πD. 2
第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为AB上一点，且AE＝4BE．过点E作EF⊥AC于点F，连接BF，则tan∠CFB的值为（ ）
A． B． C． D．
10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的坐标为（1，2），下列结论：①abc<0；②a<；③4a+2b+c>0；④c<.其中正确的个数是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 函数y=x2-5的最小值为 .
如图，当太阳光线与水平地面成30°角时，一棵树的影长为24 m，则该树的高为 m.
第12题图 第13题图 第14题图
13.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若△COD为直角三角形，则∠E的度数为 ．
14．如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B处．若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为 ．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则阴影部分的面积为____________.（结果保留π）
第15题图 第16题图
16.如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接PD，Q为PD的中点．下列说法：①点D在⊙I上；②IQ⊥PD；③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；④线段BQ的长可以是4．其中正确的是 .（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（6分）2tan 45°－-2sin 260°+.
18.（6分）（2022·广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
第18题图 第19题图
19.（6分）（2022·河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
20.（8分）如图①，九龙鼎是洛阳的一座标志性建筑，代表东周、东汉、魏、西晋、北魏、隋、唐、后梁、后唐等九个朝代在这里建都．如图②，某中学九年级数学兴趣小组想测量九龙鼎的高度，小明在九龙鼎AB前的一座写字楼CD的E处仰望九龙鼎的顶端A，测得仰角为22°，小亮在写字楼前F处，测得九龙鼎的顶端A的仰角为45°，已知点B，F，D在同一条直线上，DE＝13米，DF＝17米，求九龙鼎AB的高度．（参考数据；sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，≈1.41）
②
第20题图
21.（8分）某超市购进一批水果，成本为8元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/千克）与时间第x天之间满足函数关系式m＝x+18（1≤x≤10，x为整数），又通过分析销售情况发现，每天销售量y（千克）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．
时间第x天 … 2 5 9 …
销售量y/千克 … 33 30 26 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元？
22.（8分）（2022·宜宾）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是AB的延长线上一点，在OA上取一点F，过点F作AB的垂线交AC于点G，交DC的延长线于点E，且EG＝EC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若F是OA的中点，BD＝4，sin D＝，求EC的长．
第22题图
23. （10分）（2022·济宁）知识再现 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．因为sinA＝，sinB＝，所以c＝，c＝．所以．
拓展探究 如图②，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题 如图③，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60 m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
① ② ③
第23题图
24.（12分）（2022·泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一交点为C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．
①若点N在线段OC上，且MN＝3NC，求点M的坐标；
②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标．
第24题图 备用图
下册综合自我评估参考答案
答案详解
三、17. 0.
18.解：（1）△ABC是等腰直角三角形.
证明：因为AC为⊙O的直径，所以∠ADC＝∠ABC＝90°.
因为∠ADB＝∠CDB，所以，所以AB＝BC.所以△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，由勾股定理，得AC＝2.
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，由勾股定理，得CD＝，即CD的长为．
解：（1）因为y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，所以抛物线C的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4.
将P（a，3）代入y＝﹣（a﹣6）2+4，解得a＝5或a＝7.因为点P在对称轴的右侧，所以a＝7.
（2）因为平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣9＝﹣（x﹣3）2，所以平移后抛物线的顶点坐标为（3，0）.因为平移前抛物线的顶点坐标为（6，4），所以点P′移动的最短路程＝＝5．
20．解：过点E作EG⊥AB于点G，则四边形BDEG是矩形．所以BG＝DE＝13，BD＝EG．
设BF＝x米，则BD＝EG＝（17+x）米．
在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，所以AB＝BF＝x．所以AG＝AB﹣BG＝x﹣13．
在Rt△AEG中，∠AEG＝22°，tan∠AEG＝，所以≈0.40．解得x＝33．
答：九龙鼎AB的高度约为33米．
21.解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b.
将（2,33），（5,30）代入，得解得，
所以y与x的函数关系式为y＝﹣x+35（1≤x≤10，x为整数）.
（2）设销售这种水果的日利润为w元.
根据题意，得w＝（﹣x+35）＝﹣x2+x+350＝﹣+.
因为1≤x≤10，x为整数，所以当x＝7或x＝8时，w取得最大值，最大值为378.
所以在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元．
22.（1）证明：连接OC.因为EG＝EC，OA＝OC，所以∠EGC＝∠ECG，∠A＝∠OCA.
因为EF⊥AB，所以∠GFA＝90°.所以∠A+∠AGF＝90°.
又因为∠AGF＝∠EGC，所以∠OCA+∠ECG＝∠OCE＝90°，即OC⊥DE.
因为OC为⊙O的的半径，所以DE是⊙O的切线.
（2）解：由（1）知∠OCD＝90°.
在Rt△OCD中，BD＝4，sin D＝==＝，解得OC＝2.
所以OD＝6.所以DC＝＝＝4.
因为F是OA的中点，所以OF＝1.所以DF＝7.
因为∠EFD＝∠OCD，∠D＝∠D，所以△EFD∽△OCD.所以，即，解得DE＝.
所以EC＝ED﹣DC＝﹣4＝.
解：拓展探究 过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE中，sin B＝，在Rt△ACE中，sin，所以AE＝csinB＝bsin∠BCA.
所以=.
在Rt△BCD中，sin B＝，在Rt△CAD中，sin，所以CD＝asinB=bsin∠BAC.
所以=. 所以==，即==.
解决问题 在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°.
因为=，所以，解得AB＝30.所以点A到点B的距离为30m．
解：（1）因为二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点B（0，﹣4），所以c＝﹣4.
因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，经过点A（﹣2，0），所以解得
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣4.
（2）①设直线AB的表达式为y＝kx+n.因为直线AB经过点B（0，﹣4），所以n＝﹣4.
将A（﹣2，0）代入y＝kx-4，解得k=-2.所以直线AB的表达式为y＝﹣2x﹣4.
因为A，C关于直线x＝1对称，所以C（4，0）.
设N（m，0），则M（m，﹣2m﹣4）.因为MN＝3NC，所以2m+4＝3（4﹣m），解得m＝.所以M.
②如图，连接PQ，MN交于点E．设M（t，﹣2t﹣4），则N（t，0）.
因为四边形MPNQ是正方形，所以PQ⊥MN，NE＝EP，NE＝MN.所以PQ∥x轴.
所以E（t，﹣t﹣2）.所以NE＝t+2.所以P（2t+2，﹣t﹣2）.
将P（2t+2，﹣t﹣2）代入y＝x2﹣x﹣4上，解得t1＝，t2＝﹣2.
因为点P在第四象限，所以t＝.所以点M的坐标为．
答案速览
一、1. D 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. D 8. C 9. D 10. A
二、11. 5 12. 8 13. 22.5° 14. 15. 16. ①②③
三、解答题见“答案详解”
第24题图
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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