2023-2024 学年度上学期第二次月考
则满足 ，解得 S＞4，...........9 分
高二数学参考答案
一.单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 所以 S 的取值范围是（4，+∞）．...........10 分
1．B． 2．D． 3．C． 4．C． 5．B． 6．B． 7．A． 8．A．
二.多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 18．解：（1）设圆 C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（0＜r＜6），
9．AD． 10．ACD． 11．BCD． 12．ABC． 因为圆 C 过点 A（8，1），所以（8﹣a）2+（1﹣b）2＝r2，...........1 分
三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 又因为圆 C 两坐标轴均相切，所以得 a＞0，b＞0 且 a＝b＝r，........2 分
2 2 2
13．[0，1]． 14．150． 15． ． 16． 或 ． 则（8﹣r） +（1﹣r） ＝r，解得 r＝13 或 r＝5，...........4 分
因为圆 C 的半径小于 6，所以 r＝5，即 a＝b＝5，...........5 分
四.解答题：本题共 6 题，共 70 分.
所以 C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．...........6 分
17．解：（1）因为过点 A（﹣1，2）且斜率为 k 的直线 l 与 x 轴负半轴及 y 轴正半轴分别
（2）如果选择条件①：
交于点 B，C，如图所示，可得斜率 k＞0，设直线 l的倾斜角为 ，
由∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝5，得∠CAB＝∠CBA＝30°，...........7 分
则 ，...........2 分
过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则 ，...........8 分
所以 ，
所以圆心 C 到直线 l 的距离 ，...........10 分
可得 ，...........3 分
则 ，解得 m＝ ；.........12 分
所以当 sin2θ＝1 时，即 时，|AB| |AC|取得最小值 4；...........5 分
如果选择条件②： ，
（2）根据题意，设直线 l 的方程为 y﹣2＝k（x+1），即 y＝kx+k+2， 在△ABC 中，|CA|＝|CB|＝5，
可得 ，所以 ，...........7 分 由余弦定理得 ，
整理得 k2+（4﹣2S）k+4＝0，...........8 分 所以∠ACB＝120°，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，...........8 分
因为对于每一个 S 的值满足条件的 k 值只有 2 个， 则 ，...........9 分
所以该方程有 2 个不同的正根，
所以圆心 C 到直线 l 的距离 ，...........10 分
则 ， 解得 m＝ ．...........12 分
第二次月考 高二 数学参考答案 第 1页 共 4 页
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19．解：（1）二项式 的展开式中，M＝1， 而 r∈N，因此 r＝2 或 r＝3，所以，
， ，...........1 分
展开式中系数最大的项是 ， ．...........12 分
依题意， ，即 n2﹣9n+8＝0，
20．解：（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件 A1，
显然 n＞1，解得 n＝8，...........2 分
“取到乙袋”为事件 A2，“试验结果为红球”为事件 B1，
展开式的通项为 ，r∈N，r≤8； “试验结果为白球”为事件 B2，...........1 分
，
当 不是整数，即 r∈{1，2，3，5，6，7}时，Tr+1是无理项，
所以试验一次结果为红球的概率为 ．...........4 分
当 r 分别取 1，2，3，5，6，7 时，
（2）①因为 B1，B2是对立事件，P（B2）＝1﹣P（B1）＝1﹣ ＝ ，...........5 分
对应项的系数分别为 4，7，7， ，...........5 分
从
所以 ＝ ＝ ＝ ，
这 5 个数中取 3 个不同数分别为 a，b，c 使 a＞b＞c，
有 种取法，每种取法确定一条直线， 所以选到的袋子为甲袋的概率为 ．...........7 分
所以不同直线 l 的条数是 10．...........6 分 ②由①得，P（A2|B2）＝1﹣P（A1|B2）＝1﹣ ＝ ，
（2）由（1）知， 展开式的通项为 所以方案一中取到红球的概率为：
P1＝P（A1|B2）P（B1|A1）+P（A2|B2）P（B1|A2）＝ ，.......9 分
，r∈N，r≤8． 方案二中取到红球的概率为：
P2＝P（A2|B2）P（B1|A1）+P（A1|B2）P（B1|A2）＝ ＝ ，.....11 分
令第 r+1 项的系数最大，则有 ，...........8 分 因为 ，所以方案二中取到红球的概率更大．...........12 分
整理得 ，解得 2≤r≤3，...........10 分
第二次月考 高二 数学参考答案 第 2页 共 4 页
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2 2 2 2
21．解：（1）已知双曲线 ， 此时﹣（1+k ） +（m+2k ） +m +4k ＝0，
C 2 2 2所以双曲线 的虚轴长 2b＝2 ， 整理得 3（m ﹣1）+（5+4m﹣m ）k ＝0对任意的 k≠± 总成立，..........9 分
所以 m2﹣1＝0，5+4m﹣m2＝0，
离心率 e＝ ＝ ＝2；...........2 分
解得 m＝﹣1，
（2）证明：易知 A，B 两点关于原点对称， 即所求的定点 M 的坐标为（﹣1，0）．..........10 分
不妨设 A（m，n），B（﹣m，﹣n）， 当直线 l 的斜率不存在时，
此时 3m2﹣n2＝3，不妨设 P（x，y）， 此时 l 的方程为 x＝2，A（2，3），B（2，﹣3）或 B（2，3），A（2，﹣3），
可得 3x2﹣y2＝3，即 y2﹣n2＝3（x2﹣m2），
易得 ＝﹣3+3＝0．..........11 分
所以 k k ＝ ＝ ＝3 为定值；...........6 分 综上，定点 M 的坐标为（﹣1，0）．...........12 分PA PB
（3）双曲线的右焦点为 F2（2，0），当直线 l 的斜率存在时，
不妨设直线 l 的方程为：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），
22．解：（1）由题意得 2c＝2，c＝1，
因为 ＝0，所以（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2＝0， 又 e＝ ＝ ＝ ，∴a＝ ，b＝ ，
此时 y1＝k（x1﹣2），y2＝k（x2﹣2），
整理得（1+k2）x1x2﹣（m+2k
2）（x +x ）+m2+4k21 2 ＝0，①..........7 分 ∴椭圆方程为： + ＝1；...........2 分
y 2 2 2 2联立 ，消去 并整理得（3﹣k）x +4k x﹣4k ﹣3＝0，
（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立 ，
因为直线 l 与双曲线有两个不同的交点，
4 2
此时Δ＝16k +4（3﹣k ）（4k2 2 2+3）＝36+45k ＞0 且 3﹣k≠0，解得 k≠± ．
2 2
得（8+12m ）x ﹣12 mx﹣9＝0，...........4 分
因为①式对任意的 k≠± 总成立，
Δ＝720m2+36（8+12m2）＝1152m2+288＞0，
由韦达定理得 x1+x2＝﹣ ，x1x2＝﹣ ，
x1+x2＝ ，x1x2＝﹣ ，...........5 分
第二次月考 高二 数学参考答案 第 3页 共 4 页
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＝
|AB|＝ |x1﹣x2|＝ ＝ | ，
＝ ≥
r＝ |AB|＝ | ，n＝ ，...........6 分
∴直线 OD 的方程为：y＝ x， ＝1，...........10 分
当且仅当 ＝ ，t＝14，
2 2
联立 ，得 x ＝ ，y ＝ ，
即 2+3m2＝14，m＝±2时等号成立，...........11 分
sin ≤ ，因此 ≤ ，
|OD|＝ ＝ ，...........7 分
∠QOP 的最大值为 ，
sin ＝ ＝ ， 综上所述，∠QOP 的最大值为 ，此时 m＝±2．...........12 分
＝ ＝ ，...........8 分
令 2+3m2＝t，m2＝ （t﹣2），且 t＞2， ∈（0， ），
则 ＝
＝
＝
第二次月考 高二 数学参考答案 第 4页 共 4 页
{#{QQABLQAQggioABIAABgCEQWoCAOQkAECAIoOAAAMIAAAgQNABAA=}#}2023-2024 学年度上学期第二次月考
．已知函数 ，在适当的平面直角坐标系中，其标准方程可能是
高二数学试题
（ ）
本试卷满分 150 分，共 3页。考试时间为 120 分钟。考试结束后，只交答题卡。
一.单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 A． B． C． D．
一项是符合题目要求的.
1．两条平行直线 2x﹣y+3＝0 和 ax﹣3y+6＝0 间的距离为 d，则 a，d 的值分别为（ ） 8．已知椭圆Γ： 内有一定点 P（1，1），过点 P 的两条直线 l1，l2
A． B．a＝6， C．a＝﹣6， D．
分别与椭圆Γ交于 A、C 和 B、D 两点，且满足 ， ，若λ变化时，直
2．若圆 x2+y2+4x﹣12y+1＝0 关于直线 x﹣by+6＝0 对称，则 b＝（ ）
线 CD 的斜率总为 ，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．0 B． C．2 D．
3．由 0，1，2，…，9这十个数组成无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝 A． B． C． D．
对值等于 8 的个数为（ ） 二.多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
A．180 B．196 C．210 D．224 合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
4．设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ， ， ， 9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 的倾斜角为 150°
则（ ）
B．若直线 Ax+By+C＝0 经过第三象限，则 AB＞0，BC＜0
A． B． C． D．
C．a＝0是直线 2x+ay﹣2＝0与直线 ax+2y﹣1＝0垂直的必要不充分条件
5．（3x﹣y）（2x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（ ）
D．存在 a 使得直线 x+（1+a）y＝2﹣a 与直线 2ax+4y＝﹣16 平行
A．200 B．40 C．120 D．80
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、
6．若曲线 C上存在点 M，使 M 到平面内两点 A（﹣5，0），B（5，0）距离之差的绝对值为 8，
“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是
则称曲线 C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是（ ）
（ ）
A．x+y＝5 B． C．x2+y2 2＝16 D．x ＝16y A．某学生从中选 2 门课程学习，共有 15 种选法
7．初中时代我们就说反比例函数 的图像是双曲线，建立适当的平面直角坐标系可以求 B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有 240 种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有 144 种排法
得这个双曲线的标准方程，比如，把 的图象顺时针旋转 可以得到双曲线
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有 480 种排法
第二次月考 高二 数学试题 第 1页 共 3 页
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11．点 P是直线 y＝3 上的一个动点，过点 P作圆 x2+y2＝4的两条切线，A，B为切点，则（ ） Q 分别是 C，l 上的动点，若 Q 在某个位置时，P 仅存在唯一的位置使得|PF|＝|PQ|，则
A．存在点 P，使得∠APB＝90° B．弦长 AB 的最小值为 满足条件的所有|PQ|的值为 ．
四.解答题：本题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C．点 A，B 在以 OP 为直径的圆上 D．线段 AB 经过一个定点
17．已知 O 为坐标原点，A（﹣1，2），过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与 x 轴负半轴及 y 轴正半
12．在圆锥 PO 中，已知高 PO＝2，底面圆的半径为 4，M 为母线 PB 的中点，根据圆锥曲线
轴分别交于点 B、C．
的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个结
（1）求|AB| |AC|的最小值；
论正确的有（ ）
（2）若△OBC 的面积为 S，且对于每一个 S 的值满足条件的 k 值只有 2 个，求 S 的取值
范围．
A．圆的面积为 4π B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为 D．抛物线的焦点到准线的距离为
三.填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知 A（2，0），B（0，2），若直线 y＝k（x+2）与线段 AB 有公共点，则 k 的取值范围
18．已知半径小于 6 的圆 C 过点 A（8，1），且圆 C与两坐标轴均相切．
是 ．
（1）求圆 C 的标准方程；
14．在素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展选课走班活动，已知某高中提供 3 门选修课
（2）若圆 C 与直线 l：x﹣y+m＝0 交于 A，B 两点，____，求 m 的值．
供该校学生选择，现有某班 5 名同学参加选课活动，要求这 5 名同学每人选修一门课程
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：
且每门课程都有学生选，则这 5 名同学选课的种数为 ．
．
15．流感病毒分为甲、乙、丙三型，甲型流感病毒最容易发生变异，流感大流行就是甲型流
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
感病毒出现新亚型或旧亚型重现引起的．根据以往的临床记录，某种诊断甲型流感病毒
的试验具有如下的效果：若以 A 表示事件“试验反应为阳性”，以 C 表示事件“被诊断者
患有甲型流感”，则有 P（A|C）＝0.9， ．现对自然人群进行普查，设被
试验的人患有甲型流感的概率为 0.005，即 P（C）＝0.005，则 P（C|A）＝ ．
16．抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反
射线都与抛物线的对称轴平行．已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，直线 l：y＝5，点 P，
第二次月考 高二 数学试题 第 2页 共 3 页
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19．在二项式 的展开式中，前三项的系数依次为 M，P，N，且满足 2P＝M +N． 21．已知双曲线 ，直线 l 交双曲线于 A，B 两点．
（1）若直线 l：ax+by+c＝0 的系数 a，b，c（a＞b＞c）为展开式中所有无理项系数，求 （1）求双曲线 C 的虚轴长与离心率；
不同直线 l 的条数； （2）若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A，B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率 kPA、kPB均存在，
（2）求展开式中系数最大的项． 求证：kPA kPB为定值：
（3）若 l 过双曲线的右焦点 F2，是否存在 x 轴上的点 M（m，0），使得直线 l 绕点 F2无
论怎么转动，都有 成立？若存在，求出 M 的坐标：若不存在．请说明理由．
20．现有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有 8 22．在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率为 ，焦距为 2．
个红球和 2 个白球乙袋中有 4 个红球和 6 个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从
（1）求椭圆 C 的方程．
该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假
（2）动直线 交椭圆于 A、B 两点，D 是椭圆 C 上一点，直线 OD 的斜率为 n，
设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 ．
且 ．T 是线段 OD 延长线上一点，且 ，⊙T 的半径为|DT|，OP，
（1）求首次试验结束的概率；
OQ 是⊙T 的两条切线，切点分别为 P，Q，求∠QOP 的最大值．
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案
一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个
方案第二次试验结束的概率更大．
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