北师版九年级数学下册《第二章二次函数》单元达标测试试卷解析
选择题（本大题共有40个小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
已知，，在二次函数的图象上，
则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，
所得到的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与轴的交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
6 .如图，抛物线与直线交于，两点，
则不等式的解为( )
A． B． C．或 D．
7 .某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．
已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：
，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，
则能获得的最大利润为（ ）
A．36万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
8 .如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，
正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（ ）
A．米 B．米 C．米 D．8米
二次函数的图象如图，
则函数与函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
10 .如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
且对称轴为直线，点坐标为．则下面的五个结论：
①；
②；
③当时，或；
④；
⑤（为实数）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
11．48．抛物线经过原点，则 ．
12.若抛物线的顶点在轴，则 ．
13．抛物线与x轴的交点坐标为 ．
在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，
发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，
由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ．
如图，已知拋物线经过，，三点，
直线是拋物线的对称轴，M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．
三、解答题（本大题共有5个小题，共40分）
16．已知抛物线经过，，两点，求抛物线的解析式．
如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，
其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，
求所围成矩形的最大面积．
已知二次函数的图象经过点，顶点为．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求图象与轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y随着x的增大而减小．
19.如图，在中，∠B=90°，，，
动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，
如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
(1)______，______，______；
(2)t为何值时的面积为？
(3)t为何值时的面积最大？
已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，
点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，
请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师版九年级数学下册《第二章二次函数》单元达标测试试卷解析
选择题（本大题共有40个小题，每小题4分，共40分）
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的图象和性质即可得到答案．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：C
已知，，在二次函数的图象上，
则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，
再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系．
【详解】二次函数，
对称轴为，
，
时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
，，在二次函数的图象上，且，，
．
故选D．
将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，
所得到的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图像平移，熟记函数图像平移的法则：
左加右减、上加下减，按要求平移即可得到答案．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，
所得到的抛物线的函数关系式是，
故选：B．
4．抛物线与轴的交点个数为（ ）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，
解题的关键是通过解方程得到抛物线与轴的交点坐标为，
从而可判断抛物线与轴交点个数．
【详解】解：当时，，解得，
所以抛物线与轴的交点坐标为，
所以抛物线与轴只有一个交点．
故选：B．
5．已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点的知识，利用了数形结合的数学思想，
根据二次函数的图象与x轴的交点坐标确定一元二次方程的解即可．
【详解】解：观察函数的图象知：二次函数的图象与x轴交于，
∴关于x的方程的解为：．
故选：A．
6 .如图，抛物线与直线交于，两点，
则不等式的解为( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的交点的横坐标结合图象即可求解．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴当或时，在的上方，
即
∴不等式的解为或
故选：C．
7 .某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．
已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：
，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，
则能获得的最大利润为（ ）
A．36万元 B．40万元 C．45万元 D．46万元
【答案】D
【分析】本题考查了销售问题的二次函数的运用，二次函数的性质运用，
解答时求出函数的解析式是关键．
设在甲地销售了a辆，则在乙地销售了辆，则,，
设总利润为W元，根据总利润等于两地的利润之和表示出W与a之间的关系式就可以求出结论．
【详解】设总利润为W元，在甲地销售了a辆，则在乙地销售了辆，
则，，
由题意，得．
∴二次项系数为，
∴时，．
故选D．
8 .如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，
正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（ ）
A．米 B．米 C．米 D．8米
【答案】A
【分析】根据正常水位时水面宽米，求出当时，
再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可；
【详解】解：∵米，
∴当时，，
当水位上升5米时，，
把代入得，，
解得，
此时水面宽米，
故选：A；
二次函数的图象如图，
则函数与函数的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，
正确记忆相关图象的分布是解题关键．
直接利用抛物线图象得出a,b,c的符号，
进而利用一次函数和反比例函数的性质得出符合题意的图象．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴a.b同号，
，
∵抛物线与y轴交在正半轴，
，
，
则函数的图象分布在第二、四象限，
函数的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
10 .如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
且对称轴为直线，点坐标为．则下面的五个结论：
①；
②；
③当时，或；
④；
⑤（为实数）．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系；
根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点确定、、的符号，
根据函数图象确定和时，的取值范围．
【详解】解：对称轴为，
，
．
由题意，，
．
又与轴交点在轴正半轴上，
．
，故①正确．
，且时，
当时，，故②正确．
时，对称轴为直线，
当时．
结合图象可得，当时，或，故③正确．
，
．
又时，
．
．
，故④错误．
对称轴为，且取得最大值，．
，故⑤正确．
故选：D．
填空题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）
11．48．抛物线经过原点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，
将点的坐标代入解析式是解题的关键，判断二次项系数不为0是难点．
根据二次函数图象过原点，把代入解析式，求出的值，还需要考虑二次项系数不能为零．
【详解】解：根据二次函数图象过原点，
把，0)代入解析式得，
整理得，
解得或2，
故答案为：．
12.若抛物线的顶点在轴，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，将抛物线解析式配方成顶点式，求得顶点即可求解．
【详解】解：
∴顶点坐标为
∵抛物线顶点在轴上，
∴
解得：
故答案为：．
13．抛物线与x轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，
理解抛物线与x轴有交点，即，与y轴有交点即是解题的关键．
令，代入抛物线的解析式求出x值，写出坐标形式即可．
【详解】解：把代入，得：
，
解得：，
则抛物线与x轴的交点坐标为．
故答案为：．
在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，
发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，
由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ．
【答案】8米
【分析】令求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去）．
故答案为：8米．
15.如图，已知拋物线经过，，三点，
直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，
利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点M坐标为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有5个小题，共40分）
16．已知抛物线经过，，两点，求抛物线的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式．正确运算是解题的关键．
待定系数法求抛物线解析式即可．
【详解】解：∵抛物线经过，，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，
其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，
求所围成矩形的最大面积．
【答案】矩形的最大面积为
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设边的长度为，矩形的面积为，
则边的长为，根据矩形面积公式求出，
利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：设边的长度为，矩形的面积为，则边的长为，
由题得
，
时，有最大值，最大值为225
答：矩形的最大面积为．
18.已知二次函数的图象经过点，顶点为．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求图象与轴的交点坐标；
(3)当x为何值时，y随着x的增大而减小．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)时，y随x增大而减小．
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式,
抛物线与x轴的交点坐标，函数的增减性质．
由于已知顶点坐标，则可设顶点式，
然后把代入计算后计算出a的值即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点问题，即函数为0时的自变量的值；
（3）根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，据此即可求解．
【详解】（1）解：依题意设这个二次函数解析式为：，
∵图形经过点，
∴，
解得：，
∴二次函数解析式为：；
（2）解：对于，
令，
∴，
解得：，
∴图象与x轴的交点坐标为：，；
（3）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为，
又∵，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∴时，y随x增大而减小．
19.如图，在中，∠B=90°，，，
动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，
如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t．
(1)______，______，______；
(2)t为何值时的面积为？
(3)t为何值时的面积最大？
【答案】(1)，，
(2)当秒或4秒时，的面积是；
(3)当为3时的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的几何应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
（1）由题意可直接利用t表示出，和；
（2）由三角形的面积公式可求出，
结合题意即得出关于t的方程，解出t即可；
（3）由（2）可知，再变形为顶点式，结合二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）根据题意得：，，
∴，
（2），
解得：或4，
∵，，
∴，
∴或4都符合题意，
∴即当秒或4秒时，的面积是；
（3）由（2）可知，
∵，，
∴当为3时的面积最大，最大面积是．
已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，
点P是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？
(3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，
请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可；
根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，
求出的长，将分成与的面积和，
根据三角形面积公式表示为函数求最值即可；
设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，
根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，
进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，
分类讨论t的范围，即可求得点P坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，则
，解得∶
故抛物线解析式为．
（2）过点P作轴于点H，交于点F，如图，
当时，，
则，
设直线解析式为，
∵过点A和B，则，，
∴直线解析式为，
∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t，
∴，，
则，
，
故点，的面积最大
（3）设，
则，那么，
∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵轴交抛物线于点E，
∴，且，
∴，
．
则，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
当时，，
有
解得∶(舍去)，，
则点，
当时，
有，解得，(舍去)，
则点，
故点或时，为等腰直角三角形．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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