第二章 相互作用
力的合成与分解
【考点预测】
1.互成特殊角的两个共点力求合力
2.正交分解法求多个共点力的合力
3. 三角形定则、多边形定则求合力
4.力的效果分解法
5.力的正交分解法
【方法技巧与总结】
1．求合力的方法
(1)作图法：作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力．
2．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
3.力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝.
【题型归纳目录】
题型一：互成特殊角的共点力求合力
题型二：三角形定则、多边形定则求合力
题型三：力的效果分解法
题型四：力的正交分解法
【题型一】互成特殊角的共点力求合力
【典型例题】
例1．（多选）（2023·广东潮州·校考三模）耙在中国已有1500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为，夹角，拉力大小均为F，平面与水平面的夹角为（为AB的中点），如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是（ ）
A．两根耙索的合力大小为F B．两根耙索的合力大小为
C．地对耙的水平阻力大小为 D．地对耙的水平阻力大小为
【方法技巧与总结】
合力的求解方法
(1)作图法
①基本思路：
②如图所示：用作图法求F1、F2的合力F.
(2)计算法
两分力不共线时，可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (当θ＝120°时，F＝F1＝F2)
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝
练1．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）如图甲所示，射箭时，释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角应为（）（ ）
A．53° B．127° C．143° D．106°
【题型二】三角形定则、多边形定则求合力
【典型例题】
例2．（多选）5个共点力的情况如图所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好为一个正方形，F5是其对角线。下列说法正确的是（ ）
A．F1和F5的合力，与F3大小相等，方向相反
B．能合成大小为2F、相互垂直的两个力
C．除F5以外的4个力的合力的大小为F
D．这5个力的合力恰好为F，方向与F1和F3的合力方向相同
【方法技巧与总结】
三角形定则、多边形定则是从平行四边形演化而来，体会好矢量的加法的运算法则。
练2．如图，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，若将它们平移并首尾相接，三个力矢量组成了一个封闭三角形，则物体所受这三个力的合力大小为（ ）
A．2F1 B．F2 C．2F3 D．0
【题型三】力的效果分解法
【典型例题】
例3．如图甲所示是斧子砍进木桩时的情境，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，当施加竖直向下的力F时，则（ ）
A．同一斧子，若施加的力F越小，越容易膀开木桩
B．同一斧子，若施加的力F越大，越不容易劈开木桩
C．施加相同的恒力F，θ越大的斧子，越容易壁开木桩
D．施加相同的恒力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩
【方法技巧与总结】
力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
练3．如图所示，是一个小朋友将一个篮球放在斜坡上，并用竖直挡板挡住，篮球处于静止状态。已知斜坡的倾角为θ（θ为锐角），挡板对篮球的弹力为，斜面对篮球的弹力为，不考虑篮球受到的摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．斜面对篮球的弹力小于挡板对篮球的弹力
B．斜面对篮球的弹力小于篮球重力G
C．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，减小
D．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，增大
【题型四】力的正交分解法
【典型例题】
例4．如图所示，A、B是粗糙水平面上的两点，O、P、A三点在同一竖直线上，且，在P点处固定一光滑的小立柱，一小物块通过原长为的弹性轻绳与悬点O连接。当小物块静止于A点时，小物块受到弹性轻绳的拉力小于重力。将小物块移至B点（弹性轻绳处于弹性限度内，且满足胡克定律），由静止释放后小物块沿地面向左运动通过A点，若，则在小物块从B运动到A的过程中（ ）
A．小物块受到的滑动摩擦力保持不变 B．小物块到的滑动摩擦力逐渐减小
C．小物块受到的滑动摩擦力逐渐增大 D．小物块受到的滑动摩擦力先减小后增大
【方法技巧与总结】
恰当选取x轴和y轴，将不在坐标轴上的力进行正交分解。
练4．如图所示为小朋友喜欢的磁性黑板，下面有一个托盘，让黑板撑开一个安全角度（黑板平面与水平面的夹角为θ），不易倾倒，小朋友不但可以在上面用专用画笔涂鸦，磁性黑板擦也可以直接吸在上面．图中就有小朋友把一块质量m为黑板擦吸在上面保持静止，黑板与黑板擦之间的动摩擦因数μ，则下列说法正确的是（ ）
A．黑板擦对黑板的压力大小为mgcosθ
B．黑板斜面对黑板的摩擦力大小为μmgcosθ
C．黑板对黑板擦的摩擦力大于mgsinθ
D．黑板对黑板擦的作用力大小为mg
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·湖北·校考模拟预测）如图所示，横截面为四分之一圆、质量为M的柱体B放在粗糙水平地面上，一竖直固定的挡板与柱体最左侧相切，质量为m的小球a恰能静止在挡板和柱体之间，现拿走小球a，将质量为m、但密度比小球a小的小球b贴着挡板轻轻放到柱体B上。小球与挡板、小球与柱体之间无摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．小球b对挡板的压力大于小球a对挡板的压力
B．小球b对柱体的压力大于小球a对柱体的压力
C．地面对柱体的支持力不变
D．柱体受到地面的摩擦力不变
2．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，在直角坐标系的第一象限内有两个作用点都在原点O的力、，要使、在坐标平面内过原点O的某直线上分力之和最小，则该直线（ ）
A．可能经过第一、三象限
B．可能经过第二、四象限
C．一定经过第一、三象限
D．一定经过第二、四象限
3．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，不可伸长、质量不计的绳子两端分别固定在竖直杆PQ、MN上，杂技演员利用轻钩让自己悬挂在绳子上，不计轻钩与绳间的摩擦。现将MN杆绕N点垂直纸面向外缓慢转动15°，该过程中关于绳子上张力大小的变化，下列说法正确的是（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小
4．（2023·全国·模拟预测）如图所示，BD是圆的一条竖直直径，AC是该圆的另一条直径，该圆处于匀强电场中，电场强度方向平行于圆，带正电小球从O点以相同的动能沿不同方向在纸面内射出，小球能够到达圆周上任意一点，小球在经过圆周上这些点时，过A点时小球的动能最小，忽略空气阻力，电场强度方向可能是（ ）
A．方向 B．方向 C．方向 D．方向
5．（2023·广东·模拟预测）如图所示，小宁利用计算机研究分力F1、F2与合力F的关系。保持分力F1的大小和方向不变，F2的大小不变，使F1、F2间的夹角θ由0°逐渐增大到360°的过程中，合力F的箭头的轨迹图形为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·安徽·校联考三模）尖劈可用来卡紧物体，在距今约万年的新石器时代的石斧、石矛都说明尖劈是人类最早发明并广泛使用的一种简单的工具。如图所示为顶角很小的木质尖劈，将它嵌入木头缝中，可起到卡紧物体的目的。已知木质尖劈与木头间的动摩擦因数为，为了使木质尖劈起到卡紧物体的作用，则木质尖劈的顶角最大约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·辽宁·校联考一模）如图所示，斜拉桥可简化为不对称钢索模型，桥面水平、塔柱竖直，已知AC、AB的拉力大小分别为、，且AC、AB与塔柱的夹角分别为、，且，地面对塔柱的作用力竖直向上。下列说法正确的是（ ）
A．钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向上拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱
B．若桥面保持水平稳定，则桥面的重心在D点的右侧
C．钢索对塔柱的拉力的合力斜向右下方
D．若桥面保持水平稳定，则有
8．（2023·广东·模拟预测）2020年的春节刚刚来临，国内多地发生新型冠状病毒肺炎疫情，许多医务工作者自愿放弃休假为抗击疫情奋战。在药物使用中就应用到很多物理知识。两图分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的物理图样，针尖的顶角很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力。现只分析如图的针尖倾斜侧面与水平侧面对瓶塞产生的两个推力，则（ ）
A．针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面的推力大
C．若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越小
D．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力
9．（2022·北京东城·统考模拟预测）如图所示，放在水平地面上的物块，受到一个与水平方向成角斜向下方的力F的作用，该物块恰好在水平地面上做匀速直线运动。如果保持该推力F的大小不变，而使力F与水平方向的夹角变小，那么，地面受到的压力N和物块受到的摩擦力f的变化情况是（ ）
A．N变小，f变大 B．N变大，f变小
C．N变大，f变大 D．N变小，f变小
10．（2010·广东清远·统考一模）如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO（AO>BO）悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则（ ）
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
二、多选题
11．（2022·广东佛山·顺德一中校考模拟预测）如下图，一条电缆由北向南绕过电杆转向由东向西，电缆与电杆的接触点为P。固定电杆的钢索一端固定在P点，另一端固定在地面上，钢索、电杆与东西方向的电缆在同一竖直平面内。设电缆线水平，南北、东西方向的电缆对电杆的拉力分别为F1、F2，方向沿电缆方向且大小相等，钢索对电杆的拉力为F3，方向沿钢索方向。已知植于土中的电杆竖直，下列说法正确的是（ ）
A．F1、F2和F3的合力竖直向下
B．地面对电杆的作用力一定不沿竖直方向
C．F1、F2和F3在水平面内的合力不可能为0
D．F1、F2的合力与F3等大反向
12．（2022·广东·统考一模）如图，家用小型起重机拉起重物的绳子一端固定在起重机斜臂顶端，另一端跨过动滑轮A和定滑轮B之后与电动机相连。起重机正将重为G的重物匀速竖直上拉，忽略绳子与滑轮的摩擦以及绳子和动滑轮A的重力，∠ABC=60°，则（ ）
A．绳子对定滑轮B的作用力方向竖直向下
B．绳子对定滑轮B的作用力方向与BA成30°斜向下
C．绳子对定滑轮B的作用力大小等于G
D．绳子对定滑轮B的作用力大小等于
13．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）如图所示，斜面体固定在水平面上，一轻质细线绕过滑轮1和滑轮2，两端分别与物体和轻环连接，轻环穿在水平横杆上，滑轮2下吊一物体。物体和滑轮1间的细线平行于斜面，系统静止。现将向右移动少许，物体始终静止，系统再次静止，不计滑轮质量和滑轮与绳间的摩擦。则（ ）
A．细线拉力将变大
B．地面对斜面体的支持力将变大
C．横杆对轻环的摩擦力将变大
D．斜面体对物体的摩擦力将变小
14．（2023·全国·模拟预测）卡车车厢中装有完全相同的水泥圆管，下面的两根圆管前端与车厢壁接触，上面的圆管未与车厢壁接触，三根圆管互相接触，如图所示。已知圆管之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力。下列有关说法中正确的是（ ）
A．汽车启动过程，最上面的水泥圆管受到的摩擦力向前
B．汽车启动过程，最上面的水泥圆管受到的摩擦力逐渐增大
C．为了安全起见，汽车刹车过程中的加速度不能超过μg
D．为了安全起见，汽车刹车过程中的加速度不能超过
15．（2022·四川成都·石室中学校考三模）卡车沿平直公路运输质量为m的匀质圆筒状工件，将工件置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°，重力加速度为g，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为、。则（ ）
A．当卡车匀速行驶时 B．当卡车匀速行驶时
C．卡车安全启动的最大加速度为 D．卡车安全刹车的最大加速度为
16．（2020·广西·统考一模）如图，一截面为椭圆形的容器内壁光滑，其质量为M，置于光滑水平面上，内有一质量为m的小球，当容器受到一个水平向右的作用力F作用且系统达到稳定时，小球偏离平衡位量如图，重力加速度为g，此时（ ）
A．若小球对椭圆面的压力与竖直方向的夹角为α，则
B．若小球对椭圆面的压力与竖直方向的夹角为α，则
C．小球对椭圆面的压力大小为
D．小球对椭圆面的压力大小为相互作用综合练
一、单选题
1．（2023·山东日照·统考三模）在力学中，物体间的相互作用抽象为力的概念。下列有关力的说法，正确的是（ ）
A．物体的运动状态发生变化，所受合力的大小一定变化
B．重心可以看作是物体所受重力的作用点
C．桌面上的书本受到向上的支持力，是因为书本发生了形变
D．爬杆表演时，杂技演员沿竖直杆匀速上爬，受到的摩擦力方向竖直向下
2．（2023·浙江温州·统考三模）中国跳水队被誉为跳水“梦之队”。如图是一位运动员跳水过程的频闪照片，A为运动员起跳位置，B为运动员重心到达最高位置，C为运动员指尖到达水面位置。空气阻力不可忽略，下列说法正确的是（ ）
A．在B位置，运动员处于平衡状态
B．在C位置，运动员的机械能最大
C．运动员入水后，立即做减速运动
D．在A位置，运动员受到跳板的弹力是由于跳板发生形变产生的
3．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）2023年春节，为增加节日的喜庆气氛，某街道两旁用如图所示的装置挂上了大红灯笼。、为轻绳，OA与竖直墙壁的夹角为53°，OB为轻弹簧，弹簧的劲度系数为1000N/m，弹簧处于水平方向上，已知灯笼质量为，，重力加速度大小g取，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧可能处于拉伸状态，也可能处于压缩状态
B．弹簧和轻绳OA对O点的作用力大小为30N
C．弹簧的形变量为8cm
D．轻绳OA上的弹力大小为50N
4．（2023·山东淄博·山东省淄博第一中学校联考二模）如图所示，某同学将一轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端与物块连接，物块置于水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为，弹簧与地面平行。改变物块在水平面上的位置，发现物块只能在A、B两点间保持静止，测得A、B两点到竖直挡板的距离分别为、，物块的质量为m，当地重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则该弹簧的劲度系数为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·山东济宁·统考三模）一本质量为m的书平放在水平桌面上，将一张A4纸夹在书页间，如图所示。已知书与桌面间的动摩擦因数为μ，A4纸与书页间的动摩擦因数为4μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A4纸的质量忽略不计。现有一水平向右的力F作用于A4纸上，若要使书与A4纸一起运动，则A4纸上面书页的质量应至少大于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）当今物流业相当发达，货车货运功不可没。如图所示，司机为方便卸货，在距水平地面的高度为的车厢底部与地面之间用长度为的木板搭建了一个斜面。若货物恰好能沿木板匀速下滑，则货物与木板间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·广东梅州·统考二模）梅州的非物质文化遗产有不少，兴宁花灯就是其中一种，它与北京宫灯是一脉相承，始于宋代，流行于明清，是传承了上千年的客家传统习俗，花灯用四条长度相同、承受能力相同的绳子高高吊起，如图所示，绳子与竖直方向夹角为，花灯质量为m，则下列说法正确的是（ ）
A．每条绳子的拉力均相同 B．增大绳子与竖直方向的夹角，花灯受的合外力增大
C．绳子拉力的合力方向为竖直方向 D．绳子长一些更易断
8．（2023·陕西·校联考模拟预测）随着工作压力的增大以及生活水平的提高，越来越多的人选择在假期出行旅游放松身上放置一与地板成θ角的木板，木板上静置一木块。某段时间内，木块随车厢一起斜向上做加速度为a的匀加速运动。已知缆绳与水平方向夹角也为θ。若木板与车厢底板夹角缓慢增大稍许，木块、木板与车厢始终保持相对静止，则关于木块对木板的压力和木块对木板的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．减小，减小 B．增大，增大
C．减小，增大 D．增大，减小
二、多选题
9．（2018·云南楚雄·校考一模）质量为的木块，在推力的作用下沿水平地面做匀速直线运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为，那么木块受到的滑动摩擦力的值应为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）粗糙水平面上、、、四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰梯形，系统静止。之间、之间以及之间的弹簧长度相同且等于之间弹簧长度的一半。之间弹簧弹力大小为之间弹簧弹力大小的一半。若受到的摩擦力大小为，则（ ）
A．之间的弹簧一定是压缩的 B．受到的摩擦力大小为
C．受到的摩擦力大小为 D．受到的摩擦力大小为
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为圆的柱状物体A，固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点，已知B物体的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．竖直挡板与B物体间的弹力大小为mg
B．A、B两物体之间的弹力大小为mg
C．若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大
D．若将A稍右移并固定，A、B之间的弹力将减小
12．（2023·广东·模拟预测）市面上有一种自动计数的智能呼拉圈，深受女士喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其模型简化如图乙所示。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在内转过的圈数，此时绳子与竖直方向夹角为。配重运动过程中认为腰带没有变形，下列说法正确的是（ ）
A．若增大转速，腰受到腰带的摩擦力增大
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力增大
C．保持匀速转动时，腰给腰带的作用力大小不变
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角为将不变
三、实验题
13．（2023·辽宁·模拟预测）研究表明：每根头发能承受的拉力随年龄而变化，20岁组人的头发能承受的最大拉力平均约为1.72，30岁组的平均约为0，40岁组的平均约为8，60岁组的平均约为0.95。小萍利用一把刻度尺，一质量为300g的重物测量一根头发丝能承受的最大拉力，并与上述数据进行对比来推测该头发丝对应者的年龄范围。实验步骤如下：
①水平固定刻度尺；
②用指尖紧握住头发丝的两端，用直尺测得头发丝拉直时两指尖间的距离为40.0；
③之后用光滑轻挂钩将重物挂在头发丝上，两手缓慢沿刻度尺水平向外移动，直至头发丝被拉断。从刻度尺上读出拉断时两指尖间的距离为20.0，如图所示。
（1）忽略头发丝的伸长，可估算出该头发丝能承受的最大拉力为 （取=10），该人年龄大致处于 岁组。
（2）实际上，头发丝挂上重物后会有一定的伸长。仅考虑这一原因，该头发丝能承受的最大拉力的估算值 其真实值。（选填“大于”、“小于”或“等于”）
14．（2023·湖北·校联考模拟预测）某实验小组利用图（a）所示装置探究弹簧的弹力与形变量的关系。实验中使用J2110螺旋弹簧，该弹簧在自然状态下有一定的收缩力。实验时把弹簧的上端固定在铁架台的横杆上，记录弹簧自然下垂时下端的示数（L）。在弹簧的下端悬挂不同质量（m）的钩码，记录弹簧在不同弹力下弹簧下端的示数并填入表格中，计算对应的弹簧伸长量x的值。
0 10 20 30 40 50 60 70
0 0 0 0 10.75 0 10 15
0 0 0 0 0.25 0.90 1.70 2.75
80 90 100 110 120 130 140 150
10 15 1 17.50 15 15 20.75 21.85
3.80 5 5.90 7.00 5 5 5 5
（1）图（b）是根据上表数据绘制的“”图线，其中段为曲线、段为直线，则该弹簧在 段满足胡克定律（选填“”“”或“”）；
（2）由图（b）可得直线的函数表达式为（单位：g），弹簧的劲度系数 ，弹簧在自然状态下的收缩力 N（已知重力加速度大小，结果均保留2位小数）；
（3）由于弹簧的质量不能忽略，它对弹簧劲度系数的测量 （选填“有”或“没有”）影响。
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）如图所示，倾角为θ=37°的斜面P放在光滑水平面上，质量为m=2kg的物块Q置于斜面上，用水平力F推斜面，使P、Q保持相对静止，共同向左做a=10m/s2的匀加速直线运动，求：
（1）斜面对物块的支持力N和摩擦力f的大小和方向；
（2）斜面和物块间的动摩擦因数μ至少是多大
16．（2023春·河北保定·高二河北安国中学校联考期末）质量为M的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑.如果用与木楔斜面成角的力F拉着木块沿斜面匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）.
（1）木楔与斜面的动摩擦因数；
（2）当和满足什么关系时，拉力F有最小值，求此最小值；
（3）当时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
17．（2022秋·广西百色·高一统考期末）如图所示，是用墩布拖地情境。教室值日生小明用的作用力沿墩布杆方向斜向上拉着墩布拖地，此时墩布杆与水平地面成，墩布贴着地面匀速滑动。后来改用沿墩布杆方向斜向下的作用力匀速推着墩布拖地，此时墩布杆与水平地面的夹角为。已知墩布的质量为，且与地面之间的动摩擦因数相同，墩布杆的质量可忽略不计，重力加速度，，。求：
（1）画出拉着墩布拖地时，墩布的受力示意图并标出各个力的符号；
（2）拉着墩布拖地时，墩布对地面的压力大小；
（3）推着墩布拖地时，沿杆斜向下方向施加作用力的大小。
第二章 相互作用
实验：探究胡克定律及互成角度共点力的合力
【考点预测】
1.探究弹簧弹力大小与弹簧形变量的间的关系
2.探究互成角度共点力的合力与分力的关系
【方法技巧与总结】
探究胡克定律实验原理
(1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等．
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与形变量间的关系．
探究互成角度共点力的合力实验原理
(1)等效法：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的作用效果都是让同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点，所以一个力F′就是这两个力F1和F2的合力，作出力F′的图示，如图所示．
(2)平行四边形定则：根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示．
(3)验证：比较F和F′的大小和方向，若在误差允许的范围内相等，则验证了力的平行四边形定则．
【题型归纳目录】
题型一：探究弹簧弹力大小与弹簧形变量的间的关系
题型二：探究互成角度共点力的合力与分力的关系
【题型一】探究弹簧弹力大小与弹簧形变量的间的关系
【典型例题】
例1．（2024·广东惠州·统考一模）某学习小组利用如图（a）所示的实验装置测量圆形橡皮筋的弹性模量，在弹性限度内，橡皮筋像弹簧一样，弹力大小F与伸长量x成正比，即，k值与橡皮筋的原长L、横截面积S有关，理论与实践都表明，其中Y在材料力学上称之为弹性模量。
（1）在国际单位制中，弹性模量Y的单位应该是 。
A．N B．m C．N/m D．
（2）先利用刻度尺测量圆形橡皮筋的原长L=20.00cm，再利用螺旋测微器测量橡皮筋处于原长时的直径D，如图（b）所示，则 mm。
（3）作出橡皮筋受到的拉力F与伸长量x的图像，如图（c）所示，则该橡皮筋的k值为 N/m，由通过计算得出该橡皮筋的弹性模量 （保留两位有效数字）。
【答案】 D 50 31
【解析】（1）[1]根据表达式，可得
已知k的单位是N/m，L的单位m，S的单位是，所以Y的单位是。
故选D。
（2）[2] 由图（b）可知，螺旋测微器的读数为
则橡皮筋处于原长时的直径为50mm。
（3）[3][4] 根据可知，图像的斜率大小等于劲度系数大小，由图像求出劲度系数为
根据，可得
【方法技巧与总结】
1.数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图．用平滑的曲线连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式．首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数．
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义．
2．注意事项
(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度．
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据．
(3)观察所描点的走向：本实验是探究型实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点．
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位．
练1．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）在“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验中，实验装置如图甲所示，将弹簧的左端固定在刻度尺的“0”刻度线处，实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将钩码挂在绳子的下端，测量相应的数据，通过描点法作出F-l（F为弹簧的拉力，l为弹簧的长度）图像，如图乙所示。
（1）下列说法中正确的是 。（填正确答案标号）
A．每次增加的钩码数量必须相等
B．通过实验可知，在弹性限度内，弹力与弹簧的长度成正比
C．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧水平且处于平衡状态
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与弹簧伸长量，会得出拉力与弹簧伸长量之比相等
（2）根据乙图可求得该弹簧的劲度系数为 N/m（保留两位有效数字），图像中在点出现拐点是因为 。
（3）该实验将弹簧水平放置而不是竖直放置，优点在于： 。
【答案】 C 25 拉力继续增大将超过弹簧的弹性限度 避免弹簧自身重力对实验的影响
【解析】（1）[1] A．每次增加的钩码数量不需要相等，故A错误；
B．通过实验可知，在弹性限度内，弹力与弹簧的伸长量成正比，故B错误；
C．用悬挂钩码的方式给弹簧施加拉力，应保证弹簧水平且处于平衡状态，使弹簧所受拉力的大小等于钩码的重力，故C正确；
D．不同弹簧的弹力与伸长量之比，即弹簧的劲度系数k不一定相等，故D错误。
故选B。
（2）[2][3]弹簧的劲度系数
在弹性限度内，弹力的大小与弹簧的形变量成正比，在点出现拐点是因为超过了弹簧的弹性限度。
（3）[4]避免弹簧自身重力对实验的影响。
【题型二】探究互成角度共点力的合力与分力的关系
【典型例题】
例2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）某学习小组利用如下方案探究两个互成角度的力的合成规律。如图（a）所示，竖直木板上固定有白纸，两个光滑的滑轮a、b固定在木板上同一高度处，三根细线在O点打结，细线1绕过滑轮a悬挂4个钩码，细线2绕过滑轮b悬挂3个钩码，弹簧测力计通过细线3拉结点O。最后在白纸上画出力的图示进行探究，钩码均相同。
（1）实验过程中，下列做法符合要求的是 。
A．测量时，弹簧测力计要与细线3处在同一直线上且与木板平行
B．测量时，弹簧测力计必须竖直向下拉细线3
C．稳定后，应在白纸上记录结点O的位置、三根细线的方向及弹簧测力计的示数
（2）读出弹簧测力计的示数为N，三根细线的方向用在白纸上的投影点标记，如图（b）所示，请选择合适的标度，在图（b）中完成作图 。当弹簧测力计单独悬挂5个相同的钩码时，读数为5.0N。
（3）根据所作的图，得出的结论为 。
【答案】 AC/CA 见解析 在误差允许的范围内，力的合成遵循平行四边形定则
【解析】（1）[1]A．测量时，为了减小误差，弹簧测力计要与细线3处在同一直线上且与木板平行，故A正确；
B．本实验探究两个互成角度的力的合成规律，对力的方向没有要求，则测量时，弹簧测力计不需要竖直向下拉细线3，故B错误；
C．稳定后，应在白纸上记录结点O的位置、三根细线的方向及弹簧测力计的示数，故C正确。
故选AC。
（2）[2]当弹簧测力计单独悬挂5个相同的钩码时，读数为5.0N，可知每个钩码的重力为，则有
，
选择合适的标度作图，的等大反向的力即为测量出的、的合力，利用平行四边形定则作出的、的合力的理论值为，如图所示
（3）[3]根据所作的图，比较和，得出的结论为：在误差允许的范围内，力的合成遵循平行四边形定则。
【方法技巧与总结】
1．数据处理
(1)用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示．
(2)用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出拉力F′的图示．
(3)比较F与F′是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则．
2．注意事项
(1)弹簧相同：使用弹簧测力计前，要先观察指针是否指在零刻度处，若指针不在零刻度处，要设法调整指针，使之指在零刻度处，再将两个弹簧测力计的挂钩钩在一起，向相反方向拉，两个示数相同方可使用．
(2)位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同．
(3)角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～120°之间为宜．
(4)尽量减少误差：在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量大一些；细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．
(5)统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些．
练2．（2023·陕西·校联考模拟预测）“探究力的平行四边形定则”的实验如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙所示是在白纸上根据实验结果画出的图。
（1）本实验采用的科学方法是 。
A．理想实验法 B．放大法
C．等效替代法 D．建立物理模型法
（2）图乙中一定沿AO方向的力是 （填“F”或“F'”）。
（3）同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是 。
A．弹簧测力计与木板平面应平行
B．橡皮条应与两绳夹角的角平分线在同一直线上
C．两根细绳必须等长
D．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些
【答案】 C F' AD/DA
【解析】（1）[1]本实验中两个拉力的作用效果和一个拉力的作用效果相同，采用的科学方法是等效替代法，故C正确。
（2）[2]实验中F是由平行四边形定则得出的，而F'是通过实验方法得出的，F'一定沿AO方向。
（3）[3]A．测量力的实验要求尽量准确，为了减小实验的误差，操作中要求弹簧测力计、细绳、橡皮条都应与木板平行，故A正确；
B．拉橡皮条时只要确保拉到同一点即可，橡皮条不一定要在两细绳夹角的角平分线上，故B错误；
C．通过两细绳用两个弹簧测力计互成角度地拉橡皮条时，不要求两细绳等长，故C错误；
D．为了更加准确地记录力的方向，拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些，故D正确。
故选AD。
【过关测试】
一、实验题
1．（2023·河南开封·统考三模）某实验小组用图甲所示装置测量弹簧的劲度系数。
（1）请按合理的操作顺序将步骤的序号写在横线上 。
A．以弹簧长度为横坐标，以钩码重力为纵坐标，标出各组数据对应的点，并用平滑的曲线或直线连接起来；
B．记录弹簧下端不挂钩码时，其下端指针所对刻度尺上的刻度；
C．将铁架台固定于桌上，将弹簧一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、……钩码，待钩码静止后，读出弹簧下端指针指示的刻度并记录在表格内，然后取下钩码；
E．由图像，进一步确定弹簧的劲度系数。
（2）下表是该实验记录的数据，弹簧始终在弹性限度内，每个钩码的质量均为，重力加速度取。
钩码个数 1 2 3 4 5 6
0.196 0.392 0.588 0.784 0.980 76
弹簧长度 15.82 21.72 27.60 33.61 36 47
根据表中数据在图乙中作出弹簧弹力与弹簧长度的图像 ，并通过图线确定该弹簧劲度系数为 （保留两位有效数字）。
【答案】 CBDAE 见解析 ////
【解析】（1）[1]本实验的操作步骤是：将铁架台固定于桌上，将弹簧一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺，记下弹簧下端不挂钩码时，其下端指针所对刻度尺上的刻度，依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、……钩码，待钩码静止后，读出弹簧下端指针指示的刻度记录在表格内，然后取下钩码，以弹簧长度为横坐标，以为纵坐标，标出各组数据对应的点，并用平滑的曲线或直线连接起来，由图像，进一步确定弹簧的劲度系数。故步骤顺序为CBDAE。
（2）[2]根据表中数据作出弹簧弹力与弹簧长度的图像如图所示
[3]由胡克定律可得
可知图像斜率为弹簧劲度系数，由图可得
2．（2023·海南海口·海南中学校考三模）如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。
（1）为完成实验，还需要的实验器材有： 。
（2）图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F－x图线，由此可求出弹簧的劲系数为 N/m。图线不过原点的原因是由于 。
【答案】 刻度尺 200 弹簧自身重力的作用
【解析】（1）[1]该实验还需要刻度尺测量弹簧的伸长量。
（2）[2]由图像可知弹簧的劲系数为
[3]图像横轴截距的含义是F为零时有伸长量，可知测量原长时弹簧横放，竖直悬挂后由于自身重力的作用有了伸长量。
3．（2023·浙江绍兴·统考二模）小沈同学按图丙装置探究弹簧弹力与形变量的关系，图丁是实验得到的N-x图像，其中N是弹簧下端悬挂的钩码个数，x是相应的弹簧伸长长度。已知每个钩码质量为50g。
（1）实验中，测量弹簧原长时应使弹簧保持 （选填“竖直自由下垂”或“水平自然伸展”）；
（2）根据图丁，弹簧的劲度系数为 N/m（保留2位有效数字），实验中弹簧的自重对劲度系数的测定有没有影响？ （选填“有”、或“没有”）
【答案】 竖直自由下垂 10 没有
【解析】（1）[1]实验中弹簧竖直悬挂，所以测量原长时应使弹簧保持竖直自由下垂。
（2）[2]由图丁可知
，
所以由胡克定律可得
解得
[3]弹簧自重会影响弹簧的原长，图像中x为伸长长度，图像中斜率代表劲度系数大小，所以弹簧的自重对劲度系数的测定没有影响。
4．（2023·浙江金华·模拟预测）某小组用力传感器探究弹簧弹力与伸长量的关系。如图甲所示，将轻质弹簧上端固定于铁架台上，使标尺的零刻度线与弹簧上端对齐。某同学用力传感器竖直向下拉弹簧，同时记录拉力值F及对应的标尺刻度x（如图乙所示）。通过描点画图得到图丙的图像，a、b分别为使用轻弹簧1、2时所描绘的图线。弹簧1比弹簧2 （填软或硬）
【答案】硬
【解析】弹簧1、2的劲度系数分别为
弹簧1的劲度系数为100N/m，大于弹簧2的劲度系数，弹簧1比弹簧2硬。
5．（2023·四川凉山·统考三模）（1）学生分组实验中，甲小组利用弹簧测力计探究两个互成角度的力的合成规律，装置如图甲所示。
这里采用的实验方法是 。
A．微元法 B．理想实验法 C．等效替代法 D．控制变量法
（2）乙小组用铁架台、刻度尺、弹簧和多个质量已知且质量相等的钩码，做探究“弹簧弹力与弹簧形变量的关系”实验，如图乙所示。
①根据实验数据绘制图像，纵轴是钩码质量m，横轴是弹簧的形变量x，如图丙所示。
由图像可得弹簧的劲度系数 （，计算结果保留2位有效数字）；
②乙小组将上面弹簧剪断成长度相等的两段，取其中一段重复实验，根据实验数据在丙中绘制第二条图像，该图像斜率比丙中原图斜率 （选填“大”或“小”）。
【答案】 C 9.8 大
【解析】（1）[1]先用一个弹簧测力计施加一个力把结点拉至O点，记下这个力。再用两个弹簧测力计分别钩住细绳套仍将结点拉至O点，记录下这两个力。这里采用的实验方法是等效替代法。
故选C。
（2）①[2] 以钩码为研究对象有
解得
结合m-x图像有
解得
②[3] 弹簧剪断后劲度系数增大，图像的斜率增大。
6．（2023·湖北·模拟预测）如图a，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。现要测量图a中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.200 kg的砝码时，移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图b所示，其读数为 cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为 N/m（保留3位有效数字）。
【答案】 3.775 107
【解析】[1]实验所用的游标卡尺精度为0.05mm，游标卡尺上游标第15条刻度线与主尺刻度线对齐，根据游标卡尺的读数规则，图b所示的游标卡尺读数为
3.7cm+15×0.05mm=3.7cm+0.075cm=3.775cm
[2]托盘中放有质量为m=0.200kg的砝码时，弹簧受到的拉力
F=mg=0.200×9.8N=1.960N
弹簧伸长
x=3.775cm-1.950cm=1.825cm=0.01825m
根据胡克定律
F=kx
解得此弹簧的劲度系数
7．（2023·海南·统考模拟预测）一根弹簧被截成相等的两段后，每段的劲度系数是否与被截断前相同？为了弄清楚这个问题，物理兴趣小组的同学们设计了这样一个实验：如图1所示，将弹簧的一端固定在水平桌面点处的挡板上，在弹簧的中间位置和另一端分别固定一个用于读数的指针和，弹簧处于原长状态。然后用细线拴住弹簧右端并绕过光滑定滑轮，细线另一端拴有轻质挂钩。在弹簧下面放一刻度尺，使毫米刻度尺零刻度线与点对齐。（已知每个钩码的重力均为。）
Ⅰ.首先记录自然状态下指针所指的刻度，然后在挂钩上依次悬挂1个、2个、3个……钩码，同时记录每次指针所指的刻度，并计算出其长度的变化量；
Ⅱ.在弹簧处于原长状态下，在处将弹簧截成相同的两段后，以端作为弹簧的最右端重复上述实验步骤，记录每次指针所指的刻度，并计算出其长度的变化量；
①以钩码重力为纵坐标，为横坐标建立如图2所示的坐标系，并根据实验所得数据，作出了如图2所示的两条图线。
②根据图像可知，段弹簧的劲度系数 ，段弹簧的劲度系数 。（结果保留1位小数）
③由本实验可知，一根弹簧被截成相等的两段后，每段的劲度系数与没截断前相比将 。（选填“增大”“减小”或“不变”）
【答案】 10.0 5.0 增大
【解析】②[1]根据胡克定律
可得段弹簧的劲度系数
[2]段弹簧的劲度系数
③[3]由以上分析可知，根弹簧被截成相等的两段后，每段的劲度系数与没截断前相比将增大。
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）用如图甲所示的装置做“验证力的平行四边形定则”实验，弹簧测力计B挂于竖直木板上的固定点C，下端用细线挂一重物M，手持弹簧测力计A拉结点O，分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉力的方向。
（1）下列关于实验的要求正确的是( )
A．用铅笔顺着细线描出拉力的方向
B．与弹簧测力计相连的细线应尽量长些
C．弹簧测力计外壳与木板之间摩擦力对实验没有影响
（2）图乙是测量时某弹簧测力计的示数，其示数为 ；
（3）该同学改变两弹簧测力计的夹角做第二次实验时，结点O的位置发生了变化，与第一次相比两弹簧测力计拉力的合力将 （填“不变”或“改变”）。
【答案】 BC/CB 3.80 不变
【解析】（1）[1]A．确定一个拉力的方向时，需要选择结点和相距较远的一个点，利用刻度尺连结两点，A错误；
B．为减小误差，与弹簧测力计相连的细线应尽量长些，B正确；
C．实验中拉弹簧秤时，只需让弹簧与外壳间没有摩擦，弹簧测力计外壳与木板之间的摩擦力对实验没有影响，C正确。
故选BC。
（2）[2]根据乙图可读出测力计的示数为。
（3）[3]第二次实验时重物质量没有改变，结点位置变化，两弹簧测力计拉力的合力不变，仍等于重物重力的大小。
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）图甲、乙、丙、丁为“探究求合力的方法”的实验过程。
①如图甲所示，橡皮条的一端固定，另一端系一轻质小圆环。在图乙中，用两个弹簧测力计通过轻绳共同拉动小圆环，小圆环受到拉力、、的共同作用，静止于O点。改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环，弹簧测力计拉力为F，使小圆环仍静止于O点，如图丙所示。则与的合力与 相等，、与 的合力为0。（均选填“F”或“”）
②在图乙中，用A、B两只弹簧测力计把小圆环拉到O点，这时AO、BO间夹角，如图丁所示。现改变弹簧测力计A的拉力方向，使角减小，但不改变它的拉力大小，那么要使小圆环仍被拉到O点，需调节弹簧测力计B拉力的大小及角，在下列调整方法中，可能实现目标的方法是 。
A. 增大B的拉力和角 B. 增大B的拉力，角不变
C. 增大B的拉力，同时减小角D. B的拉力大小不变，增大角
【答案】 F ABC
【解析】①[1] [2]与共同作用的效果与F单独作用的效果相同，则与的合力与F相等；小圆环受到拉力、、的共同作用，静止于O点，则、、的合力为0；
②[3]保持O点位置不动，即合力大小、方向不变，弹簧测力计A的读数不变，只要符合该条件而且能够作出力的平行四边形即可，如图所示
A．如果从1变到4，能够作出力的平行四边形，故A正确；
B．如果从1变到3，能够作出力的平行四边形，故B正确；
C．如果从1变到2，能够作出力的平行四边形，故C正确；
D．B的拉力大小不变，增大角，不能够作出力的平行四边形，故D错误。
故选ABC。
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）某同学利用如图甲所示的装置来验证力的平行四边形定则，该同学的实验步骤为：
①在竖直木板上铺上白纸，木板上固定两个光滑的定滑轮，两个物块通过轻绳被弹簧测力计拉住而处于静止状态，O为OA、OB、OC三根轻绳的结点，此时弹簧测力计读数如图乙所示，则 N；
②此实验还需记录的有 ；
A．两个物块的重力 B．OA、OB、OC的方向 C．OA、OB、OC的长度
③由记录的物理量选择合适的标度画平行四边形来验证结论是否成立；
④改变弹簧测力计拉力的大小，重复实验，再次验证力的平行四边形定则时， （填“需要”或“不需要”）保证结点O的位置与第一次相同。
【答案】 4.0 AB/BA 不需要
【解析】[1]弹簧测力计读数为4.0N；
[2]验证力的平行四边形定则须测量合力和分力的大小和方向，故选AB；
[3]因为每一次都是独立的实验，对绳结受力平衡即可，故不需要保证结点O的位置与第一次相同。
11．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）某实验小组用橡皮筋验证力的平行四边形定则，实验步骤如下：
①取三条规格相同的橡皮筋，用刻度尺测量并记录它们的自然长度；
②用弹簧测力计分别将三条橡皮筋拉至相同的长度，若弹簧测力计的示数相同，则继续进行后续实验；
③将三条橡皮筋的一端系在一起，再将其中两条的另一端分别固定在贴有白纸的水平木板上的M、N两点，如图所示；
④将第三条橡皮筋的另一端P系一细绳，用力拉细绳，使三条橡皮筋的结点静止在某位置，在白纸上将该位置记作O，同时记录三条橡皮筋的方向和长度；
⑤以结点位置O为起点，分别沿OM、ON方向和PO方向作出线段、、，使每条线段的长度与各自对应的橡皮筋的成正比。
⑥以线段、为邻边作平行四边形，若对角线同线段重合，则说明两个力和它们的合力符合平行四边形定则。
⑦重复以上实验步骤中的④⑤⑥，多做几次实验。
请完成以下问题
（1）以下说法正确的是 。
A．该实验所选用三条橡皮筋的自然长度要相等
B．步骤②的目的是验证三条橡皮筋的劲度系数是否相同
C．步骤④中拉细绳的力可以不与木板平行
D．步骤⑦中多次实验结点静止时的位置O必须在同一位置
（2）将步骤⑤填空中的答案填在答题卡对应的位置上；
（3）若第二次实验同第一次相比较，OM、ON夹角不变，OM、OP的夹角变小；橡皮筋OP长度不变，则橡皮筋OM长度 ；则橡皮筋ON长度 。（选填“变大”或“变小”或“不变”）
【答案】 AB/BA 变小 变大
【解析】（1）[1]AB．三条橡皮筋的规格相同，自然长度要相等，且劲度系数要相同，步骤②的目的是验证三条橡皮筋的劲度系数是否相同，故AB正确；
C．拉线方向必须与木板平面平行，这样才确保力的大小准确性，故C错误；
D．改变拉力，进行多次实验，每次没必要使O点在同一位置，故D错误。
故选AB。
（3）[2][3]若第二次实验同第一次相比较，OM、ON夹角不变，OM、OP的夹角变小；橡皮筋OP长度不变，由平行四边形定则可知，橡皮筋OM长度变小；则橡皮筋ON长度变大。
12．（2023·新疆·统考三模）如图所示，某同学设计的“探究互成角度的力的合成规律”实验装置，实验步骤如下：
①用图钉把一张白纸钉在木板上；
②用弹簧测力计测出重物M所受的重力；
③将木板竖直放置，三个细线套一端共系于一个结点，另一端分别系于轻质弹簧测力计A、B和重物M上，A挂于固定点P，手持B拉动细线，使结点静止于O点；
④分别记录O点位置，两个弹簧测力计的示数和方向；
⑤改变手持方向，使结点仍静止于O点，重复步骤④。
请回答下列问题：
（1）某次实验中弹簧测力计A的指针位置如图甲所示，其读数为 N；
（2）图乙中的F与两个力中，方向和细线方向相同的是 （选填“F”或“”）；
（3）要使弹簧测力计B的示数最小，细绳的方向应为 。
A．竖直方向 B．水平方向 C．垂直于的方向 D．沿方向
【答案】 2.00 C
【解析】（1）[1] 弹簧测力计的分度值为0.1N，读数为2.00N；
（2）[2]实验中有误差，所以为实验测量值，方向和细线方向相同；
（3）[3]根据题意作出力的合成如图：
可知细绳的方向垂直于时弹簧测力计B的示数最小。
故选C。第二章 相互作用
实验：探究胡克定律及互成角度共点力的合力
【考点预测】
1.探究弹簧弹力大小与弹簧形变量的间的关系
2.探究互成角度共点力的合力与分力的关系
【方法技巧与总结】
探究胡克定律实验原理
(1)如图所示，弹簧下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等．
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与形变量间的关系．
探究互成角度共点力的合力实验原理
(1)等效法：一个力F′的作用效果和两个力F1、F2的作用效果都是让同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点，所以一个力F′就是这两个力F1和F2的合力，作出力F′的图示，如图所示．
(2)平行四边形定则：根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示．
(3)验证：比较F和F′的大小和方向，若在误差允许的范围内相等，则验证了力的平行四边形定则．
【题型归纳目录】
题型一：探究弹簧弹力大小与弹簧形变量的间的关系
题型二：探究互成角度共点力的合力与分力的关系
【题型一】探究弹簧弹力大小与弹簧形变量的间的关系
【典型例题】
例1．（2024·广东惠州·统考一模）某学习小组利用如图（a）所示的实验装置测量圆形橡皮筋的弹性模量，在弹性限度内，橡皮筋像弹簧一样，弹力大小F与伸长量x成正比，即，k值与橡皮筋的原长L、横截面积S有关，理论与实践都表明，其中Y在材料力学上称之为弹性模量。
（1）在国际单位制中，弹性模量Y的单位应该是 。
A．N B．m C．N/m D．
（2）先利用刻度尺测量圆形橡皮筋的原长L=20.00cm，再利用螺旋测微器测量橡皮筋处于原长时的直径D，如图（b）所示，则 mm。
（3）作出橡皮筋受到的拉力F与伸长量x的图像，如图（c）所示，则该橡皮筋的k值为 N/m，由通过计算得出该橡皮筋的弹性模量 （保留两位有效数字）。
【方法技巧与总结】
1.数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图．用平滑的曲线连接各点，得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线．
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式．首先尝试一次函数，如果不行则考虑二次函数．
(3)得出弹力和弹簧形变量之间的定量关系，解释函数表达式中常数的物理意义．
2．注意事项
(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度．
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据．
(3)观察所描点的走向：本实验是探究型实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点．
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位．
练1．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考一模）在“探究弹力与弹簧伸长量的关系”实验中，实验装置如图甲所示，将弹簧的左端固定在刻度尺的“0”刻度线处，实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将钩码挂在绳子的下端，测量相应的数据，通过描点法作出F-l（F为弹簧的拉力，l为弹簧的长度）图像，如图乙所示。
（1）下列说法中正确的是 。（填正确答案标号）
A．每次增加的钩码数量必须相等
B．通过实验可知，在弹性限度内，弹力与弹簧的长度成正比
C．用悬挂钩码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧水平且处于平衡状态
D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与弹簧伸长量，会得出拉力与弹簧伸长量之比相等
（2）根据乙图可求得该弹簧的劲度系数为 N/m（保留两位有效数字），图像中在点出现拐点是因为 。
（3）该实验将弹簧水平放置而不是竖直放置，优点在于： 。
【题型二】探究互成角度共点力的合力与分力的关系
【典型例题】
例2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）某学习小组利用如下方案探究两个互成角度的力的合成规律。如图（a）所示，竖直木板上固定有白纸，两个光滑的滑轮a、b固定在木板上同一高度处，三根细线在O点打结，细线1绕过滑轮a悬挂4个钩码，细线2绕过滑轮b悬挂3个钩码，弹簧测力计通过细线3拉结点O。最后在白纸上画出力的图示进行探究，钩码均相同。
（1）实验过程中，下列做法符合要求的是 。
A．测量时，弹簧测力计要与细线3处在同一直线上且与木板平行
B．测量时，弹簧测力计必须竖直向下拉细线3
C．稳定后，应在白纸上记录结点O的位置、三根细线的方向及弹簧测力计的示数
（2）读出弹簧测力计的示数为N，三根细线的方向用在白纸上的投影点标记，如图（b）所示，请选择合适的标度，在图（b）中完成作图 。当弹簧测力计单独悬挂5个相同的钩码时，读数为5.0N。
（3）根据所作的图，得出的结论为 。
【方法技巧与总结】
1．数据处理
(1)用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示．
(2)用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出拉力F′的图示．
(3)比较F与F′是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则．
2．注意事项
(1)弹簧相同：使用弹簧测力计前，要先观察指针是否指在零刻度处，若指针不在零刻度处，要设法调整指针，使之指在零刻度处，再将两个弹簧测力计的挂钩钩在一起，向相反方向拉，两个示数相同方可使用．
(2)位置不变：在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同．
(3)角度合适：用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～120°之间为宜．
(4)尽量减少误差：在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量大一些；细绳套应适当长一些，便于确定力的方向．
(5)统一标度：在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些．
练2．（2023·陕西·校联考模拟预测）“探究力的平行四边形定则”的实验如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳，图乙所示是在白纸上根据实验结果画出的图。
（1）本实验采用的科学方法是 。
A．理想实验法 B．放大法
C．等效替代法 D．建立物理模型法
（2）图乙中一定沿AO方向的力是 （填“F”或“F'”）。
（3）同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是 。
A．弹簧测力计与木板平面应平行
B．橡皮条应与两绳夹角的角平分线在同一直线上
C．两根细绳必须等长
D．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些
【过关测试】
一、实验题
1．（2023·河南开封·统考三模）某实验小组用图甲所示装置测量弹簧的劲度系数。
（1）请按合理的操作顺序将步骤的序号写在横线上 。
A．以弹簧长度为横坐标，以钩码重力为纵坐标，标出各组数据对应的点，并用平滑的曲线或直线连接起来；
B．记录弹簧下端不挂钩码时，其下端指针所对刻度尺上的刻度；
C．将铁架台固定于桌上，将弹簧一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、……钩码，待钩码静止后，读出弹簧下端指针指示的刻度并记录在表格内，然后取下钩码；
E．由图像，进一步确定弹簧的劲度系数。
（2）下表是该实验记录的数据，弹簧始终在弹性限度内，每个钩码的质量均为，重力加速度取。
钩码个数 1 2 3 4 5 6
0.196 0.392 0.588 0.784 0.980 76
弹簧长度 15.82 21.72 27.60 33.61 36 47
根据表中数据在图乙中作出弹簧弹力与弹簧长度的图像 ，并通过图线确定该弹簧劲度系数为 （保留两位有效数字）。
2．（2023·海南海口·海南中学校考三模）如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。
（1）为完成实验，还需要的实验器材有： 。
（2）图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F－x图线，由此可求出弹簧的劲系数为 N/m。图线不过原点的原因是由于 。
3．（2023·浙江绍兴·统考二模）小沈同学按图丙装置探究弹簧弹力与形变量的关系，图丁是实验得到的N-x图像，其中N是弹簧下端悬挂的钩码个数，x是相应的弹簧伸长长度。已知每个钩码质量为50g。
（1）实验中，测量弹簧原长时应使弹簧保持 （选填“竖直自由下垂”或“水平自然伸展”）；
（2）根据图丁，弹簧的劲度系数为 N/m（保留2位有效数字），实验中弹簧的自重对劲度系数的测定有没有影响？ （选填“有”、或“没有”）
4．（2023·浙江金华·模拟预测）某小组用力传感器探究弹簧弹力与伸长量的关系。如图甲所示，将轻质弹簧上端固定于铁架台上，使标尺的零刻度线与弹簧上端对齐。某同学用力传感器竖直向下拉弹簧，同时记录拉力值F及对应的标尺刻度x（如图乙所示）。通过描点画图得到图丙的图像，a、b分别为使用轻弹簧1、2时所描绘的图线。弹簧1比弹簧2 （填软或硬）
5．（2023·四川凉山·统考三模）（1）学生分组实验中，甲小组利用弹簧测力计探究两个互成角度的力的合成规律，装置如图甲所示。
这里采用的实验方法是 。
A．微元法 B．理想实验法 C．等效替代法 D．控制变量法
（2）乙小组用铁架台、刻度尺、弹簧和多个质量已知且质量相等的钩码，做探究“弹簧弹力与弹簧形变量的关系”实验，如图乙所示。
①根据实验数据绘制图像，纵轴是钩码质量m，横轴是弹簧的形变量x，如图丙所示。
由图像可得弹簧的劲度系数 （，计算结果保留2位有效数字）；
②乙小组将上面弹簧剪断成长度相等的两段，取其中一段重复实验，根据实验数据在丙中绘制第二条图像，该图像斜率比丙中原图斜率 （选填“大”或“小”）。
6．（2023·湖北·模拟预测）如图a，一弹簧上端固定在支架顶端，下端悬挂一托盘；一标尺由游标和主尺构成，主尺竖直固定在弹簧左边；托盘上方固定有一能与游标刻度线准确对齐的装置，简化为图中的指针。现要测量图a中弹簧的劲度系数。当托盘内没有砝码时，移动游标，使其零刻度线对准指针，此时标尺读数为1.950 cm；当托盘内放有质量为0.200 kg的砝码时，移动游标，再次使其零刻度线对准指针，标尺示数如图b所示，其读数为 cm。当地的重力加速度大小为9.80 m/s2，此弹簧的劲度系数为 N/m（保留3位有效数字）。
7．（2023·海南·统考模拟预测）一根弹簧被截成相等的两段后，每段的劲度系数是否与被截断前相同？为了弄清楚这个问题，物理兴趣小组的同学们设计了这样一个实验：如图1所示，将弹簧的一端固定在水平桌面点处的挡板上，在弹簧的中间位置和另一端分别固定一个用于读数的指针和，弹簧处于原长状态。然后用细线拴住弹簧右端并绕过光滑定滑轮，细线另一端拴有轻质挂钩。在弹簧下面放一刻度尺，使毫米刻度尺零刻度线与点对齐。（已知每个钩码的重力均为。）
Ⅰ.首先记录自然状态下指针所指的刻度，然后在挂钩上依次悬挂1个、2个、3个……钩码，同时记录每次指针所指的刻度，并计算出其长度的变化量；
Ⅱ.在弹簧处于原长状态下，在处将弹簧截成相同的两段后，以端作为弹簧的最右端重复上述实验步骤，记录每次指针所指的刻度，并计算出其长度的变化量；
①以钩码重力为纵坐标，为横坐标建立如图2所示的坐标系，并根据实验所得数据，作出了如图2所示的两条图线。
②根据图像可知，段弹簧的劲度系数 ，段弹簧的劲度系数 。（结果保留1位小数）
③由本实验可知，一根弹簧被截成相等的两段后，每段的劲度系数与没截断前相比将 。（选填“增大”“减小”或“不变”）
8．（2023·安徽·校联考模拟预测）用如图甲所示的装置做“验证力的平行四边形定则”实验，弹簧测力计B挂于竖直木板上的固定点C，下端用细线挂一重物M，手持弹簧测力计A拉结点O，分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉力的方向。
（1）下列关于实验的要求正确的是( )
A．用铅笔顺着细线描出拉力的方向
B．与弹簧测力计相连的细线应尽量长些
C．弹簧测力计外壳与木板之间摩擦力对实验没有影响
（2）图乙是测量时某弹簧测力计的示数，其示数为 ；
（3）该同学改变两弹簧测力计的夹角做第二次实验时，结点O的位置发生了变化，与第一次相比两弹簧测力计拉力的合力将 （填“不变”或“改变”）。
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）图甲、乙、丙、丁为“探究求合力的方法”的实验过程。
①如图甲所示，橡皮条的一端固定，另一端系一轻质小圆环。在图乙中，用两个弹簧测力计通过轻绳共同拉动小圆环，小圆环受到拉力、、的共同作用，静止于O点。改用一个弹簧测力计单独拉住小圆环，弹簧测力计拉力为F，使小圆环仍静止于O点，如图丙所示。则与的合力与 相等，、与 的合力为0。（均选填“F”或“”）
②在图乙中，用A、B两只弹簧测力计把小圆环拉到O点，这时AO、BO间夹角，如图丁所示。现改变弹簧测力计A的拉力方向，使角减小，但不改变它的拉力大小，那么要使小圆环仍被拉到O点，需调节弹簧测力计B拉力的大小及角，在下列调整方法中，可能实现目标的方法是 。
A. 增大B的拉力和角 B. 增大B的拉力，角不变
C. 增大B的拉力，同时减小角D. B的拉力大小不变，增大角
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）某同学利用如图甲所示的装置来验证力的平行四边形定则，该同学的实验步骤为：
①在竖直木板上铺上白纸，木板上固定两个光滑的定滑轮，两个物块通过轻绳被弹簧测力计拉住而处于静止状态，O为OA、OB、OC三根轻绳的结点，此时弹簧测力计读数如图乙所示，则 N；
②此实验还需记录的有 ；
A．两个物块的重力 B．OA、OB、OC的方向 C．OA、OB、OC的长度
③由记录的物理量选择合适的标度画平行四边形来验证结论是否成立；
④改变弹簧测力计拉力的大小，重复实验，再次验证力的平行四边形定则时， （填“需要”或“不需要”）保证结点O的位置与第一次相同。
11．（2023·山东德州·德州市第一中学统考三模）某实验小组用橡皮筋验证力的平行四边形定则，实验步骤如下：
①取三条规格相同的橡皮筋，用刻度尺测量并记录它们的自然长度；
②用弹簧测力计分别将三条橡皮筋拉至相同的长度，若弹簧测力计的示数相同，则继续进行后续实验；
③将三条橡皮筋的一端系在一起，再将其中两条的另一端分别固定在贴有白纸的水平木板上的M、N两点，如图所示；
④将第三条橡皮筋的另一端P系一细绳，用力拉细绳，使三条橡皮筋的结点静止在某位置，在白纸上将该位置记作O，同时记录三条橡皮筋的方向和长度；
⑤以结点位置O为起点，分别沿OM、ON方向和PO方向作出线段、、，使每条线段的长度与各自对应的橡皮筋的成正比。
⑥以线段、为邻边作平行四边形，若对角线同线段重合，则说明两个力和它们的合力符合平行四边形定则。
⑦重复以上实验步骤中的④⑤⑥，多做几次实验。
请完成以下问题
（1）以下说法正确的是 。
A．该实验所选用三条橡皮筋的自然长度要相等
B．步骤②的目的是验证三条橡皮筋的劲度系数是否相同
C．步骤④中拉细绳的力可以不与木板平行
D．步骤⑦中多次实验结点静止时的位置O必须在同一位置
（2）将步骤⑤填空中的答案填在答题卡对应的位置上；
（3）若第二次实验同第一次相比较，OM、ON夹角不变，OM、OP的夹角变小；橡皮筋OP长度不变，则橡皮筋OM长度 ；则橡皮筋ON长度 。（选填“变大”或“变小”或“不变”）
12．（2023·新疆·统考三模）如图所示，某同学设计的“探究互成角度的力的合成规律”实验装置，实验步骤如下：
①用图钉把一张白纸钉在木板上；
②用弹簧测力计测出重物M所受的重力；
③将木板竖直放置，三个细线套一端共系于一个结点，另一端分别系于轻质弹簧测力计A、B和重物M上，A挂于固定点P，手持B拉动细线，使结点静止于O点；
④分别记录O点位置，两个弹簧测力计的示数和方向；
⑤改变手持方向，使结点仍静止于O点，重复步骤④。
请回答下列问题：
（1）某次实验中弹簧测力计A的指针位置如图甲所示，其读数为 N；
（2）图乙中的F与两个力中，方向和细线方向相同的是 （选填“F”或“”）；
（3）要使弹簧测力计B的示数最小，细绳的方向应为 。
A．竖直方向 B．水平方向 C．垂直于的方向 D．沿方向第二章 相互作用
力的合成与分解
【考点预测】
1.互成特殊角的两个共点力求合力
2.正交分解法求多个共点力的合力
3. 三角形定则、多边形定则求合力
4.力的效果分解法
5.力的正交分解法
【方法技巧与总结】
1．求合力的方法
(1)作图法：作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小．
(2)计算法：根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力．
2．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
3.力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝.
【题型归纳目录】
题型一：互成特殊角的共点力求合力
题型二：三角形定则、多边形定则求合力
题型三：力的效果分解法
题型四：力的正交分解法
【题型一】互成特殊角的共点力求合力
【典型例题】
例1．（多选）（2023·广东潮州·校考三模）耙在中国已有1500年以上的历史，北魏贾思勰著《齐民要术》称之为“铁齿楱”，将使用此农具的作业称作耙。如图甲所示，牛通过两根耙索拉耙沿水平方向匀速耙地。两根耙索等长且对称，延长线的交点为，夹角，拉力大小均为F，平面与水平面的夹角为（为AB的中点），如图乙所示。忽略耙索质量，下列说法正确的是（ ）
A．两根耙索的合力大小为F B．两根耙索的合力大小为
C．地对耙的水平阻力大小为 D．地对耙的水平阻力大小为
【答案】BC
【解析】AB．两根耙索的合力大小为
A错误，B正确；
CD．由平衡条件，地对耙的水平阻力大小为
C正确，D错误。
故选BC。
【方法技巧与总结】
合力的求解方法
(1)作图法
①基本思路：
②如图所示：用作图法求F1、F2的合力F.
(2)计算法
两分力不共线时，可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力．以下为求合力的三种特殊情况：
类型 作图 合力的计算
两分力相互垂直 大小：F＝ 方向：tan θ＝
两分力等大，夹角为θ 大小：F＝2F1cos 方向：F与F1夹角为 (当θ＝120°时，F＝F1＝F2)
合力与其中一个分力垂直 大小：F＝ 方向：sin θ＝
练1．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）如图甲所示，射箭时，释放箭的瞬间若弓弦的拉力为100N，对箭产生的作用力为120N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示，则弓弦的夹角应为（）（ ）
A．53° B．127° C．143° D．106°
【答案】D
【解析】弓弦拉力的合成如图所示
由于
由几何知识得
有
所以
=53°
即
故选D。
【题型二】三角形定则、多边形定则求合力
【典型例题】
例2．（多选）5个共点力的情况如图所示，已知F1＝F2＝F3＝F4＝F，且这四个力恰好为一个正方形，F5是其对角线。下列说法正确的是（ ）
A．F1和F5的合力，与F3大小相等，方向相反
B．能合成大小为2F、相互垂直的两个力
C．除F5以外的4个力的合力的大小为F
D．这5个力的合力恰好为F，方向与F1和F3的合力方向相同
【答案】AD
【解析】A．根据平行四边形定则得F1和F5的合力应该在F1和F5之间，与F3大小不相等，方向相反，A正确；
B．F1和F4大小相等方向相同，F2和F3大小相等方向相同，所以除F5以外的4个力能合成大小为2F、相互垂直的两个力，B错误；
C．F1和F4大小相等方向相同，F2和F3大小相等方向相同，所以除F5以外的4个力的合力的大小为，C错误；
D．除F5以外的4个力的合力的大小为，方向与F5方向相反，且F5大小为，所以这5个力的合力恰好为，方向与F1和F3的合力方向相同，D正确；
故选AD。
【点睛】力的合成遵从平行四边形定则，根据这五个力的特点，F1和F3的合力与F5大小相等，方向相反；F2和F4的合力与F5大小相等，方向相反；又F1、F2、F3、F4恰好为一个正方形,所以对角线为，这五个共点力的合力大小等于，方向与F5相反。
【方法技巧与总结】
三角形定则、多边形定则是从平行四边形演化而来，体会好矢量的加法的运算法则。
练2．如图，一个物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，若将它们平移并首尾相接，三个力矢量组成了一个封闭三角形，则物体所受这三个力的合力大小为（ ）
A．2F1 B．F2 C．2F3 D．0
【答案】D
【解析】根据力的平行四边形定则，先将F1、F2合成，其合力大小跟等大反向，在把跟合成其合力为零，所以共点力F1、F2、F3的合力为零，故D正确，ABC错误。
【题型三】力的效果分解法
【典型例题】
例3．如图甲所示是斧子砍进木桩时的情境，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，当施加竖直向下的力F时，则（ ）
A．同一斧子，若施加的力F越小，越容易膀开木桩
B．同一斧子，若施加的力F越大，越不容易劈开木桩
C．施加相同的恒力F，θ越大的斧子，越容易壁开木桩
D．施加相同的恒力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩
【答案】D
【解析】AB．同一斧子，θ一定，F越大，其分力越大，越容易劈开木桩，故AB错误；
CD．F一定时，θ越小的斧子，其分力越大，越容易劈开木桩，故C错误，D正确。
故选D。
【方法技巧与总结】
力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
练3．如图所示，是一个小朋友将一个篮球放在斜坡上，并用竖直挡板挡住，篮球处于静止状态。已知斜坡的倾角为θ（θ为锐角），挡板对篮球的弹力为，斜面对篮球的弹力为，不考虑篮球受到的摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．斜面对篮球的弹力小于挡板对篮球的弹力
B．斜面对篮球的弹力小于篮球重力G
C．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，减小
D．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，增大
【答案】C
【解析】AB．根据受力分析有
可知
，
故AB错误；
CD．缓慢地把挡板绕其与坡面的接触轴逆时针转一个较小角度，由图可知、均减小，故C正确，D错误。
故选C。
【题型四】力的正交分解法
【典型例题】
例4．如图所示，A、B是粗糙水平面上的两点，O、P、A三点在同一竖直线上，且，在P点处固定一光滑的小立柱，一小物块通过原长为的弹性轻绳与悬点O连接。当小物块静止于A点时，小物块受到弹性轻绳的拉力小于重力。将小物块移至B点（弹性轻绳处于弹性限度内，且满足胡克定律），由静止释放后小物块沿地面向左运动通过A点，若，则在小物块从B运动到A的过程中（ ）
A．小物块受到的滑动摩擦力保持不变 B．小物块到的滑动摩擦力逐渐减小
C．小物块受到的滑动摩擦力逐渐增大 D．小物块受到的滑动摩擦力先减小后增大
【答案】B
【解析】对小物块受力分析，因为，设弹性轻绳开始原长到A点的伸长量为，
则在A点物块对地面的压力
设在B点绳子与竖直方向的夹角为θ，则物块在B点弹性轻绳中的张力
则物块在B对地面的压力为
因为，小物块从B运动到A的过程中，绳与竖直方向的夹角减小，增大，物块对地面的正压力减小，由可知，小物块受到的滑动摩擦力逐渐减小。故选B。
【方法技巧与总结】
恰当选取x轴和y轴，将不在坐标轴上的力进行正交分解。
练4．如图所示为小朋友喜欢的磁性黑板，下面有一个托盘，让黑板撑开一个安全角度（黑板平面与水平面的夹角为θ），不易倾倒，小朋友不但可以在上面用专用画笔涂鸦，磁性黑板擦也可以直接吸在上面．图中就有小朋友把一块质量m为黑板擦吸在上面保持静止，黑板与黑板擦之间的动摩擦因数μ，则下列说法正确的是（ ）
A．黑板擦对黑板的压力大小为mgcosθ
B．黑板斜面对黑板的摩擦力大小为μmgcosθ
C．黑板对黑板擦的摩擦力大于mgsinθ
D．黑板对黑板擦的作用力大小为mg
【答案】D
【解析】对黑板擦受力分析，受到竖直向下的重力，黑板给的支持力N，以及垂直黑板向下的吸力F，沿黑板平面向上的摩擦力f，根据正交分解可知，，根据牛顿第三定律可知黑板擦对黑板的压力大小为，由于黑板擦处于静止，所以重力和其余三个力（黑板对黑板擦的作用力）的合力为零，故黑板对黑板擦的作用力大小为mg，D正确．
【点睛】在处理共点力平衡问题时，关键是对物体进行受力分析，然后根据正交分解法将各个力分解成两个方向上的力，然后列式求解，如果物体受到三力处于平衡状态，则可根据矢量三角形法，将三个力移动到一个三角形中，然后根据角度列式求解．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·湖北·校考模拟预测）如图所示，横截面为四分之一圆、质量为M的柱体B放在粗糙水平地面上，一竖直固定的挡板与柱体最左侧相切，质量为m的小球a恰能静止在挡板和柱体之间，现拿走小球a，将质量为m、但密度比小球a小的小球b贴着挡板轻轻放到柱体B上。小球与挡板、小球与柱体之间无摩擦力。下列说法正确的是（ ）
A．小球b对挡板的压力大于小球a对挡板的压力
B．小球b对柱体的压力大于小球a对柱体的压力
C．地面对柱体的支持力不变
D．柱体受到地面的摩擦力不变
【答案】C
【解析】AB．以小球a为研究对象，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件可知挡板与柱体对小球a作用力的合力与小球a的重力大小相等、方向相反，小球b与小球a相比，质量不变、体积增加，则柱体圆心和小球球心的连线与竖直方向的夹角减小，由力的平行四边形定则和牛顿第三定律可知，小球b对挡板的压力小于小球a对挡板的压力，小球b对柱体的压力小于小球a对柱体的压力，故AB错误；
CD．以小球和柱体整体为研究对象，受力分析如图乙所示，水平方向上有
竖直方向上有
由于减小，则柱体所受地面的摩擦力减小，由于两小球质量相等，则地面对柱体的支持力不变，故C正确，D错误。
故选C。
2．（2023·上海杨浦·统考二模）如图，在直角坐标系的第一象限内有两个作用点都在原点O的力、，要使、在坐标平面内过原点O的某直线上分力之和最小，则该直线（ ）
A．可能经过第一、三象限
B．可能经过第二、四象限
C．一定经过第一、三象限
D．一定经过第二、四象限
【答案】D
【解析】由题图可知，由于、的大小、方向都确定，因此由力合成的平行四边形定则可知，两力的合力大小和方向确定，则有在沿合力方向的直线上两力的分力之和最大，此时可知在过原点O且垂直合力方向的直线上分力的合力是零，且分力之和最小，则该直线一定经过第二、四象限，ABC错误，D正确。
故选D。
3．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图所示，不可伸长、质量不计的绳子两端分别固定在竖直杆PQ、MN上，杂技演员利用轻钩让自己悬挂在绳子上，不计轻钩与绳间的摩擦。现将MN杆绕N点垂直纸面向外缓慢转动15°，该过程中关于绳子上张力大小的变化，下列说法正确的是（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．始终不变 D．先变大后变小
【答案】A
【解析】当MN杆绕N点垂直纸面向外缓慢转动15°的过程中，绳子在逐渐被拉伸，绳子间的张角在增大，又因为杂技演员用挂钩让自己悬挂在绳子上，故构成了一个活结，因此绳子两端的拉力大小相同，且绳子两端拉力的合力大小等于杂技演员的重力，根据平行四边形定则可知，当合力不变，两分力之间的夹角增大时两分力必然增大。
故选A。
4．（2023·全国·模拟预测）如图所示，BD是圆的一条竖直直径，AC是该圆的另一条直径，该圆处于匀强电场中，电场强度方向平行于圆，带正电小球从O点以相同的动能沿不同方向在纸面内射出，小球能够到达圆周上任意一点，小球在经过圆周上这些点时，过A点时小球的动能最小，忽略空气阻力，电场强度方向可能是（ ）
A．方向 B．方向 C．方向 D．方向
【答案】A
【解析】根据题意可知，小球在电场中受重力和电场力，由动能定理可知，由于过A点时小球的动能最小，则合力做负功最多，即电场力与重量的合力方向为，如图所示
由于小球带正电，所受电场力方向与电场方向相同，由平行四边形法则可知，电场强度方向可能是方向。
故选A。
5．（2023·广东·模拟预测）如图所示，小宁利用计算机研究分力F1、F2与合力F的关系。保持分力F1的大小和方向不变，F2的大小不变，使F1、F2间的夹角θ由0°逐渐增大到360°的过程中，合力F的箭头的轨迹图形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】若以O点为坐标原点，以F1的方向为x轴正向建立坐标系，则合力F的箭头的坐标满足
消掉θ角可得
因F1和F2的大小都不变，则使F1、F2间的夹角θ由0°逐渐增大到360°的过程中，合力F的箭头的轨迹图形为圆。
故选A。
6．（2023·安徽·校联考三模）尖劈可用来卡紧物体，在距今约万年的新石器时代的石斧、石矛都说明尖劈是人类最早发明并广泛使用的一种简单的工具。如图所示为顶角很小的木质尖劈，将它嵌入木头缝中，可起到卡紧物体的目的。已知木质尖劈与木头间的动摩擦因数为，为了使木质尖劈起到卡紧物体的作用，则木质尖劈的顶角最大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于尖劈具有对称性，则分析尖劈一侧受力即可，将F分解为竖直分力和水平分力，设顶角一半为，如图1所示
将摩擦力分解如图2所示
当时，尖劈可起到卡紧物体的作用，即有
得
即
所以木质尖劈的顶角最大约为，A正确。
故选A。
7．（2023·辽宁·校联考一模）如图所示，斜拉桥可简化为不对称钢索模型，桥面水平、塔柱竖直，已知AC、AB的拉力大小分别为、，且AC、AB与塔柱的夹角分别为、，且，地面对塔柱的作用力竖直向上。下列说法正确的是（ ）
A．钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向上拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱
B．若桥面保持水平稳定，则桥面的重心在D点的右侧
C．钢索对塔柱的拉力的合力斜向右下方
D．若桥面保持水平稳定，则有
【答案】D
【解析】A．钢索的拉力会对塔柱产生两个效果，一方面竖直向下拉塔柱，另一方面沿水平方向拉塔柱，A错误；
B．桥面受到TAC、TAB与重力的作用处于平衡状态，根据共点力平衡条件，重力经过TAC、TAB的交点A，所以桥面的重心在桥面与立柱的交点D处，B错误；
C．桥面受到TAC、TAB与重力的作用处于平衡状态，钢索对桥面拉力的合力竖直向上，则钢索对塔柱的拉力的合力竖直向下，C错误；
D．当桥面保持水平稳定时，桥面受力分析如图所示
根据平衡条件得
D正确。
故选D。
8．（2023·广东·模拟预测）2020年的春节刚刚来临，国内多地发生新型冠状病毒肺炎疫情，许多医务工作者自愿放弃休假为抗击疫情奋战。在药物使用中就应用到很多物理知识。两图分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的物理图样，针尖的顶角很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力。现只分析如图的针尖倾斜侧面与水平侧面对瓶塞产生的两个推力，则（ ）
A．针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的
B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面的推力大
C．若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越小
D．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力
【答案】B
【解析】AB．将力F分解在垂直于针尖的两个侧面的方向上，如图所示
由几何关系知，针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比水平侧面的推力大,故A错误，B正确；
CD．由数学知识得
若F一定，使用顶角越小的针尖，则倾斜侧面对瓶塞产生的推力就越大，故CD错误。
故选B。
9．（2022·北京东城·统考模拟预测）如图所示，放在水平地面上的物块，受到一个与水平方向成角斜向下方的力F的作用，该物块恰好在水平地面上做匀速直线运动。如果保持该推力F的大小不变，而使力F与水平方向的夹角变小，那么，地面受到的压力N和物块受到的摩擦力f的变化情况是（ ）
A．N变小，f变大 B．N变大，f变小
C．N变大，f变大 D．N变小，f变小
【答案】D
【解析】对物块受力分析，如图所示
物块受推力、重力、支持力和滑动摩擦力。根据共点力的平衡条件及作用力和反作用力的关系，有
，
当变小，支持力变小，故地面受到的压力N变小，物块受到的滑动摩擦力变小。
故选D。
10．（2010·广东清远·统考一模）如图所示，用两根承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO（AO>BO）悬挂一个中空铁球，当在球内不断注入铁砂时，则（ ）
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
【答案】B
【解析】依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示
据平行四边形定则可得
FB>FA
又因为两绳承受的最大拉力相同，故当在球内不断注入铁砂时，BO绳受到的拉力先达到最大值，BO绳先断。
故选B。
二、多选题
11．（2022·广东佛山·顺德一中校考模拟预测）如下图，一条电缆由北向南绕过电杆转向由东向西，电缆与电杆的接触点为P。固定电杆的钢索一端固定在P点，另一端固定在地面上，钢索、电杆与东西方向的电缆在同一竖直平面内。设电缆线水平，南北、东西方向的电缆对电杆的拉力分别为F1、F2，方向沿电缆方向且大小相等，钢索对电杆的拉力为F3，方向沿钢索方向。已知植于土中的电杆竖直，下列说法正确的是（ ）
A．F1、F2和F3的合力竖直向下
B．地面对电杆的作用力一定不沿竖直方向
C．F1、F2和F3在水平面内的合力不可能为0
D．F1、F2的合力与F3等大反向
【答案】BC
【解析】ACD．根据力的平行四边形定则，F1、F2的合力F沿西北方向，则F1、F2的合力不可能与F3等大反向；F3可分解为竖直向下的F3y以及向东的F3x，则根据平行四边形定则，F与F3x的合力F’在西北与东之间，即F1、F2和F3在水平面内的合力不可能为0，此外F’与F3y的合力不可能竖直向下，即F1、F2和F3的合力不可能竖直向下，故A、D错误，C正确；
B．根据前面选项的分析可知，F1、F2和F3的合力不可能竖直向下，则根据电杆的平衡条件可知，地面对电杆的作用力一定不沿竖直方向，故B正确；
故选BC。
12．（2022·广东·统考一模）如图，家用小型起重机拉起重物的绳子一端固定在起重机斜臂顶端，另一端跨过动滑轮A和定滑轮B之后与电动机相连。起重机正将重为G的重物匀速竖直上拉，忽略绳子与滑轮的摩擦以及绳子和动滑轮A的重力，∠ABC=60°，则（ ）
A．绳子对定滑轮B的作用力方向竖直向下
B．绳子对定滑轮B的作用力方向与BA成30°斜向下
C．绳子对定滑轮B的作用力大小等于G
D．绳子对定滑轮B的作用力大小等于
【答案】BD
【解析】A．绳子对定滑轮的B的作用力为BA和BC两段绳子弹力的合力，方向斜向左下，故A错误；
B．C．D．重物匀速运动，则任意段绳子的弹力等于重力的一半，即。由平行四边形可知，合力方向延∠ABC的角平分线，与BA夹角30°斜向下，大小为,故BD正确，C错误。
故选BD。
13．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考二模）如图所示，斜面体固定在水平面上，一轻质细线绕过滑轮1和滑轮2，两端分别与物体和轻环连接，轻环穿在水平横杆上，滑轮2下吊一物体。物体和滑轮1间的细线平行于斜面，系统静止。现将向右移动少许，物体始终静止，系统再次静止，不计滑轮质量和滑轮与绳间的摩擦。则（ ）
A．细线拉力将变大
B．地面对斜面体的支持力将变大
C．横杆对轻环的摩擦力将变大
D．斜面体对物体的摩擦力将变小
【答案】AC
【解析】A．以滑轮2为研究的对象，受力如图
若将向右移动少许，两个绳子之间的夹角增大，由于对滑轮的拉力不变，两个绳子之间的夹角变大，根据
绳子的拉力F一定变大，A正确；
B．对斜面体、物体、物体整体受力分析，受重力、支持力、细线的拉力和地面的静摩擦力，如图所示
根据平衡条件，有
与角度无关，恒定不变，B错误；
C．以为研究的对象
水平方向
向右移动少许，F变大，变大，变大，横杆对轻环的摩擦力将变大，C正确；
D．若原来物块有下降趋势，绳子拉力增大，可能有上升趋势，因摩擦力大小和方向都不能确定，D错误。
故选AC。
14．（2023·全国·模拟预测）卡车车厢中装有完全相同的水泥圆管，下面的两根圆管前端与车厢壁接触，上面的圆管未与车厢壁接触，三根圆管互相接触，如图所示。已知圆管之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，最大静摩擦力约等于滑动摩擦力。下列有关说法中正确的是（ ）
A．汽车启动过程，最上面的水泥圆管受到的摩擦力向前
B．汽车启动过程，最上面的水泥圆管受到的摩擦力逐渐增大
C．为了安全起见，汽车刹车过程中的加速度不能超过μg
D．为了安全起见，汽车刹车过程中的加速度不能超过
【答案】AD
【解析】AB．汽车启动过程中，汽车做加速运动，故加速度方向向前；最上面的水泥圆管的加速度也向前，故其受到的摩擦力方向向前；汽车启动过程中，若牵引力恒定，则加速度大小不变，最上面的水泥圆管受到的摩擦力大小不变；若发动机功率不变，则加速度减小，最上面的水泥圆管受到的摩擦力逐渐减小，故A正确，B错误；
CD．最上面的水泥圆管的受力侧视图如图
最大静摩擦力为
若汽车刹车过程中，最上面的水泥圆管发生相对滑到，则将撞击车头车厢壁，发生安全事故，所以汽车刹车的加速度不能超过
故C错误，D正确。
故选AD。
15．（2022·四川成都·石室中学校考三模）卡车沿平直公路运输质量为m的匀质圆筒状工件，将工件置于两光滑斜面之间，如图所示。两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°，重力加速度为g，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为、。则（ ）
A．当卡车匀速行驶时 B．当卡车匀速行驶时
C．卡车安全启动的最大加速度为 D．卡车安全刹车的最大加速度为
【答案】AD
【解析】AB．当卡车匀速行驶时，圆筒处于平衡状态，将重力进行分解如图所示
根据几何关系可得
故A正确，B错误；
C．当匀质圆筒状工件对斜面Ⅱ压力为0时，启动加速度最大，根据牛顿第二定律则有
得
故C错误；
D．当匀质圆筒状工件对斜面I压力为0时，刹车加速度最大，根据牛顿第二定律则有
得
故D正确。
故选AD。
16．（2020·广西·统考一模）如图，一截面为椭圆形的容器内壁光滑，其质量为M，置于光滑水平面上，内有一质量为m的小球，当容器受到一个水平向右的作用力F作用且系统达到稳定时，小球偏离平衡位量如图，重力加速度为g，此时（ ）
A．若小球对椭圆面的压力与竖直方向的夹角为α，则
B．若小球对椭圆面的压力与竖直方向的夹角为α，则
C．小球对椭圆面的压力大小为
D．小球对椭圆面的压力大小为
【答案】BC
【解析】对小球受力如图所示
AB．对整体两者一起加速，则
解得
故A错误，B正确；
CD．由题意得
故C正确，D错误。
故选BC。第六章 碰撞与动量守恒定律
用三大观点处理力学问题
【考点预测】
1. 牛顿运动定律和运动学公式解决匀变速直线运动问题
2.动能定理和能量守恒定律解决直线或曲线运动问题
3.动量定理或动量守恒定律解决非匀变速直线运动问题
【方法技巧与总结】
1．解动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换．作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
【题型归纳目录】
题型一：动力学观点和能量的结合问题
题型二：动力学观点和动量的结合问题
题型三：动量观点和能量的结合问题
题型四：动力学、动量、能量的结合问题
【题型一】动力学观点和能量的结合问题
【典型例题】
例1．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）大货车装载很重的货物时，在行驶过程中要防止货物发生相对滑动，否则存在安全隐患。下面进行安全模拟测试实验：如图1所示，一辆后车厢表面粗糙且足够长的小货车向前以未知速度v匀速行驶，质量的货物A（可看成质点）和质量的货物B（可看成水平长板）叠放在一起，开始时A位于B的右端，在时刻将货物A、B轻放到小货车的后车厢前端，最终货物A恰好没有滑离货物B，货物A、B在0~1s时间内的速度一时间图像如图2所示，已知货物A、B间的动摩擦因数，取重力加速度。求：
（1）运动过程中货物A的加速度？
（2）货物B与车厢表面之间的动摩擦因数；
（3）货物A、B间由于摩擦而产生的内能。
【答案】（1）；（2）；（3）Q=40J
【解析】（1）对货物A，刚放上车厢时，由牛顿第二定律
解得A的加速度为
（2）对货物A，刚放上车厢时，A的加速度
由图2知
对货物B，由图2知刚放上车厢时，货物B的加速度
由牛顿第二定律
解得
（3）【解法一】由图2知，货物B经时间与车共速，货物A经时间与车共速，从将货物A、B放上车厢到A、B均与车相对静止的过程中
货物B的长度
解得
货物A、B间由于摩擦而产生的内能
解法二：
从将货物A、B放上车厢到A、B均与车相对静止的过程中，货物B对地的位移设为，货物A对地的位移设为，则货物B的长度
由图2知，货物A、B对地位移之差在数值上等于图中斜三角形的面积值，即
货物A、B间由于摩擦而产生的内能
【方法技巧与总结】
1.力学中的五大规律
规律 公式表达
牛顿第二定律 F合＝ma
动能定理 W合＝ΔEk W合＝mv－mv
机械能守恒定律 E1＝E2 mgh1＋mv＝mgh2＋mv
动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
2.规律的选用
(1)认真审题，明确题目所述的物理情境，确定研究对象。
(2)分析研究对象的受力情况、运动状态以及运动状态的变化过程，作草图。
(3)根据运动状态的变化规律确定解题观点，选择适用规律：
①若用力的观点解题，要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度；
②若用两大定理求解，应确定过程的始、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)；
③若可判断研究对象在某运动过程中满足动量守恒或机械能守恒的条件，则可根据题意选择合适的始、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求研究对象在末状态时的速度(率)。
(4)根据选择的规律列式，有时还需要挖掘题目中的其他条件(如隐含条件、临界条件、几何关系等)并列出辅助方程。
(5)代入数据，计算结果。
练1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）如图所示，质量为、可当成质点的滑块放在质量为m的长木板上，已知滑块和木板之间的动摩擦因数为，水平地面光滑，某时刻滑块和木板以相同的初速度向右做匀速直线运动，在木板的右侧固定有一竖直放置的挡板，木板与挡板碰撞过程无能量损失，碰撞时间极短可以忽略不计，最终滑块恰好静止在木板右端（滑块未与挡板碰撞），重力加速度大小为g，求：
（1）木板的长度L；
（2）从木板与挡板第一次碰撞到滑块停下来所用的时间t。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）滑块相对木板始终向右滑动，系统的动能转变为内能，所以有
解得
（2）滑块运动的加速度大小
木板运动的加速度大小
木板反向后速度大小仍然为，则滑块与木板发生相对运动，设经过时间二者达到共同速度，则
这段时间内，木板向左运动的位移大小
此后滑块与木板以共同速度向右滑动直到木板与挡板发生第二次碰撞设这段过程中木板运动的时间为，显然
联立解得
之后滑块和木板以的共同初速度重复上述运动过程，设第二次碰撞后二者的共同速度为，滑块和木板相对运动的时间为，共同匀速运动的时间为，同理可得
所以滑块和木板从第一次与挡板碰撞到停下来所需的时间为
【题型二】动力学观点和动量的结合问题
【典型例题】
例2．汽车A在水平冰雪路面上行驶．驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图1所示，碰撞后B车向前滑动了 m，A车向前滑动了2.0 m．已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10 m/s2.求：
(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小．
【答案】 (1)3.0 m/s (2)5 m/s
【解析】(1)设B车的质量为mB，碰后加速度大小为aB.根据牛顿第二定律有
μmBg＝mBaB①
式中μ是汽车与路面间的动摩擦因数．
设碰撞后瞬间B车速度的大小为vB′，碰撞后滑行的距离为sB.由运动学公式有
vB′2＝2aBsB②
联立①②式并利用题给数据得
vB′＝3.0 m/s③
(2)设A车的质量为mA，碰后加速度大小为aA，根据牛顿第二定律有
μmAg＝mAaA④
设碰撞后瞬间A车速度的大小为vA′，碰撞后滑行的距离为sA，由运动学公式有
vA′2＝2aAsA⑤
设碰撞前的瞬间A车速度的大小为vA.两车在碰撞过程中动量守恒，有
mAvA＝mAvA′＋mBvB′⑥
联立③④⑤⑥式并利用题给数据得
vA＝5 m/s.
练2．（2023春·辽宁大连·高二大连市金州高级中学校考期中）大秦铁路是我国西煤东运的重要能源通道之一，全长653 km，在大秦铁路，平均每十几分钟就会开出一趟重载列车，年运量最高突破亿吨。一趟趟奔跑的2万吨重载列车，让世界为之惊叹，重载列车在由静止启动时为了避免车厢间挂钩因所受作用力过大而断裂，在启动前挂钩间常留有一定的间隙，可简化为如图所示的模型，初始时挂钩间留有10cm的空隙，动力车厢始终以0.2m/s2的加速度运动，当动力车厢与后面一节无动力车厢挂钩间的间隙减小到零时相当于两车厢发生完全非弹性碰撞，假设每节车厢的质量均为90吨，所受阻力为自身重力的，重力加速度大小为g=10 m/s2，求：
（1）第二节无动力车厢刚开始运动时的速度大小；
（2）第三节无动力车厢刚开始运动时动力车厢输出的功率大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对动力车厢由匀变速运动规律，有
动力车厢和第一节无动力车厢作用的过程，由动量守恒定律有
mv1=2mv2
对动力车厢和第一节无动力车厢由匀变速运动规律，有
第二节无动力车厢开始运动时，由动量守恒定律有
2mv3=3mv4
解得第二节无动力车厢刚开始运动时的速度大小
m/s
（2）对动力车厢和前两节无动力车厢由匀变速直线运动规律有
由动量守恒定律可得第三节无动力车厢的初速度大小为
对这四节车厢由牛顿第二定律有
4ma=F－4kmg
则第三节无动力车厢刚开始运动时动力车厢输出的功率大小
【题型三】动量观点和能量的结合问题
【典型例题】
例3．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期末）如图所示，倾角的足够长的斜面上，放着两个相距、质量均为的滑块A和B（均可视为质点），滑块A的下表面光滑，滑块B与斜面间的动摩擦因数。由静止同时释放A和B，此后若A、B发生碰撞，碰撞时间极短且为弹性碰撞。已知重力加速度为，，，求：
（1）A与B第一次相碰后，B的速率；
（2）从A开始运动到两滑块第二次碰撞所经历的时间。
【答案】（1）6m/s；（2）3s
【解析】（1）滑块B与斜面间的动摩擦因数，则对B有
因此静止释放B后B保持静止；对A，由牛顿第二定律得
与B第一次碰撞前的速度由
解得
A、B发生第一次弹性碰撞，设碰后A、B速度分别为和，由弹性碰撞规律有
解得
，
（2）设A与B第一次碰撞前所用时间为，则有
解得
碰后，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做速度为的匀速直线运动，设再经时间发生第二次碰撞，则有
解得
从A开始运动到两滑块第二次碰撞所经历的总时间为
练3．（2022秋·湖北十堰·高二沙市中学校联考阶段练习）如图所示，光滑水平轨道上放置足够长的木板A（上表面粗糙程度均匀）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量相等均为。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，AB再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。
（1）求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小；
（2）上述过程中B在A上滑动的距离为。若在C的左侧涂有少许粘胶（质量不计），开始时C仍静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后两者一起运动，B在A上滑动的距离为，求与的比值。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）A、C碰后瞬时，的速度大小设为，最终A、B、C共同速度大小设为。全程A、B、C整体合外力为0，有
（2）设A、B之间动摩擦因数为，对A、B有
涂粘胶后，A、C碰后两者共同速度大小设为，A、C碰撞过程内力远大于外力，有
根据动量守恒定律知，最终A、B、C共同速度仍为。对B在A上滑动过程，有
得
【题型四】动力学、动量、能量的结合问题
【典型例题】
例4．（2023·广东·统考高考真题）如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为，平台高为。药品盒A、B依次被轻放在以速度匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端点停下，随后滑下的B以的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。已知A、B的质量分别为和，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的。与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，AB在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：
（1）A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间；
（2）B从点滑至点的过程中克服阻力做的功；
（3）圆盘的圆心到平台右端点的水平距离．
【答案】（1）（2）；（3）
【解析】（1）A在传送带上运动时的加速度
由静止加速到与传送带共速所用的时间
（2）B从点滑至点的过程中克服阻力做的功
（3）AB碰撞过程由动量守恒定律和能量关系可知
解得
（另一组舍掉）
两物体平抛运动的时间
则
解得
练4．如图所示，一长为，质量的长木板B静止于光滑水平地面上，木板的右侧靠着一个质量为的光滑的圆弧槽C，C左侧与长木板B等高，C与B不粘连，在木板B的左端放置一个质量为可视为质点的物块A，AB间动摩擦因数，物块A的正上方O点固定一长度为的轻绳，在轻绳下端固定一个质量为可视为质点的小球，现将小球向左拉起，使细绳绷直并与竖直方向成60°由静止释放，当小球运动到最低点时，与A发生弹性正碰，碰撞后将小球立即锁定，之后物块A刚好能够滑到C的顶端，，求：
（1）小球与物块A弹性正碰后，A的速度大小。
（2）物块刚滑离长木板B时，C的速度大小；
（3）光滑绝缘的圆弧槽C的半径R为多大？
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）小球向下摆动过程中，根据机械能守恒定律有
解得
小球与物块A弹性碰撞过程，设向右为正方向，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
两式联立解得
（2）以ABC为一个整体，设向右为正方向，
A和C系统机械能守恒
两式联立解得：
，
（3）滑块A滑上C后，以AC为一个整体，系统水平方向动量守恒
A和C系统机械能守恒
解得
【过关测试】
一、解答题
1．（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）如图所示，4个完全相同的木块一个挨一个地静置于水平地面上（彼此不相连）。每个木块的质量、长度，与地面间的动摩擦因数。一质量的小铅块（视为质点）从左侧第一个木块的最左端，以大小的初速度开始向右运动，它与木块间的动摩擦因数。最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，重力加速度取。
（1）当小铅块刚运动至左侧第二个木块上时，求此时小铅块的速度大小。
（2）求小铅块运动至哪个木块上时，小铅块下方的木块开始滑动。
（3）小铅块停止运动时，求与左侧第一个木块最左端的距离。（结果保留小数点后2位）
【答案】（1）2m/s；（2）4；（3）3m
【解析】（1）小铅块在第一块上运动时，有
可知小铅块在第一块上滑动时，4块木块仍处于静止状态，小铅块做匀减速直线运动，对小铅块由牛顿第二定律有
解得
由匀变速直线运动规律有
解得
（2）设小铅块运动至左侧第n个木块上时，小铅块下方的木块开始滑动，则有
解得
n>3.75
因此小铅块运动至左侧第4个木块上时，木块开始滑动。
（3）设小铅块刚运动到第4个木块时速度大小为,由匀变速直线运动规律有
解得
设第4个木块一起加速运动时加速度大小为，由牛顿第二定律有
解得
设经过时间t小铅块和第4个木块的速度相同，则有
解得
，
此段时间，小铅块的位移大小为
第4个木块的加速度为
木块的位移为
故此时铅块相对木板的位移为
经分析，小铅块和第4个木块的速度相同后，一起做匀减速直线运动，则有：从
解得
所以小铅块停止运动到左侧第一个木块最左端距离为
2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）2022年北京冬奥会上的高山滑雪精彩刺激，滑过的痕迹如图甲所示，某段山坡简化成乙图的斜面ABCD， 与水平面的夹角∠DAE=30°，轨迹由直线段和弧线段组成。直线P1P2、P3P4与水平线AB所成的夹角均为45°，各直线段的距离P1P2=P3P4=…=Pn-1Pn=。 已知在直线段上滑道作用于滑板的作用力，在斜面ABCD内分为与运动方向始终相反的分量和垂直于运动方向上的分量，其中与运动方向相反的分量大小是运动员与滑板总重力的倍；在弧线段运动员均减速，经过弧线后的动能是进入弧线段时动能的。若运动员在直线段运动过程中保持姿态不变，从P1点由静止开始下滑，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）运动员在直线段上运动的加速度大小；
（2）运动员到达P4点时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设运动员及滑板的总质量为，根据题意做出受力分析如图所示
由于运动员在P1P2段做直线运动，根据运动的性质可知，在垂直于速度方向的合力应为零，否则运动员将不能做直线运动，因此可知运动员所受合力与速度共线，设运动员的加速度为，根据正交分解可得
其中
解得
运动员在所有直线段上运动形式相同，加速度方向不同，大小相等。
（2）设运动员从P1点到达P2点时的速度为，由动能定理有
而由题意可知，运动员经过弧线后的动能是进入弧线段时动能的，设运动员到达P3时的速度为，则有
直线部分合外力做功相同，设运动员到达P4时的速度为，由动能定理有
联立以上各式解得
3．（2023春·山东东营·高一统考期末）如图所示，与水平面夹角θ=30°的传送带正以 v=2m/s 的速度顺时针匀速运行， A 、B 两端相距l=12m 。 现每隔1s 把质量m=1kg 的工件（视为质点）轻放在传送带A端，在传送带的带动下，工件向上运动，工件与传送带间的动摩擦因数 ，取重力加速度g=10m/s 。求：
（1）每个工件经过多长时间后与传送带共速；
（2）每个工件与传送带摩擦产生的热量；
（3）传送带持续运送工件与空载相比，电动机增加的平均功率。
【答案】（1）0.8s；（2）6J；（3）68W
【解析】（1） 对工件受力分析，根据牛顿第二定律得
得
经过t1时间工件与传送带速度相等，则匀加速运动时间为
（2）工件加速至与传送带速度相等时运动的距离为
传送带运动的位移
工件相对于传送带运动的位移
工件与传送带摩擦产生的热量
解得
（3）传送带持续传送工件时每经过 1s 落一个物块，故以 1s 为周期，传送带多做的功为
故电机增加的平均功率
得
4．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，光滑轨道ABC中：AB段竖直，BC段为半径为R的圆弧形轨道，末端C处切线水平。紧邻C右端依次为水平粗糙传送带甲、乙和水平粗糙地面：传送带甲以恒定的速率顺时针转动，传送带乙和上方的均质木板处于静止，其中木板长度与乙左右两端DE等长，均为kR（k未知），忽略轨道、传送带、地面相互之间的间隙，且轨道末端C、传送带上方皮带、地面等高。现有一物块从轨道上的P处静止释放，经C点进入传送带甲，于D处与木板发生碰撞后取走物块，碰撞前后物块、木板交换速度，且在碰撞结束时，传送带乙启动并以木板被碰后的速度顺时针匀速转动，最终木板运动2kR的距离后静止，忽略碰撞时间以及乙启动时间。
已知，物块通过传送带甲过程，甲皮带运动的路程是物块路程的倍；木板与传送带乙、地面之间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；PB高度差h = R，物块、木板质量均为m，重力加速度为g，忽略物块和传送带轮子的尺寸。求：
（1）物块即将滑出轨道末端C时，对C处的作用力；
（2）将传送带甲因传送物块额外消耗的电能记为W、甲和物块之间由于摩擦产生的热量记为Q，则数值大小；
（3）k的大小。
【答案】（1）5mg、方向竖直向下；（2）；（3）3
【解析】（1）物块由P至C有
得
C处由牛顿第二定律
得
F = 5mg
由牛顿第三定律：对C处的作用力大小为5mg、方向竖直向下。
（2）物块进入传送带v0 < u，开始做匀加速，传送带长度、摩擦因数未知，无法直接确定是否出现共速情况。
①假设物块一直匀加速到D，设加速度为a，末速度为vD，对物块
，vD = v0＋at
对传送带
上述3式联立求解得
显然说明物块与甲会达到共速，然后匀速，并在后面D处以速度u与木板发生碰撞；
②设物块匀加速、匀速时间分别为t1、t2
对物块
u = v0＋at1，
对传送带
上述3式联立求解得
t1= 14t2
由
W = Ff ut1，
解得
（3）碰撞后木板的速度大小u，对木板此后运动的动力学分析结果
①木板位移：合力为0，木板匀速；
②木板位移：木板合力为
则木板做变减速，合力随位移均匀增加；
③木板位移：木板合力
F = μmg
合力恒定、匀减速至静止对木板，全程由动能定理
解得
k = 3
5．（2023秋·江西南昌·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为θ、足够长的固定斜面上静置一质量为M的滑块，现将另一表面光滑的物体从滑块上方L处由静止释放，物体与滑块碰撞后，滑块向下减速，当速度刚减到0时，两者再次发生碰撞。已知碰撞后两者之间的最大距离恰好等于滑块每次碰后的减速距离，碰撞均为弹性正碰且碰撞时间极短，。求：
（1）物体的质量m；
（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ；
（3）物体与滑块碰撞后两者的最大距离d。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）（2）（3）设物体的质量为m，物体与滑块碰撞前的速度大小为，碰撞后的速度分别为、，滑块减速时的加速度大小为a，每次的减速时间为t，则有
二者发生弹性碰撞，有
依题意，根据运动学相关公式及牛顿第二定律可得
联立解得
6．（2023春·北京丰台·高二统考期中）如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块 A和 B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，下滑到最低点与小滑块 B正碰，之后沿桌面滑动。已知圆弧轨道和水平桌面均光滑，圆弧轨道半径 R = 0.2m；A、B的质量分别为m1 = 0.3kg、 m2 = 0.1kg，g取10m/s2。求：
（1）与B碰撞前瞬间，小滑块 A的速度大小v1；
（2）若A与 B碰撞后结合为一个整体，求：
a.碰撞后瞬间A、B的速度大小 v2；
b.碰撞过程中，A与B组成的系统所损失的机械能ΔE；
（3）若A与 B发生弹性碰撞，求碰撞后A的速度vA。
【答案】（1）2m/s；（2）a.m/s，b.0.15J；（3）1m/s
【解析】（1）小滑块A下滑到最低点过程中
m1gR=m1 v12
v1=2m/s
（2）a.小滑块A、B为一个系统，动量守恒
m1 v1=(m1+m2）v2
v2=m/s
b. 碰撞过程中，A与B组成的系统所损失的机械能
（3）若AB发生弹性碰撞，则
解得
vA = 1m/s
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江实验中学校考期末）如图所示，水平传送带以的速度做逆时针运动，传送带左端与水平地面平滑连接，传送带右端与一固定的四分之一光滑圆弧轨道相切，物块a从圆弧轨道最高点由静止下滑后滑过传送带，与静止在水平地面右端的物块b发生弹性碰撞。已知物块a的质量，物块b的质量，两物块均可视为质点，圆弧轨道半径，传送带左、右两端的距离，物块a与传送带和水平地面间的动摩擦因数均为，重力加速度，碰撞时间极短。求：
（1）物块a滑到圆弧轨道最低点时的速度及对轨道的压力大小；
（2）物块a第一次与物块b碰撞后瞬间，物块b的速度大小。
【答案】（1），3N；（2）
【解析】（1）物块a沿圆弧从最高点由静止下滑到圆弧轨道最低点，根据机械能守恒定律有
解得
物块a运动到轨道最低点时，由牛顿第二定律有
联立解得
由牛顿第三定律知物块a滑到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小为3N。
（2）物块a在传送带上运动时，由牛顿第二定律有
设物块a第一次滑到传送带左端时的速度大小为，由a、b运动学公式可得
解得
则物块a第一次滑到传送带左端时的速度大小为，物块a、b碰撞过程动量守恒，机械能守恒，设碰撞后物块a的速度为，b的速度为，则有
联立解得
，
即第一次碰撞后瞬间物块b的速度大小为。
8．（2023·全国·高三假期作业）如图甲所示，在光滑水平地面上固定一光滑的竖直轨道MNP，其中水平轨道MN足够长，NP为半圆形轨道。一个质量为m的物块B与轻弹簧连接，静止在水平轨道MN上；物块A向B运动，时刻与弹簧接触，到时与弹簧分离，第一次碰撞结束。A、B的图像图乙所示。已知在时间内，物体B运动的距离为。A、B分离后，B与静止在水平轨道MN上的物块C发生弹性正碰，此后物块C滑上半圆形竖直轨道，物块C的质量为m，且在运动过程中始终未离开轨道MNP。已知物块A、B、C均可视为质点，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g。求：
（1）物块A最终运动的速度：
（2）A、B第一次碰撞和第二次碰撞过程中，A物体的最大加速度大小之比（弹簧的弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）；
（3）第二次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由乙图知后
B、C发生弹性碰撞，由动量守恒可知
由机械能守恒可知
联立解得
C返回水平轨道时由机械能守恒可知
C与B再次发生弹性碰撞
解得
A与B第一次碰撞到共速时，由动量守恒
可得
B与A第二次碰撞过程，由动量守恒可知
由机械能守恒可知
解得
（2）A与B第一次碰撞到共速时，由机械能守恒可知
A与B第二次碰撞到共速时，由动量守恒可知
解得
由机械能守恒可知
由以上公式得
两次加速度最大对应弹簧弹力最大，根据
可得
（3）A与B压缩弹簧过程
同一时刻A、B的瞬时速度关系为
由位移等于速度对时间的积累得
（累积）
（累积）
在时间内
由此得
因此
可得
第二次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值第二章 相互作用
重力、弹力和摩擦力
【考点预测】
1.重心
2.弹力有无及方向的判断
3.静摩擦力的大小和方向
4.滑动摩擦力的大小和方向
5.轻杆、轻绳的弹力
【方法技巧与总结】
1. 影响重心位置的因素：物体的几何形状；物体的质量分布．
2．弹力有无的判断方法
(1)条件法：根据弹力产生条件——物体是否直接接触并发生弹性形变．
(2)假设法：假设两个物体间不存在弹力，看物体能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处没有弹力；若运动状态改变，则此处一定有弹力．
(3)状态法：根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断弹力是否存在．
3.摩擦力的有无和大小、方向的判断
摩擦力的产生条件：接触面粗糙、有相对运动或相对运动趋势。根据物体的相对运动方向、或相对运动趋势的方向和运动状态，判断摩擦力的方向。摩擦力大小要首先区分是静摩擦力还是滑动摩擦力。静摩擦力大小根据物体所处的状态进行判断，滑动摩擦力利用公式计算。
【题型归纳目录】
题型一：弹力有无及方向的判断
题型二： 摩擦力的大小和方向
题型三：轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的弹力
题型四：摩擦力的突变问题
【题型一】弹力有无及方向的判断
【典型例题】
例1．如图所示，将一个钢球分别放在甲、乙、丙三个容器中，钢球与各容器的底部和侧壁相接触，处于静止状态。若钢球和各容器的接触面都是光滑的，各容器的底面均水平，则以下说法中正确的是（ ）
A．各容器的侧壁对钢球均无弹力作用
B．各容器的侧壁对钢球均有弹力作用
C．甲容器的侧壁对钢球无弹力作用，其余两种容器的侧壁对钢球均有弹力作用
D．乙容器的侧壁对钢球有弹力作用，其余两种容器的侧壁对钢球均无弹力作用
【答案】A
【解析】如果将各容器的侧壁搬离，我们可以知道钢球还能处于静止状态，所以各容器的侧壁对钢球均无弹力作用。
故选A。
【方法技巧与总结】
1.弹力有无的判断
2. 弹力方向的判断
①五种常见模型中弹力的方向
②根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
3．弹力大小计算的三种方法
(1)根据胡克定律进行求解；
(2)根据力的平衡条件进行求解；
(3)根据牛顿第二定律进行求解。
练1．2022年11月第22届世界杯在卡塔尔举行，阿根廷队爆冷1:2输给沙特队。图为某球员准备罚任意球时，一脚用力踩在足球上面，让足球保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．静止的足球受到的合力竖直向下
B．如果足球气打得足一点，足球可能不发生形变
C．静止的足球可能受4个力的作用
D．脚对足球的压力是由足球发生弹性形变引起的
【答案】C
【解析】A．静止的足球处于平衡状态，可知其受到的合力为零，故A错误；
B．足球在外力的作用下总是要发生形变，从而对与之接触的物体产生弹力作用，可知即使足球气打得足一点，足球仍然发生形变，故B错误；
C．静止的足球可能受到重力、脚的压力、地面支持力和摩擦力的作用，故C正确；
D．脚对足球的压力是脚发生弹性形变引起的，故D错误。
故选C。
【题型二】摩擦力的大小和方向
【典型例题】
例2．如图甲所示，一人用由0逐渐增大的水平力F推静止于水平地面上质量为10 kg的木箱，木箱所受的摩擦力Ff与F的关系如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．木箱所受的最大静摩擦力Fmax=21 N
B．木箱所受的最大静摩擦力Fmax=20 N
C．木箱与地面间的动摩擦因数μ=0.21
D．木箱与地面间的动摩擦因数μ=0.2
【答案】AD
【解析】AB．由图可知，木箱所受的最大静摩擦力Fmax=21 N，选项A正确，B错误；
CD．木箱与地面间的滑动摩擦力为f=20N，则动摩擦因数
选项C错误，D正确。
故选AD。
【方法技巧与总结】
1．计算摩擦力大小的思维流程
2．计算摩擦力大小的“四点”注意
(1)首先分析物体的状态，分清是静摩擦力还是滑动摩擦力．
(2)滑动摩擦力的大小可以用公式Ff＝μFN计算，而静摩擦力没有公式可用，只能利用平衡条件或牛顿第二定律列方程计算．这是因为静摩擦力是被动力，其大小随状态而变，介于0～Ffmax之间．
(3)“Ff＝μFN”中FN并不总是等于物体的重力．
(4)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小、接触面积的大小无关．
练2．如图所示，一质量为m的木块在水平力F的作用下静止在竖直粗糙墙壁上，已知木块与墙壁之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，木块与墙壁间的动摩擦因数为，下列说法正确的是（ ）
A．若水平力F增大，木块受到的摩擦力也增大
B．若撤去F，木块受到的滑动摩擦力大小等于
C．若撤去F，木块受到的滑动摩擦力大小等于
D．若撤去力F，木块将自由下落
【答案】D
【解析】A．由于木块静止在竖直粗糙墙壁上，根据受力分析可知，木块受到重力，墙壁对木块的弹力，墙壁对木块的摩擦力以及所施加的水平压力，根据平衡条件可得
水平力F增大，木块受到墙壁对其弹力将增大，摩擦力不变，故A错误；
BCD．若产生静摩擦力，物体必须对接触面产生压力且有相对运动的趋势，若产生滑动摩擦力，物体必须对接触面产生压力且发生相对运动，而若撤去F，木块将不再紧压墙壁，即压力为零，因此摩擦力将为0，木块将自由下落，故BC错误，D正确。
故选D。
【题型三】轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的弹力
【典型例题】
例3．如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为的斜面上，杆的另一端固定一个重力为2N的小球，小球处于静止状态，则弹性杆对小球的弹力（ ）
A．大小为2N，方向平行于斜面向上 B．大小为2N，方向垂直于斜面向上
C．大小为2N，方向竖直向上 D．大小为1N，方向沿杆的切线方向
【答案】C
【解析】要注意活动杆的弹力一定沿着杆，而固定杆的弹力可以沿任意方向。对小球受力分析，小球受到重力G和弹性杆对小球的弹力F，由于小球处于静止状态，弹力与重力平衡，故弹性杆对小球的弹力方向应竖直向上，大小为
F＝G＝2N
故ABD错误，C正确。
故选C。
【方法技巧与总结】轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的比较
轻绳 轻杆 弹性绳 轻弹簧
图示
受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变
受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略 较大，不可忽略
弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以跟杆成任意角度 沿着绳，指向绳收缩的方向 沿着弹簧，指向弹簧恢复原长的方向
练3．如图所示，两个可视为质点的小球A、B通过固定在O点的光滑滑轮用轻绳相连，小球A置于光滑半圆柱上，小球B用水平轻绳拉着，水平轻绳另一端系于竖直板上，两球均处于静止状态。已知O点在半圆柱横截面圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角、其长度与半圆柱横截面的半径相等，OB与竖直方向成60°角，则（ ）
A．轻绳对球A的拉力与球A所受弹力的合力大小相等
B．轻绳对球A的拉力与半网柱对球A的弹力大小不相等
C．轻绳AOB对球A的拉力与对球B的拉力大小之比为：
D．球A与球B的质量之比为2：1
【答案】D
【解析】设轻绳中拉力为T，球A受力如图
A．所受弹力为绳对A的拉力和半圆对球A的弹力的合力，与重力等大反向，大于T，故A错误；
B．受力分析可得
解得
故B错误；
C．细线对A的拉力与对球B的拉力都等于T，故C错误；
D．对球B
解得
故D正确。
故选D。
【题型四】摩擦力的突变问题
【典型例题】
例4．如图所示，A、B两物体静止在粗糙水平面上，其间用一根轻弹簧相连，弹簧的长度大于原长。若再用一个从零开始缓慢增大的水平力F向右拉物体B，直到A即将移动，此过程中，地面对B的摩擦力和对A的摩擦力的变化情况是（ ）
A．先变小后变大 B．先不变后变大
C．先变大后不变 D．先不变后变大
【答案】D
【分析】先分析刚开始弹簧所处状态，根据平衡条件判断刚开始摩擦力的方向，若再用一个从零开始缓慢增大的水平力F向右拉物体B，再对AB进行受力分析，即可判断。
本题解题的关键是对AB两个物体进行正确的受力分析，知道当B没有运动时，弹簧弹力不变，当B运动而A未运动时，弹力变大。
【解析】A B．刚开始弹簧处于伸长状态，对A的作用力向右，对B的作用力向左，而AB均静止，所以刚开始的方向水平向右，方向水平向左，当用一个从零开始缓慢增大的水平力F向右拉物体B时，刚开始，未拉动B，弹簧弹力不变，不变，减小；当F等于弹簧弹力时，等于零，F继续增大，反向增大，当增大到最大静摩擦力时，B物体开始运动，此后变为滑动摩擦力，不发生变化，故AB错误；
C D．弹簧长度先不变故先不变，而后弹簧被拉伸，弹力变大，A仍静止，所以变大，所以对A的摩擦力先不变，后变大，故C错误，D正确。
故选D。
【方法技巧与总结】
分析摩擦力突变问题的方法
(1)分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
(2)确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
练4．如图所示，物块A放在倾斜的木板上，改变木板与水平面之间的夹角θ，发现当和时物块A所受的摩擦力大小恰好相等，则物块A与木板之间的动摩擦因数大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时为静摩擦力，大小为
当时为滑动摩擦力，大小为
由题意可知
可得
故选C。
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广东·模拟预测）一些巧妙的工业设计能极大地为人们的生活提供便利。如图是竖直放置的某款可调角度的简便磨刀器，该磨刀器左右两侧对称，通过调整磨刀角度可以使该磨刀器的两侧面与刀片尖端的两侧面紧密贴合，就可以轻松满足家庭日常的各种磨刀需求。关于在使用磨刀器的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．向后轻拉刀具，磨刀器受到的摩擦力向前
B．若水平匀速向后拉动刀具，则磨刀器对刀具的作用力竖直向上
C．加速后拉刀具，刀具受到的摩擦力小于磨刀器受到的摩擦力
D．对同一把刀具在竖直方向上施加相同压力时，磨刀器的夹角越小，越难被拉动
【答案】D
【解析】A．磨刀过程中，向后轻拉刀具，刀具受到的摩擦力的合力向前，根据牛顿第三定律，磨刀器受到的摩擦力向后，故A错误；
B．若水平匀速向后拉动刀具，从两个方向看，受力分析如图示
磨刀器对刀具的作用力是指两个接触面的支持力与摩擦力的合力，方向应向前方偏上，故B错误；
C．根据牛顿第三定律可知，刀具受到的摩擦力等于磨刀器受到的摩擦力，故C错误；
D．刀具对磨刀器正压力的两分力夹角应为磨口角的补角，故磨刀器的夹角越小，正压力的两分力夹角越大，当施加相同的正压力时，则两分力越大，故拖动时的滑动摩擦力越大就越难被拉动，故D正确。
故选D。
2．（2023·陕西·校联考模拟预测）两只完全相同的蚂蚁在轮胎内外表面爬，当两只蚂蚁爬到图示位置时保持静止，角大于角。已知轮胎材料相同，轮胎与蚂蚁之间动摩擦因数为，蚂蚁质量，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．处蚂蚁受到的支持力比处蚂蚁大
B．处蚂蚁受到的摩擦力比处蚂蚁大
C．处的蚂蚁受到的摩擦力大小为
D．处的蚂蚁受到的摩擦力大小为
【答案】D
【解析】根据题意，对蚂蚁受力分析，设蚂蚁所在位置和圆心连线与竖直方向夹角为，如图所示
由平衡条件可得
AB．由于，则处蚂蚁受到的支持力比处蚂蚁小，处蚂蚁受到的摩擦力比处蚂蚁小，故AB错误；
C．蚂蚁与轮胎之间保持静止，则摩擦力不能按滑动摩擦力计算，则处的蚂蚁受到的摩擦力大小不一定为，故C错误；
D．由题意可知，处蚂蚁所在位置和圆心连线与竖直方向夹角为，则处的蚂蚁受到的摩擦力大小为，故D正确。
故选D。
3．（2023·广东深圳·深圳中学校考三模）舞蹈《只此青绿》表演中，需要舞者两脚前后分开，以胯部为轴，上半身缓慢后躺，与地面近乎平行，在舞考缓慢后躺的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．舞者对地面的压力就是舞者的重力
B．地面对舞者的支持力和舞者的重力是一对平衡力
C．舞者受到地面的摩擦力向前
D．舞者处于失重状态
【答案】B
【解析】A．舞者缓慢后躺，始终处于平衡状态，则舞者所受的支持力大小始终等于舞者的重力大小，而舞者对地面的压力和地面对舞者的支持力是一对作用力与反作用力，故舞者对地面的压力大小等于舞者的重力大小，故A错误；
B．地面对舞者的支持力和舞者的重力二者大小相等，方向相反，作用在不同物体上，作用在同一直线上，故是一对平衡力，故B正确；
CD．舞者缓慢后躺，始终处于平衡状态，重力大小和支持力大小相等，不是失重状态，且水平方向上不受摩擦力，故CD错误。
故选B。
4．（2023·湖南·模拟预测）图甲是一种榫卯连接构件。相互连接的两部分P、Q如图乙所示。图甲中构件Q固定在水平地面上，榫、卯接触面间的动摩擦因数均为，沿P的轴线用大小为F的力才能将P从Q中拉出。若各接触面间的弹力大小均为，滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】有6个接触面间存在摩擦，所以
解得
故选A。
5．（2023·浙江金华·模拟预测）筷子是中华饮食文化的标志之一、如图所示，用筷子夹质量为m的小球处于静止，筷子均在竖直平面内，且筷子甲与竖直方向的夹角为，乙始终竖直。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子甲对小球的弹力是因为小球发生了形变
C．减小，乙和甲对小球的弹力都增大
D．增加（不超过），甲对小球的弹力先减小后增大
【答案】C
【解析】A．由于小球处于静止状态，两只筷子对小球的合力大小等于小球的重力大小，故A错误；
B．筷子甲对小球的弹力是因为筷子发生了形变，故B错误；
CD．对小球受力分析可知，小球受重力和两筷子的作用力，根据平衡条件可知：
解得
，
随着减小，，都在增大，故D错误，C正确。
故选C。
6．（2023·天津静海·静海一中校考模拟预测）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我们的生活带来了方便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，锁舌所夹的角度为θ，若弹簧始终处于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错误的是（ ）
A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为
C．如果图中的变小，关门时会更费力
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
【答案】D
【解析】A．关门时弹簧逐渐被压缩，形变量变大，弹力变大，故A正确，不符合题意；
B．锁舌运动时的速度如图：
则有
即
故B正确，不符合题意；
C．设关门时弹簧弹力为，锁壳对锁舌的作用力为，锁舌受到的摩擦力为f，关门时锁舌受力如图
则缓慢关门时有
联立可得
可见如果图中的变小，会变大，关门时会更费力，故C正确，不符合题意；
D．由C选项分析可知关门时锁舌对锁壳的弹力大于弹簧的弹力，故D错误，符合题意。
故选D。
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）下列四种情景中，物体（球或轻杆）均处于静止状态，它与外界的接触面（接触点）均光滑，物体所受弹力示意图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A．图中的小球受到重力与水平面的支持力即可保持静止，若受到左侧顶点处的弹力，则小球将向右运动，所以图中小球只受到水平地面的弹力F1，不能存在弹力F2，故A错误；
B．处在杆顶的小球处于静止状态时受到重力与杆对小球的弹力，二者是一对平衡力，所以杆对小球的弹力的方向与重力的方向相反，为竖直向上，故B正确；
C．小球受到竖直向下的重力，如果受到左上方的F1的拉力，小球将无法处于静止状态，故C错误；
D．杆与半球容器有两个接触点，左侧处为点与球面接触，所以弹力的方向过圆心与接触点，方向指向被支持的物体（杆）；右侧是点与直杆接触，方向垂直于杆的方向指向杆，图中得两个弹力的位置与方向都正确，故D正确；
故选BD。
8．（2023·甘肃甘南·校考二模）如图所示，A、B两球完全相同，质量均为m，两球可视为质点，用三根完全相同的轻弹簧固连着，在水平拉力F下均处于静止状态，k1弹簧位于竖直方向，则有关说法正确的是（ ）
A．B球必受四个力作用
B．k2、k3弹簧长度一样长
C．k3弹簧没有发生形变
D．k2弹簧最长
【答案】CD
【解析】A．因k1弹簧位于竖直方向，A球受力平衡，故k3弹簧没有拉力，则B球受重力、k2弹簧的拉力、水平拉力F三个力作用，故A错误；
B．k3弹簧没有拉力没有发生形变，故k2弹簧长度大于k3弹簧长度，故B错误；
C．对A球受力分析，k1弹簧位于竖直方向，说明k3弹簧没有拉力没有发生形变，故C正确；
D．A球受重力、k1弹簧拉力，由平衡条件得
B球受重力、k2弹簧的拉力、水平拉力F三个力作用，在竖直方向上由平衡条件得
故k2弹簧最长，故D正确；
故选CD。
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图所示，质量为1kg的物块放置于矩形木箱中，弹簧测力计水平，一端固定在木箱上，另一端钩住物块，当物块和木箱均静止在水平面上时，弹簧测力计示数为1.0N，下列说法正确的是（ ）
A．若木箱以水平向左做匀加速运动，弹簧测力计的示数可能仍为1.0N
B．若木箱以水平向右做匀加速运动，弹簧测力计的示数可能仍为1.0N
C．若木箱以竖直向上做匀加速运动，弹簧测力计的示数一定仍为1.0N
D．若木箱以竖直向上做匀减速运动，弹簧测力计的示数一定仍为1.0N
【答案】ABC
【解析】AB．物块与木箱间的动摩擦因数未知，最大静摩擦力未知，木箱在水平方向上做匀加速直线运动时，物块与木箱是否发生相对滑动无法判断，若无相对滑动，则弹簧测力计的示数仍为1.0N，若发生相对滑动，则弹簧测力计的示数发生变化，故AB正确；
C．若木箱a=2.0m/s2竖直向上做匀加速运动，木箱与物块间的弹力增大，最大静摩擦力增大，物块与木箱一定不会发生相对滑动，弹簧测力计的示数一定仍为1.0N，故C正确；
D．若木箱a=1.0m/s2竖直向上做匀减速运动，木箱与物块间的弹力减小，最大静摩擦力减
小，物块与木箱是否发生相对滑动无法判断，若无相对滑动，则弹簧测力计的示数仍为1.0N，若发生相对滑动，弹簧测力计的示数发生变化，故D错误。
故选ABC。
10．（2023·云南保山·统考三模）无线充电宝可通过磁吸力吸附在手机背面，如图甲所示为科创小组某同学手握手机（手不接触充电宝），利用手机软件记录竖直放置的手机及吸附的充电宝从静止开始在竖直方向上的一次变速运动过程（手机与充电宝始终相对静止），记录的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（规定向上为正方向），t2时刻充电宝速度为零，且最终处于静止状态。已知无线充电宝质量为0.2kg，手机与充电宝之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，在该过程中下列说法正确的是（ ）
A．充电宝受到的静摩擦力的最大值为1.0N
B．t3时刻充电宝受的摩擦力大小为0.4N
C．充电宝在t2与t3时刻所受的摩擦力方向相反
D．充电宝与手机之间的吸引力大小至少为10N
【答案】BD
【解析】B.t3时刻由牛顿第二定律可得
解得
故B正确；
C.充电宝在t2时刻具有向上的最大加速度，由牛顿第二定律知摩擦力方向竖直向上，t3时刻充电宝具有向下的加速度，而加速度小于重力加速度，所以摩擦力方向向上，所以充电宝在t2与t3时刻所受的摩擦力方向相同，故C错误；
AD.t2时刻充电宝具有向上的最大加速度，充电宝与手机之间的摩擦力最大，此时由牛顿第二定律有
又
解得充电宝与手机之间的吸引力大小至少为
故D正确、A错误。
故选BD。
11．（2023·浙江宁波·校考三模）如图是五一假期小姚在某景区看到的“天壶”，巨大的茶壶悬在空中，正源源不断的往外出水，祈愿财源滚滚，福寿绵绵。下列说法正确的是（ ）
A．靠水流的反冲力支撑壶体
B．壶的重心不在水流的延长线上
C．水流越大，壶体会升得越高
D．研究壶体受力时，不能把它当作质点
【答案】BD
【解析】AC．巨大的茶壶悬在空中不是靠水流的反冲力支撑壶体，而是从茶壶里流出的水包围着一根支撑柱，支撑柱支撑壶体，壶体的高度是一定的，与水流无关，AC错误；
B．壶的重心不在水流的延长线上，B正确；
D．研究壶体受力时，壶体的形状大小不能忽略不计，不能把它当作质点，D正确。
故选BD。
12．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）一辆货车运输规格相同的长木板，木板装载成两层平放在车厢里，如图所示。已知木板间的动摩擦因数为μ，木板与车厢间的动摩擦因数为2μ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，货车为了躲避横穿公路的行人紧急刹车，刹车时的加速度大小为a，每块木板的质量均为m，重力加速度为g，上层木板最前端离驾驶室距离为d，则下列判断正确的是（ ）
A．当a>μg时，上层木板会与下层木板发生相对滑动
B．当a=μg时，下层木板受到车厢对它的摩擦力为3μmg
C．若a>2μg，下层木板一定会相对车厢发生滑动
D．若a=2μg，要使货车在紧急刹车时上层木板不撞上驾驶室，货车在水平路面上匀速行驶的速度应不超过2
【答案】AD
【解析】A．当货车加速度时，上层木板受到的静摩擦力
恰好等于上、下两层木板间的最大静摩擦力，则上层木板刚好与下层木板相对静止，当时上层木板会与下层木板发生相对滑动，故A正确；
B．当时，下层木板受到车厢对它的静摩擦力与上层木板对它的滑动摩擦力的合力产生其加速度，由牛顿第三定律可知上层木板对下层木板的滑动摩擦力大小等于下层木板对上层木板的滑动摩擦力大小，有
当时，解得下层木板受到车厢对它的摩擦力为μmg，故B错误；
C．当时，由
可知随的增大，变大，当时下层木板刚好与车厢相对静止，此时车的加速度，所以当时，下层木板才会相对车厢发生滑动，故C错误；
D．当时，若上层木板恰好不撞上驾驶室，对车有
对上层木板有
两式联立解得
故D正确。
故选AD。第六章 碰撞与动量守恒定律
用三大观点处理力学问题
【考点预测】
1. 牛顿运动定律和运动学公式解决匀变速直线运动问题
2.动能定理和能量守恒定律解决直线或曲线运动问题
3.动量定理或动量守恒定律解决非匀变速直线运动问题
【方法技巧与总结】
1．解动力学问题的三个基本观点
(1)力的观点：运用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题．
(2)能量观点：用动能定理和能量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
(3)动量观点：用动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题．
2．力学规律的选用原则
(1)如果要列出各物理量在某一时刻的关系式，可用牛顿第二定律．
(2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题．
(3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和机械能守恒定律去解决问题，但需注意所研究的问题是否满足守恒的条件．
(4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量．
(5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换．作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决．
【题型归纳目录】
题型一：动力学观点和能量的结合问题
题型二：动力学观点和动量的结合问题
题型三：动量观点和能量的结合问题
题型四：动力学、动量、能量的结合问题
【题型一】动力学观点和能量的结合问题
【典型例题】
例1．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）大货车装载很重的货物时，在行驶过程中要防止货物发生相对滑动，否则存在安全隐患。下面进行安全模拟测试实验：如图1所示，一辆后车厢表面粗糙且足够长的小货车向前以未知速度v匀速行驶，质量的货物A（可看成质点）和质量的货物B（可看成水平长板）叠放在一起，开始时A位于B的右端，在时刻将货物A、B轻放到小货车的后车厢前端，最终货物A恰好没有滑离货物B，货物A、B在0~1s时间内的速度一时间图像如图2所示，已知货物A、B间的动摩擦因数，取重力加速度。求：
（1）运动过程中货物A的加速度？
（2）货物B与车厢表面之间的动摩擦因数；
（3）货物A、B间由于摩擦而产生的内能。
【方法技巧与总结】
1.力学中的五大规律
规律 公式表达
牛顿第二定律 F合＝ma
动能定理 W合＝ΔEk W合＝mv－mv
机械能守恒定律 E1＝E2 mgh1＋mv＝mgh2＋mv
动量定理 F合t＝p′－p I合＝Δp
动量守恒定律 m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
2.规律的选用
(1)认真审题，明确题目所述的物理情境，确定研究对象。
(2)分析研究对象的受力情况、运动状态以及运动状态的变化过程，作草图。
(3)根据运动状态的变化规律确定解题观点，选择适用规律：
①若用力的观点解题，要认真分析运动状态的变化，关键是求出加速度；
②若用两大定理求解，应确定过程的始、末状态的动量(动能)，分析并求出过程中的冲量(功)；
③若可判断研究对象在某运动过程中满足动量守恒或机械能守恒的条件，则可根据题意选择合适的始、末状态，列守恒关系式，一般这两个守恒定律多用于求研究对象在末状态时的速度(率)。
(4)根据选择的规律列式，有时还需要挖掘题目中的其他条件(如隐含条件、临界条件、几何关系等)并列出辅助方程。
(5)代入数据，计算结果。
练1．（2023春·辽宁·高二校联考期末）如图所示，质量为、可当成质点的滑块放在质量为m的长木板上，已知滑块和木板之间的动摩擦因数为，水平地面光滑，某时刻滑块和木板以相同的初速度向右做匀速直线运动，在木板的右侧固定有一竖直放置的挡板，木板与挡板碰撞过程无能量损失，碰撞时间极短可以忽略不计，最终滑块恰好静止在木板右端（滑块未与挡板碰撞），重力加速度大小为g，求：
（1）木板的长度L；
（2）从木板与挡板第一次碰撞到滑块停下来所用的时间t。
【题型二】动力学观点和动量的结合问题
【典型例题】
例2．汽车A在水平冰雪路面上行驶．驾驶员发现其正前方停有汽车B，立即采取制动措施，但仍然撞上了汽车B.两车碰撞时和两车都完全停止后的位置如图1所示，碰撞后B车向前滑动了 m，A车向前滑动了2.0 m．已知A和B的质量分别为2.0×103 kg和×103 kg，两车与该冰雪路面间的动摩擦因数均为0.10，两车碰撞时间极短，在碰撞后车轮均没有滚动，重力加速度大小g＝10 m/s2.求：
(1)碰撞后的瞬间B车速度的大小；
(2)碰撞前的瞬间A车速度的大小．
练2．（2023春·辽宁大连·高二大连市金州高级中学校考期中）大秦铁路是我国西煤东运的重要能源通道之一，全长653 km，在大秦铁路，平均每十几分钟就会开出一趟重载列车，年运量最高突破亿吨。一趟趟奔跑的2万吨重载列车，让世界为之惊叹，重载列车在由静止启动时为了避免车厢间挂钩因所受作用力过大而断裂，在启动前挂钩间常留有一定的间隙，可简化为如图所示的模型，初始时挂钩间留有10cm的空隙，动力车厢始终以0.2m/s2的加速度运动，当动力车厢与后面一节无动力车厢挂钩间的间隙减小到零时相当于两车厢发生完全非弹性碰撞，假设每节车厢的质量均为90吨，所受阻力为自身重力的，重力加速度大小为g=10 m/s2，求：
（1）第二节无动力车厢刚开始运动时的速度大小；
（2）第三节无动力车厢刚开始运动时动力车厢输出的功率大小。
【题型三】动量观点和能量的结合问题
【典型例题】
例3．（2021秋·陕西汉中·高三校联考期末）如图所示，倾角的足够长的斜面上，放着两个相距、质量均为的滑块A和B（均可视为质点），滑块A的下表面光滑，滑块B与斜面间的动摩擦因数。由静止同时释放A和B，此后若A、B发生碰撞，碰撞时间极短且为弹性碰撞。已知重力加速度为，，，求：
（1）A与B第一次相碰后，B的速率；
（2）从A开始运动到两滑块第二次碰撞所经历的时间。
练3．（2022秋·湖北十堰·高二沙市中学校联考阶段练习）如图所示，光滑水平轨道上放置足够长的木板A（上表面粗糙程度均匀）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量相等均为。开始时C静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，AB再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。
（1）求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小；
（2）上述过程中B在A上滑动的距离为。若在C的左侧涂有少许粘胶（质量不计），开始时C仍静止，A、B一起以的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后两者一起运动，B在A上滑动的距离为，求与的比值。
【题型四】动力学、动量、能量的结合问题
【典型例题】
例4．（2023·广东·统考高考真题）如图为某药品自动传送系统的示意图．该系统由水平传送带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为，平台高为。药品盒A、B依次被轻放在以速度匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速后，从点进入滑槽，A刚好滑到平台最右端点停下，随后滑下的B以的速度与A发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B恰好落在桌面上圆盘内直径的两端。已知A、B的质量分别为和，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间总动能的。与传送带间的动摩擦因数为，重力加速度为g，AB在滑至N点之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：
（1）A在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间；
（2）B从点滑至点的过程中克服阻力做的功；
（3）圆盘的圆心到平台右端点的水平距离．
练4．如图所示，一长为，质量的长木板B静止于光滑水平地面上，木板的右侧靠着一个质量为的光滑的圆弧槽C，C左侧与长木板B等高，C与B不粘连，在木板B的左端放置一个质量为可视为质点的物块A，AB间动摩擦因数，物块A的正上方O点固定一长度为的轻绳，在轻绳下端固定一个质量为可视为质点的小球，现将小球向左拉起，使细绳绷直并与竖直方向成60°由静止释放，当小球运动到最低点时，与A发生弹性正碰，碰撞后将小球立即锁定，之后物块A刚好能够滑到C的顶端，，求：
（1）小球与物块A弹性正碰后，A的速度大小。
（2）物块刚滑离长木板B时，C的速度大小；
（3）光滑绝缘的圆弧槽C的半径R为多大？
【过关测试】
一、解答题
1．（2023春·辽宁鞍山·高二东北育才学校校联考期末）如图所示，4个完全相同的木块一个挨一个地静置于水平地面上（彼此不相连）。每个木块的质量、长度，与地面间的动摩擦因数。一质量的小铅块（视为质点）从左侧第一个木块的最左端，以大小的初速度开始向右运动，它与木块间的动摩擦因数。最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，重力加速度取。
（1）当小铅块刚运动至左侧第二个木块上时，求此时小铅块的速度大小。
（2）求小铅块运动至哪个木块上时，小铅块下方的木块开始滑动。
（3）小铅块停止运动时，求与左侧第一个木块最左端的距离。（结果保留小数点后2位）
2．（2022春·四川成都·高三四川省成都市第四十九中学校校考阶段练习）2022年北京冬奥会上的高山滑雪精彩刺激，滑过的痕迹如图甲所示，某段山坡简化成乙图的斜面ABCD， 与水平面的夹角∠DAE=30°，轨迹由直线段和弧线段组成。直线P1P2、P3P4与水平线AB所成的夹角均为45°，各直线段的距离P1P2=P3P4=…=Pn-1Pn=。 已知在直线段上滑道作用于滑板的作用力，在斜面ABCD内分为与运动方向始终相反的分量和垂直于运动方向上的分量，其中与运动方向相反的分量大小是运动员与滑板总重力的倍；在弧线段运动员均减速，经过弧线后的动能是进入弧线段时动能的。若运动员在直线段运动过程中保持姿态不变，从P1点由静止开始下滑，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）运动员在直线段上运动的加速度大小；
（2）运动员到达P4点时的速度大小。
3．（2023春·山东东营·高一统考期末）如图所示，与水平面夹角θ=30°的传送带正以 v=2m/s 的速度顺时针匀速运行， A 、B 两端相距l=12m 。 现每隔1s 把质量m=1kg 的工件（视为质点）轻放在传送带A端，在传送带的带动下，工件向上运动，工件与传送带间的动摩擦因数 ，取重力加速度g=10m/s 。求：
（1）每个工件经过多长时间后与传送带共速；
（2）每个工件与传送带摩擦产生的热量；
（3）传送带持续运送工件与空载相比，电动机增加的平均功率。
4．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）如图所示，光滑轨道ABC中：AB段竖直，BC段为半径为R的圆弧形轨道，末端C处切线水平。紧邻C右端依次为水平粗糙传送带甲、乙和水平粗糙地面：传送带甲以恒定的速率顺时针转动，传送带乙和上方的均质木板处于静止，其中木板长度与乙左右两端DE等长，均为kR（k未知），忽略轨道、传送带、地面相互之间的间隙，且轨道末端C、传送带上方皮带、地面等高。现有一物块从轨道上的P处静止释放，经C点进入传送带甲，于D处与木板发生碰撞后取走物块，碰撞前后物块、木板交换速度，且在碰撞结束时，传送带乙启动并以木板被碰后的速度顺时针匀速转动，最终木板运动2kR的距离后静止，忽略碰撞时间以及乙启动时间。
已知，物块通过传送带甲过程，甲皮带运动的路程是物块路程的倍；木板与传送带乙、地面之间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；PB高度差h = R，物块、木板质量均为m，重力加速度为g，忽略物块和传送带轮子的尺寸。求：
（1）物块即将滑出轨道末端C时，对C处的作用力；
（2）将传送带甲因传送物块额外消耗的电能记为W、甲和物块之间由于摩擦产生的热量记为Q，则数值大小；
（3）k的大小。
5．（2023秋·江西南昌·高三统考阶段练习）如图所示，倾角为θ、足够长的固定斜面上静置一质量为M的滑块，现将另一表面光滑的物体从滑块上方L处由静止释放，物体与滑块碰撞后，滑块向下减速，当速度刚减到0时，两者再次发生碰撞。已知碰撞后两者之间的最大距离恰好等于滑块每次碰后的减速距离，碰撞均为弹性正碰且碰撞时间极短，。求：
（1）物体的质量m；
（2）滑块与斜面间的动摩擦因数μ；
（3）物体与滑块碰撞后两者的最大距离d。
6．（2023春·北京丰台·高二统考期中）如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块 A和 B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速释放，下滑到最低点与小滑块 B正碰，之后沿桌面滑动。已知圆弧轨道和水平桌面均光滑，圆弧轨道半径 R = 0.2m；A、B的质量分别为m1 = 0.3kg、 m2 = 0.1kg，g取10m/s2。求：
（1）与B碰撞前瞬间，小滑块 A的速度大小v1；
（2）若A与 B碰撞后结合为一个整体，求：
a.碰撞后瞬间A、B的速度大小 v2；
b.碰撞过程中，A与B组成的系统所损失的机械能ΔE；
（3）若A与 B发生弹性碰撞，求碰撞后A的速度vA。
7．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江实验中学校考期末）如图所示，水平传送带以的速度做逆时针运动，传送带左端与水平地面平滑连接，传送带右端与一固定的四分之一光滑圆弧轨道相切，物块a从圆弧轨道最高点由静止下滑后滑过传送带，与静止在水平地面右端的物块b发生弹性碰撞。已知物块a的质量，物块b的质量，两物块均可视为质点，圆弧轨道半径，传送带左、右两端的距离，物块a与传送带和水平地面间的动摩擦因数均为，重力加速度，碰撞时间极短。求：
（1）物块a滑到圆弧轨道最低点时的速度及对轨道的压力大小；
（2）物块a第一次与物块b碰撞后瞬间，物块b的速度大小。
8．（2023·全国·高三假期作业）如图甲所示，在光滑水平地面上固定一光滑的竖直轨道MNP，其中水平轨道MN足够长，NP为半圆形轨道。一个质量为m的物块B与轻弹簧连接，静止在水平轨道MN上；物块A向B运动，时刻与弹簧接触，到时与弹簧分离，第一次碰撞结束。A、B的图像图乙所示。已知在时间内，物体B运动的距离为。A、B分离后，B与静止在水平轨道MN上的物块C发生弹性正碰，此后物块C滑上半圆形竖直轨道，物块C的质量为m，且在运动过程中始终未离开轨道MNP。已知物块A、B、C均可视为质点，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度为g。求：
（1）物块A最终运动的速度：
（2）A、B第一次碰撞和第二次碰撞过程中，A物体的最大加速度大小之比（弹簧的弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量）；
（3）第二次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值。
相互作用综合练
一、单选题
1．（2023·山东日照·统考三模）在力学中，物体间的相互作用抽象为力的概念。下列有关力的说法，正确的是（ ）
A．物体的运动状态发生变化，所受合力的大小一定变化
B．重心可以看作是物体所受重力的作用点
C．桌面上的书本受到向上的支持力，是因为书本发生了形变
D．爬杆表演时，杂技演员沿竖直杆匀速上爬，受到的摩擦力方向竖直向下
【答案】B
【解析】A．力是改变物体运动状态的原因，力可以是恒力也可以是变力，故A错误；
B．重心是重力的等效作用点，可以看作是物体所受重力的作用点，故B正确；
C．桌面上的书本受到向上的支持力，是因为桌面发生了形变，故C错误；
D．爬杆表演时，杂技演员沿竖直杆匀速上爬，演员受到重力和摩擦力，二力平衡，所以摩擦力方向竖直向上，故D错误。
故选B。
2．（2023·浙江温州·统考三模）中国跳水队被誉为跳水“梦之队”。如图是一位运动员跳水过程的频闪照片，A为运动员起跳位置，B为运动员重心到达最高位置，C为运动员指尖到达水面位置。空气阻力不可忽略，下列说法正确的是（ ）
A．在B位置，运动员处于平衡状态
B．在C位置，运动员的机械能最大
C．运动员入水后，立即做减速运动
D．在A位置，运动员受到跳板的弹力是由于跳板发生形变产生的
【答案】D
【解析】A．B为运动员重心到达最高位置，速度为0，只受重力作用，运动员不会处于平衡状态，故A错误；
B．起跳后，空气阻力不可忽略，机械能变小，在A、B、C三位置中，C位置处运动员的机械能最小，故B错误；
C．运动员刚入水时，加速度向下，仍做加速运动，故C错误；
D．在A位置，运动员受到跳板的弹力是由于跳板发生形变产生的，故D正确。
故选D。
3．（2023·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）2023年春节，为增加节日的喜庆气氛，某街道两旁用如图所示的装置挂上了大红灯笼。、为轻绳，OA与竖直墙壁的夹角为53°，OB为轻弹簧，弹簧的劲度系数为1000N/m，弹簧处于水平方向上，已知灯笼质量为，，重力加速度大小g取，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧可能处于拉伸状态，也可能处于压缩状态
B．弹簧和轻绳OA对O点的作用力大小为30N
C．弹簧的形变量为8cm
D．轻绳OA上的弹力大小为50N
【答案】C
【解析】A．以O点为研究对象，轻绳OC对O点的拉力方向竖直向下，轻绳OA对O点的拉力方向沿OA方向指向左上方，根据共点力的平衡条件可得，弹簧对O点的弹力方向应该为水平向右，所以弹簧应处于压缩状态，选项A错误；
B．弹簧和轻绳OA对O点的作用力大小与轻绳OC对O点竖直向下的拉力大小相等，方向相反，轻绳OC对O点竖直向下的拉力大小等于灯笼重力大小，即
选项B错误；
CD．根据共点力的平衡条件和力的正交分解可得，水平方向上有
竖直方向上有
两式联立解得轻绳OA上的弹力为
弹簧的形变量为
选项C正确，D错误。
故选C。
4．（2023·山东淄博·山东省淄博第一中学校联考二模）如图所示，某同学将一轻质弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端与物块连接，物块置于水平面上，物块与水平面间的动摩擦因数为，弹簧与地面平行。改变物块在水平面上的位置，发现物块只能在A、B两点间保持静止，测得A、B两点到竖直挡板的距离分别为、，物块的质量为m，当地重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则该弹簧的劲度系数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设弹簧的原长为，劲度系数为，在点时，有
在点时，有
联立解得
故选A。
5．（2023·山东济宁·统考三模）一本质量为m的书平放在水平桌面上，将一张A4纸夹在书页间，如图所示。已知书与桌面间的动摩擦因数为μ，A4纸与书页间的动摩擦因数为4μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A4纸的质量忽略不计。现有一水平向右的力F作用于A4纸上，若要使书与A4纸一起运动，则A4纸上面书页的质量应至少大于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】书本恰好运动时，设A4纸上面的书页的质量为m0
解得
若要使书一同运动，A4纸上面的书页的质量越大越容易一起拉动，所以
ACD错误，B正确。
故选B。
6．（2023·湖南·校联考模拟预测）当今物流业相当发达，货车货运功不可没。如图所示，司机为方便卸货，在距水平地面的高度为的车厢底部与地面之间用长度为的木板搭建了一个斜面。若货物恰好能沿木板匀速下滑，则货物与木板间的动摩擦因数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设货物的质量为，木板的倾角为，货物与木板间的动摩擦因数为，对货物，根据物体的平衡条件有
又有
解得
故选A。
7．（2023·广东梅州·统考二模）梅州的非物质文化遗产有不少，兴宁花灯就是其中一种，它与北京宫灯是一脉相承，始于宋代，流行于明清，是传承了上千年的客家传统习俗，花灯用四条长度相同、承受能力相同的绳子高高吊起，如图所示，绳子与竖直方向夹角为，花灯质量为m，则下列说法正确的是（ ）
A．每条绳子的拉力均相同 B．增大绳子与竖直方向的夹角，花灯受的合外力增大
C．绳子拉力的合力方向为竖直方向 D．绳子长一些更易断
【答案】C
【解析】A．每条绳子的拉力的大小相等，但力的方向不一样，A错误；
B．由于花灯处于静止状态，所以合外力始终为零，所以增大绳子与竖直方向的夹角，花灯受的合外力不变，B错误；
C．合外力始终为零，子拉力与重力等大反向，故绳子拉力的合力方向为竖直方向，C正确；
D．设绳子拉力为，则
解得
绳子长一些，夹角减小，则拉力变小，不容易断，D错误。
故选C。
8．（2023·陕西·校联考模拟预测）随着工作压力的增大以及生活水平的提高，越来越多的人选择在假期出行旅游放松身上放置一与地板成θ角的木板，木板上静置一木块。某段时间内，木块随车厢一起斜向上做加速度为a的匀加速运动。已知缆绳与水平方向夹角也为θ。若木板与车厢底板夹角缓慢增大稍许，木块、木板与车厢始终保持相对静止，则关于木块对木板的压力和木块对木板的摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．减小，减小 B．增大，增大
C．减小，增大 D．增大，减小
【答案】C
【解析】木块受力如图甲，支持力与静摩擦合力斜向右上，与重力的合力沿缆绳斜向右上。因为木块质量和加速度均不变，故三个力的合力不变，又木块重力不变，则支持力与静摩擦合力不变。木板与底板夹角缓慢增大稍许，如图乙，减小，增大。
故选C。
二、多选题
9．（2018·云南楚雄·校考一模）质量为的木块，在推力的作用下沿水平地面做匀速直线运动。已知木块与地面间的动摩擦因数为，那么木块受到的滑动摩擦力的值应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】在水平方向由牛顿第二定律得
可得
在竖直方向有
由滑动摩擦力公式得
故选BD。
10．（2021·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）粗糙水平面上、、、四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接，正好组成一个等腰梯形，系统静止。之间、之间以及之间的弹簧长度相同且等于之间弹簧长度的一半。之间弹簧弹力大小为之间弹簧弹力大小的一半。若受到的摩擦力大小为，则（ ）
A．之间的弹簧一定是压缩的 B．受到的摩擦力大小为
C．受到的摩擦力大小为 D．受到的摩擦力大小为
【答案】ABC
【分析】由题可知本题考查力的平衡和弹簧的弹力。
【解析】A．设弹簧的原长为，之间弹簧的长度为，则之间弹簧长度为，因为之间弹簧弹力大小为之间弹簧弹力大小的一半，所以有
即有
之间、之间以及之间的弹簧一定是压缩的，选项A正确；
B．由对称性可知受到的摩擦力和受到的摩擦力大小相同，等于，选项B正确；
CD．对进行受力分析可知其所受摩擦力大小等于间弹簧和间弹簧的合力大小，由于之间、之间的弹簧长度相同且都是压缩的，所以两个弹簧对的弹力大小相等，又因夹角为120°，所以两个弹簧对的弹力大小都为。受到两个弹簧的弹力，大小分别为、，夹角为120°，由平行四边形定则与几何知识可知二者的合力等于，由三力平衡条件可知受到的摩擦力大小为，同理受到的摩擦力大小也为，选项C正确，D错误。
故选ABC。
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为圆的柱状物体A，固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点，已知B物体的质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．竖直挡板与B物体间的弹力大小为mg
B．A、B两物体之间的弹力大小为mg
C．若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大
D．若将A稍右移并固定，A、B之间的弹力将减小
【答案】AC
【解析】AB．将圆弧面看成是倾角不同的斜面组合而成，对物体B受力分析如图所示
由平衡条件可得
，
解得
，
当A、B两物体的接触点恰为圆弧的中点时，，此时可得
，
故A正确，B错误；
CD．若将A稍右移并固定，则角增大，可知、均增大，故C正确，D错误。
故选AC。
12．（2023·广东·模拟预测）市面上有一种自动计数的智能呼拉圈，深受女士喜爱。如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其模型简化如图乙所示。水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重做水平匀速圆周运动，计数器显示在内转过的圈数，此时绳子与竖直方向夹角为。配重运动过程中认为腰带没有变形，下列说法正确的是（ ）
A．若增大转速，腰受到腰带的摩擦力增大
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力增大
C．保持匀速转动时，腰给腰带的作用力大小不变
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角为将不变
【答案】BCD
【解析】AB．若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，竖直方向
mg=Tcosθ
水平方向
Tsinθ=Fn
可知配重在竖直方向平衡，拉力T变大，向心力Fn变大，对腰带分析如图
可得竖直方向
f=Mg+Tcosθ=Mg+mg
水平方向
N=Tsinθ=Fn
故腰受到腰带的摩擦力不变，腰受到腰带的弹力增大，故A错误，B正确；
C．匀速转动时，腰给腰带的作用力是支持力N和摩擦力f的合力，两个力的大小均不变，则其合力大小不变，故C正确；
D．因对配重而言
即
则若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角为将不变，故D正确。
故选BCD。
三、实验题
13．（2023·辽宁·模拟预测）研究表明：每根头发能承受的拉力随年龄而变化，20岁组人的头发能承受的最大拉力平均约为1.72，30岁组的平均约为0，40岁组的平均约为8，60岁组的平均约为0.95。小萍利用一把刻度尺，一质量为300g的重物测量一根头发丝能承受的最大拉力，并与上述数据进行对比来推测该头发丝对应者的年龄范围。实验步骤如下：
①水平固定刻度尺；
②用指尖紧握住头发丝的两端，用直尺测得头发丝拉直时两指尖间的距离为40.0；
③之后用光滑轻挂钩将重物挂在头发丝上，两手缓慢沿刻度尺水平向外移动，直至头发丝被拉断。从刻度尺上读出拉断时两指尖间的距离为20.0，如图所示。
（1）忽略头发丝的伸长，可估算出该头发丝能承受的最大拉力为 （取=10），该人年龄大致处于 岁组。
（2）实际上，头发丝挂上重物后会有一定的伸长。仅考虑这一原因，该头发丝能承受的最大拉力的估算值 其真实值。（选填“大于”、“小于”或“等于”）
【答案】 20 大于
【解析】（1）[1][2] 设头发与刻度尺之间的夹角为θ，由几何关系可知
设头发的拉力为，对头发与轻钩的结点处受力分析，可得
解得
由此可以推测该人年龄大致处于20岁组。
（2）[3] 考虑头发丝挂上重物后会有一定的伸长，则
则有
所以该头发丝能承受的最大拉力的估算值大于其真实值。
14．（2023·湖北·校联考模拟预测）某实验小组利用图（a）所示装置探究弹簧的弹力与形变量的关系。实验中使用J2110螺旋弹簧，该弹簧在自然状态下有一定的收缩力。实验时把弹簧的上端固定在铁架台的横杆上，记录弹簧自然下垂时下端的示数（L）。在弹簧的下端悬挂不同质量（m）的钩码，记录弹簧在不同弹力下弹簧下端的示数并填入表格中，计算对应的弹簧伸长量x的值。
0 10 20 30 40 50 60 70
0 0 0 0 10.75 0 10 15
0 0 0 0 0.25 0.90 1.70 2.75
80 90 100 110 120 130 140 150
10 15 1 17.50 15 15 20.75 21.85
3.80 5 5.90 7.00 5 5 5 5
（1）图（b）是根据上表数据绘制的“”图线，其中段为曲线、段为直线，则该弹簧在 段满足胡克定律（选填“”“”或“”）；
（2）由图（b）可得直线的函数表达式为（单位：g），弹簧的劲度系数 ，弹簧在自然状态下的收缩力 N（已知重力加速度大小，结果均保留2位小数）；
（3）由于弹簧的质量不能忽略，它对弹簧劲度系数的测量 （选填“有”或“没有”）影响。
【答案】 BC 3 0.43 没有
【解析】（1）[1]由胡克定律
有
即
故直线段满足胡克定律。
（2）[2] [3]由
有
斜率
故
。
由图知当时弹簧完全展开
所以
（3）[4]由（2）有
弹簧的自身重力不影响图像斜率，从而不影响测量结果。
四、解答题
15．（2023·全国·模拟预测）如图所示，倾角为θ=37°的斜面P放在光滑水平面上，质量为m=2kg的物块Q置于斜面上，用水平力F推斜面，使P、Q保持相对静止，共同向左做a=10m/s2的匀加速直线运动，求：
（1）斜面对物块的支持力N和摩擦力f的大小和方向；
（2）斜面和物块间的动摩擦因数μ至少是多大
【答案】（1）28N，方向垂直于斜面向上，4N，方向沿斜面向下；（2）0.14
【解析】（1）受力分析如下图，以沿斜面和垂直于斜面方向建立坐标轴，将重力G和加速度a正交分解，分别沿x、y方向列方程，设f的方向沿斜面向上
解得
（方向垂直于斜面向上）
（方向沿斜面向下）
（2）当μ最小时,摩擦力为最大静摩擦力，大小等于滑动摩擦力
解得
16．（2023春·河北保定·高二河北安国中学校联考期末）质量为M的木楔倾角为，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑.如果用与木楔斜面成角的力F拉着木块沿斜面匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）.
（1）木楔与斜面的动摩擦因数；
（2）当和满足什么关系时，拉力F有最小值，求此最小值；
（3）当时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
【答案】（1）；（2）当时，有；（3）
【解析】（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
即
（2）木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动时，沿着斜面方向有
垂直斜面方向有
又
解得
则当时，有
（3）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到的地面摩擦力等于F的水平分力，即
当时，有
可得
17．（2022秋·广西百色·高一统考期末）如图所示，是用墩布拖地情境。教室值日生小明用的作用力沿墩布杆方向斜向上拉着墩布拖地，此时墩布杆与水平地面成，墩布贴着地面匀速滑动。后来改用沿墩布杆方向斜向下的作用力匀速推着墩布拖地，此时墩布杆与水平地面的夹角为。已知墩布的质量为，且与地面之间的动摩擦因数相同，墩布杆的质量可忽略不计，重力加速度，，。求：
（1）画出拉着墩布拖地时，墩布的受力示意图并标出各个力的符号；
（2）拉着墩布拖地时，墩布对地面的压力大小；
（3）推着墩布拖地时，沿杆斜向下方向施加作用力的大小。
【答案】（1）见解析；（2）12N；（3）20N
【解析】（1）受力分析如图所示，其中和分别为该过程中墩布受到的摩擦力和支持力。
（2）墩布与地面间的动摩擦因数为，前往洗手间时墩布与地面间的滑动摩擦力为，地面对墩布的支持力为，以墩布为对象，水平方向有
竖直方向有
又
联立解得
，
由牛顿第三定律有对墩布的地面压力大小
（3）推着墩布拖地时，墩布与地面间的滑动摩擦力大小为，地面对墩布的支持力大小为，对墩布受力分析如图所示
水平方向有
竖直方向有
又
联立解得第二章 相互作用
重力、弹力和摩擦力
【考点预测】
1.重心
2.弹力有无及方向的判断
3.静摩擦力的大小和方向
4.滑动摩擦力的大小和方向
5.轻杆、轻绳的弹力
【方法技巧与总结】
1. 影响重心位置的因素：物体的几何形状；物体的质量分布．
2．弹力有无的判断方法
(1)条件法：根据弹力产生条件——物体是否直接接触并发生弹性形变．
(2)假设法：假设两个物体间不存在弹力，看物体能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处没有弹力；若运动状态改变，则此处一定有弹力．
(3)状态法：根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断弹力是否存在．
3.摩擦力的有无和大小、方向的判断
摩擦力的产生条件：接触面粗糙、有相对运动或相对运动趋势。根据物体的相对运动方向、或相对运动趋势的方向和运动状态，判断摩擦力的方向。摩擦力大小要首先区分是静摩擦力还是滑动摩擦力。静摩擦力大小根据物体所处的状态进行判断，滑动摩擦力利用公式计算。
【题型归纳目录】
题型一：弹力有无及方向的判断
题型二： 摩擦力的大小和方向
题型三：轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的弹力
题型四：摩擦力的突变问题
【题型一】弹力有无及方向的判断
【典型例题】
例1．如图所示，将一个钢球分别放在甲、乙、丙三个容器中，钢球与各容器的底部和侧壁相接触，处于静止状态。若钢球和各容器的接触面都是光滑的，各容器的底面均水平，则以下说法中正确的是（ ）
A．各容器的侧壁对钢球均无弹力作用
B．各容器的侧壁对钢球均有弹力作用
C．甲容器的侧壁对钢球无弹力作用，其余两种容器的侧壁对钢球均有弹力作用
D．乙容器的侧壁对钢球有弹力作用，其余两种容器的侧壁对钢球均无弹力作用
【方法技巧与总结】
1.弹力有无的判断
2. 弹力方向的判断
①五种常见模型中弹力的方向
②根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
3．弹力大小计算的三种方法
(1)根据胡克定律进行求解；
(2)根据力的平衡条件进行求解；
(3)根据牛顿第二定律进行求解。
练1．2022年11月第22届世界杯在卡塔尔举行，阿根廷队爆冷1:2输给沙特队。图为某球员准备罚任意球时，一脚用力踩在足球上面，让足球保持静止，下列说法正确的是（ ）
A．静止的足球受到的合力竖直向下
B．如果足球气打得足一点，足球可能不发生形变
C．静止的足球可能受4个力的作用
D．脚对足球的压力是由足球发生弹性形变引起的
【题型二】摩擦力的大小和方向
【典型例题】
例2．如图甲所示，一人用由0逐渐增大的水平力F推静止于水平地面上质量为10 kg的木箱，木箱所受的摩擦力Ff与F的关系如图乙所示，g取10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．木箱所受的最大静摩擦力Fmax=21 N
B．木箱所受的最大静摩擦力Fmax=20 N
C．木箱与地面间的动摩擦因数μ=0.21
D．木箱与地面间的动摩擦因数μ=0.2
【方法技巧与总结】
1．计算摩擦力大小的思维流程
2．计算摩擦力大小的“四点”注意
(1)首先分析物体的状态，分清是静摩擦力还是滑动摩擦力．
(2)滑动摩擦力的大小可以用公式Ff＝μFN计算，而静摩擦力没有公式可用，只能利用平衡条件或牛顿第二定律列方程计算．这是因为静摩擦力是被动力，其大小随状态而变，介于0～Ffmax之间．
(3)“Ff＝μFN”中FN并不总是等于物体的重力．
(4)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小、接触面积的大小无关．
练2．如图所示，一质量为m的木块在水平力F的作用下静止在竖直粗糙墙壁上，已知木块与墙壁之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，木块与墙壁间的动摩擦因数为，下列说法正确的是（ ）
A．若水平力F增大，木块受到的摩擦力也增大
B．若撤去F，木块受到的滑动摩擦力大小等于
C．若撤去F，木块受到的滑动摩擦力大小等于
D．若撤去力F，木块将自由下落
【题型三】轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的弹力
【典型例题】
例3．如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为的斜面上，杆的另一端固定一个重力为2N的小球，小球处于静止状态，则弹性杆对小球的弹力（ ）
A．大小为2N，方向平行于斜面向上 B．大小为2N，方向垂直于斜面向上
C．大小为2N，方向竖直向上 D．大小为1N，方向沿杆的切线方向
【方法技巧与总结】轻绳、轻杆、弹性绳和轻弹簧的比较
轻绳 轻杆 弹性绳 轻弹簧
图示
受外力作用时形变的种类 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变、弯曲形变 拉伸形变 拉伸形变、压缩形变
受外力作用时形变量大小 微小，可忽略 微小，可忽略 较大，不可忽略 较大，不可忽略
弹力方向 沿着绳，指向绳收缩的方向 既能沿着杆，也可以跟杆成任意角度 沿着绳，指向绳收缩的方向 沿着弹簧，指向弹簧恢复原长的方向
练3．如图所示，两个可视为质点的小球A、B通过固定在O点的光滑滑轮用轻绳相连，小球A置于光滑半圆柱上，小球B用水平轻绳拉着，水平轻绳另一端系于竖直板上，两球均处于静止状态。已知O点在半圆柱横截面圆心O1的正上方，OA与竖直方向成30°角、其长度与半圆柱横截面的半径相等，OB与竖直方向成60°角，则（ ）
A．轻绳对球A的拉力与球A所受弹力的合力大小相等
B．轻绳对球A的拉力与半网柱对球A的弹力大小不相等
C．轻绳AOB对球A的拉力与对球B的拉力大小之比为：
D．球A与球B的质量之比为2：1
【题型四】摩擦力的突变问题
【典型例题】
例4．如图所示，A、B两物体静止在粗糙水平面上，其间用一根轻弹簧相连，弹簧的长度大于原长。若再用一个从零开始缓慢增大的水平力F向右拉物体B，直到A即将移动，此过程中，地面对B的摩擦力和对A的摩擦力的变化情况是（ ）
A．先变小后变大 B．先不变后变大
C．先变大后不变 D．先不变后变大
【方法技巧与总结】
分析摩擦力突变问题的方法
(1)分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．
(2)确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．
练4．如图所示，物块A放在倾斜的木板上，改变木板与水平面之间的夹角θ，发现当和时物块A所受的摩擦力大小恰好相等，则物块A与木板之间的动摩擦因数大小为（ ）
A． B． C． D．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·广东·模拟预测）一些巧妙的工业设计能极大地为人们的生活提供便利。如图是竖直放置的某款可调角度的简便磨刀器，该磨刀器左右两侧对称，通过调整磨刀角度可以使该磨刀器的两侧面与刀片尖端的两侧面紧密贴合，就可以轻松满足家庭日常的各种磨刀需求。关于在使用磨刀器的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．向后轻拉刀具，磨刀器受到的摩擦力向前
B．若水平匀速向后拉动刀具，则磨刀器对刀具的作用力竖直向上
C．加速后拉刀具，刀具受到的摩擦力小于磨刀器受到的摩擦力
D．对同一把刀具在竖直方向上施加相同压力时，磨刀器的夹角越小，越难被拉动
2．（2023·陕西·校联考模拟预测）两只完全相同的蚂蚁在轮胎内外表面爬，当两只蚂蚁爬到图示位置时保持静止，角大于角。已知轮胎材料相同，轮胎与蚂蚁之间动摩擦因数为，蚂蚁质量，重力加速度取，下列说法正确的是（ ）
A．处蚂蚁受到的支持力比处蚂蚁大
B．处蚂蚁受到的摩擦力比处蚂蚁大
C．处的蚂蚁受到的摩擦力大小为
D．处的蚂蚁受到的摩擦力大小为
3．（2023·广东深圳·深圳中学校考三模）舞蹈《只此青绿》表演中，需要舞者两脚前后分开，以胯部为轴，上半身缓慢后躺，与地面近乎平行，在舞考缓慢后躺的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．舞者对地面的压力就是舞者的重力
B．地面对舞者的支持力和舞者的重力是一对平衡力
C．舞者受到地面的摩擦力向前
D．舞者处于失重状态
4．（2023·湖南·模拟预测）图甲是一种榫卯连接构件。相互连接的两部分P、Q如图乙所示。图甲中构件Q固定在水平地面上，榫、卯接触面间的动摩擦因数均为，沿P的轴线用大小为F的力才能将P从Q中拉出。若各接触面间的弹力大小均为，滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江金华·模拟预测）筷子是中华饮食文化的标志之一、如图所示，用筷子夹质量为m的小球处于静止，筷子均在竖直平面内，且筷子甲与竖直方向的夹角为，乙始终竖直。忽略小球与筷子之间的摩擦，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．筷子对小球的合力大于重力
B．筷子甲对小球的弹力是因为小球发生了形变
C．减小，乙和甲对小球的弹力都增大
D．增加（不超过），甲对小球的弹力先减小后增大
6．（2023·天津静海·静海一中校考模拟预测）弹簧锁在关门时免去了使用钥匙的繁琐，为我们的生活带来了方便。缓慢关门时门锁的示意图如图所示，关门方向为图中箭头方向，锁舌所夹的角度为θ，若弹簧始终处于压缩状态，门的宽度视为远大于锁舌的尺寸，如图所在的瞬间，门边缘向内的速度为v，则下列说法错误的是（ ）
A．关门时弹簧弹力变大
B．如图时锁舌相对于门的速度为
C．如果图中的变小，关门时会更费力
D．关门时锁舌对锁壳的弹力等于弹簧的弹力
二、多选题
7．（2023·全国·模拟预测）下列四种情景中，物体（球或轻杆）均处于静止状态，它与外界的接触面（接触点）均光滑，物体所受弹力示意图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·甘肃甘南·校考二模）如图所示，A、B两球完全相同，质量均为m，两球可视为质点，用三根完全相同的轻弹簧固连着，在水平拉力F下均处于静止状态，k1弹簧位于竖直方向，则有关说法正确的是（ ）
A．B球必受四个力作用
B．k2、k3弹簧长度一样长
C．k3弹簧没有发生形变
D．k2弹簧最长
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图所示，质量为1kg的物块放置于矩形木箱中，弹簧测力计水平，一端固定在木箱上，另一端钩住物块，当物块和木箱均静止在水平面上时，弹簧测力计示数为1.0N，下列说法正确的是（ ）
A．若木箱以水平向左做匀加速运动，弹簧测力计的示数可能仍为1.0N
B．若木箱以水平向右做匀加速运动，弹簧测力计的示数可能仍为1.0N
C．若木箱以竖直向上做匀加速运动，弹簧测力计的示数一定仍为1.0N
D．若木箱以竖直向上做匀减速运动，弹簧测力计的示数一定仍为1.0N
10．（2023·云南保山·统考三模）无线充电宝可通过磁吸力吸附在手机背面，如图甲所示为科创小组某同学手握手机（手不接触充电宝），利用手机软件记录竖直放置的手机及吸附的充电宝从静止开始在竖直方向上的一次变速运动过程（手机与充电宝始终相对静止），记录的加速度a随时间t变化的图像如图乙所示（规定向上为正方向），t2时刻充电宝速度为零，且最终处于静止状态。已知无线充电宝质量为0.2kg，手机与充电宝之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，在该过程中下列说法正确的是（ ）
A．充电宝受到的静摩擦力的最大值为1.0N
B．t3时刻充电宝受的摩擦力大小为0.4N
C．充电宝在t2与t3时刻所受的摩擦力方向相反
D．充电宝与手机之间的吸引力大小至少为10N
11．（2023·浙江宁波·校考三模）如图是五一假期小姚在某景区看到的“天壶”，巨大的茶壶悬在空中，正源源不断的往外出水，祈愿财源滚滚，福寿绵绵。下列说法正确的是（ ）
A．靠水流的反冲力支撑壶体
B．壶的重心不在水流的延长线上
C．水流越大，壶体会升得越高
D．研究壶体受力时，不能把它当作质点
12．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）一辆货车运输规格相同的长木板，木板装载成两层平放在车厢里，如图所示。已知木板间的动摩擦因数为μ，木板与车厢间的动摩擦因数为2μ，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，货车为了躲避横穿公路的行人紧急刹车，刹车时的加速度大小为a，每块木板的质量均为m，重力加速度为g，上层木板最前端离驾驶室距离为d，则下列判断正确的是（ ）
A．当a>μg时，上层木板会与下层木板发生相对滑动
B．当a=μg时，下层木板受到车厢对它的摩擦力为3μmg
C．若a>2μg，下层木板一定会相对车厢发生滑动
D．若a=2μg，要使货车在紧急刹车时上层木板不撞上驾驶室，货车在水平路面上匀速行驶的速度应不超过2
