第四章 曲线运动
曲线运动 运动的合成与分解
【考点预测】
1.曲线运动的概念和条件的理解
2.红蜡块运动的合成实验
3.小船渡河时间最短问题
4. 小船渡河位移最短问题
5.斜牵引运动问题
【方法技巧与总结】
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
3．运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．运动性质的判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【题型归纳目录】
题型一：物体做曲线运动的条件及轨迹分析
题型二：运动的合成与分解
题型三：小船渡河模型
题型四：绳(杆)端速度分解模型
【题型一】物体做曲线运动的条件及轨迹分析
【典型例题】
例1．．关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体在变力作用下一定做曲线运动 B．物体在一个恒力作用下一定做曲线运动
C．物体在一个恒力作用下一定做匀变速运动 D．物体在一个恒力作用下一定做匀速直线运动
【答案】C
【解析】A．当力的方向始终与速度在同一直线，其大小不断变化时，则物体做变加速直线运动，故A错误；
B．当恒力的方向与速度在同一直线，则物体做匀变速直线运动，故B错误；
CD．物体在恒力作用下，加速度大小和方向都不变，所以一定做匀变速运动，故C正确，D错误。
故选C。
【方法技巧与总结】
1．曲线运动的条件：物体所受合外力(或加速度)方向与运动方向不共线。
2．曲线运动的类型
(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变。
(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化。
3．合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。
练1．如图所示，小黄同学在操场上从A位置运动到B位置的过程中，该同学（ ）
A．做匀加速直线运动
B．速度方向不断变化
C．合外力方向一定不变
D．合外力方向与速度方向在同一直线上
【答案】B
【解析】ABD．根据题意，由图可知，小黄同学在操场上从A位置运动到B位置的过程中，做曲线运动，则速度方向不断变化，合外力方向与速度方向不在同一直线上，故AD错误，B正确；
C．根据曲线运动中合外力指向曲线弯曲的内测，由图可知，合外力方向改变，故C错误。
故选B。
【题型二】运动的合成与分解
【典型例题】
例2．如图所示的实验中，将玻璃管竖直倒置后，在红蜡块沿玻璃管匀速上升的过程中，玻璃管在水平方向运动。关于红蜡块相对于地面的运动，下列说法正确的是（ ）
A．若玻璃管水平向右运动，红蜡块在竖直平面内一定做直线运动
B．若玻璃管水平向右运动，红蜡块在竖直平面内一定做曲线运动
C．若玻璃管水平向右匀速运动，红蜡块在竖直平面内一定做直线运动
D．若玻璃管水平向右加速运动，红蜡块在竖直平面内一定做直线运动
【答案】C
【解析】C．若玻璃管水平向右匀速运动，蜡块所受合外力为零，加速度为零，红蜡块在竖直平面内做匀速直线运动，故C正确；
ABD．若玻璃管水平向右加速运动，蜡块的合外力水平向右，加速度水平向右，初速度竖直向上，做曲线运动，故ABD错误。
故选C。
【方法技巧与总结】
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与速度方向
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
练2．随着科技的发展，快递公司也开始尝试利用无人机送货，假设无人机沿水平向东匀加速飞行的同时向上匀速提升货物，以货物开始运动的位置为原点O，水平向东和竖直向上为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力。则货物的运动轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于货物开始运动的位置为原点O，水平向东和竖直向上为x轴和y轴的正方向，无人机沿水平向东匀加速飞行的同时向上匀速提升货物，则在x轴上有
在y轴上有
解得
根据指数函数的特征，可知，第三个选项符合要求。
故选C。
【题型三】小船渡河模型
【典型例题】
例3．小船在宽的河中渡河，水流速度为，船在静水中的速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．小船无法到达正对岸 B．小船渡河的最小位移为
C．小船渡河的最短时间为 D．小船渡河的最短时间是
【答案】B
【解析】AB．当船头偏向上游，船头与上游的夹角满足
小船到达正对岸，此时渡河的位移最小，最小位移为120m，A错误，B正确；
CD．当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间为
CD错误。
故选B。
【方法技巧与总结】
渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v船
A．减小α角，增大船速v
B．增大α角，增大船速v
C．减小α角，减小船速v
D．增大α角，保持船速v不变
【答案】C
【解析】由题意可知，船相对水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，当水流速度稍有减小，为保持航线不变，且准时到达对岸，则如图所示。
可知，减小α角，减小船速v。
故选C。
【题型四】利用牛顿第二定律分析动态过程
【典型例题】
例4．如图所示，在河面上方20 m的岸上有人用跨过定滑轮的长绳栓住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v=3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么5 s时（ ）
A．绳与水面的夹角为60°
B．小船前进了15 m
C．小船的速率为5 m/s
D．小船到岸边距离为10 m
【答案】C
【解析】AD．由几何关系可知，开始时河面上的绳长为
此时船离岸的距离
5s后，绳子向左移动了
则河面上绳长为
则此时，小船离河边的距离
5s时绳与水面的夹角为，则有
解得
故AD错误；
B．小船前进的距离
故B错误；
C．船的速度为合速度，由绳收缩的速度及绳摆动的速度合成得出，如图
则由几何关系可知5s时小船的速率为
故C正确。
故选C。
【方法技巧与总结】
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。
(2)模型分析
①合运动→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如下：
(4)解题思路
练4．如图所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉绳，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么（ ）
A．5s时绳与水面的夹角为37°
B．5s时小船前进了15m
C．5s时小船的速率为5m/s
D．5s时小船到岸边的距离为(20-15)m
【答案】C
【解析】A．设开始时小船距岸边为L，则
5s时人拉绳端移动位移为
x＝vt＝3×5m＝15m
设5s时小船前进了x′，绳与水面的夹角为θ，由几何关系得
解得
θ＝53°
故A错误；
B．由几何关系得
解得
x′≈14m
故B错误；
C．沿绳子方向速度大小相等，所以有
v船cosθ＝v
可得5s时小船的速率为
v船＝5m/s
故C正确；
D．5s时小船到岸边的距离为
d=L－x′＝＝15m
故D错误。
故选C。
【过关测试】
一、单选题
1．“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一小球在光滑的水平面上以穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个与方向垂直、水平向北的恒力，其余区域无风，小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】小球在光滑的水平面上以v0向右运动，给小球一个向北的水平恒力，则小球会做曲线运动，恒力指向运动轨迹的凹侧，速度方向沿着轨迹的切线方向。
故选D。
2．关于曲线运动的说法中正确的是（ ）
A．做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．受变力作用的物体一定做曲线运动
D．加速度恒定的运动必定是直线运动
【答案】A
【解析】A．曲线运动的条件：速度的方向和加速度的方向不在同一条直线上，故A正确；
BC．如速度的方向和加速度的方向在同一条直线上，且加速度大小变化即受力作用，则物体做变加速直线运动，故BC错误；
D．若物体做平抛运动，则加速度大小恒定，故D错误。
故选A。
3．《山路十八弯》是一首民歌，歌里描写的是湖北宜昌长阳土家族自治县的风景。当汽车在如图所示路段行驶时，对于整个路段，下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受合力一定变化 B．汽车所受合力可能为0
C．汽车可能受到恒定的合力 D．汽车速度可能不变
【答案】A
【解析】ABC．做曲线运动的物体所受合力的方向不仅与其速度方向成一定角度，而且总是指向曲线的“内侧”，可知汽车所受合力方向一定变化，即汽车所受合力一定变化，故A正确，B、C错误；
D．速度方向沿运动轨迹的切线方向，可知汽车速度方向一定变化，即汽车速度一定变化，故D错误。
故选A。
4．2022年2月6日，我国女足逆转夺得亚洲杯冠军。比赛中，球员利用任意球攻破球门，足球的轨迹示意如图所示。足球飞行经过P点时所受的合外力方向可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当物体所受的合外力与运动方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动，并且轨迹向合外力方向弯曲。
故选D。
5．平面内质量为1kg的物体沿x、y方向的运动图像分别如图1、2所示，其中沿x方向的图像为顶点在原点的抛物线。关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体加速度大小为 B．物体做匀变速直线运动
C．物体做变加速运动 D．t=1s时物体速度最小，大小为
【答案】D
【解析】A．根据题意可知，在x方向上，有
结合图线可得
在y方向上，有
所以物体运动的加速度大小为
故A错误；
BC．由于合加速度的方向和合初速度的方向不共线，所以物体做匀变速曲线运动，故BC错误；
D．物体运动的速度大小为
根据二次函数知识可知，当t=1s时物体速度最小，其值为
故D正确。
故选D。
6．蹦极是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁塔顶、高楼吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处，然后两臂伸开双腿并拢，头朝下跳下去。如图所示，某位体验者以一定的水平初速度从跳台上跳下，经一段时间橡皮条刚好伸直，不计空气阻力，则以下关于蹦极过程说法正确的是（ ）
A．橡皮条伸直之前，体验者做自由落体运动 B．橡皮条伸直之前，体验者做匀变速运动
C．橡皮条伸直之后，体验者做匀变速运动 D．橡皮条伸直之后，体验者做匀减速直线运动
【答案】B
【解析】AB．某位体验者以一定的水平初速度从跳台上跳下，只受到重力，则橡皮条伸直之前，体验者做平抛运动，即做匀变速运动，故A错误，B正确；
CD．橡皮条伸直之后体验者受到重力和橡皮条的拉力，拉力为变力，即合力为变力，与合速度方向夹角逐渐变为零，则体验者做非匀变速曲线运动，故CD错误。
故选B。
7．有人驾驶一电动船横渡一条两河岸平行的景观河，已知河宽，景观河水流的速度，电动船在静水中航行的速度。横渡景观河时，电动船的船头始终与河岸垂直，下列说法正确的是（ ）
A．电动船可以到达正对岸 B．电动船过河的时间是
C．电动船的速度大小是 D．电动船在河中的运动轨迹是一条曲线
【答案】C
【解析】A．横渡景观河时，电动船的船头始终与河岸垂直，船沿着河岸方向的速度不为零，所以不可以到达正对岸，故A错误；
B．电动船过河的时间
故B错误；
C．根据运动的合成可知电动船的速度大小
故C正确；
D．两个匀速直线运动的合成其合运动为匀速直线运动，故D错误。
故选C。
8．汽艇以的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m。设想河水不流动，汽艇驶到对岸所需时间为；如果河水流速是，汽艇驶到对岸所需时间为；则关于过河时间、的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】只要汽艇的船头垂直河岸行驶，不管河水是否流动，到达对岸的时间相同，即
故选B。
9．如图所示，某同学欲借助手中的航模小船来研究“小船渡河问题”。他来到一段河岸笔直、水流平稳、宽度为d=50m的河边，操控小船由A点出发驶向对岸、抵达对岸后立即返航，历时t=100s，最终回到B点，A、B间距离x=60m，若小船调头过程所需时间忽略不计，整个过程中小船船头始终垂直于河岸，小船相对静水的速度大小及河水流速均保持不变，sin37°=0.6，则下列判断中正确的是（ ）
A．此过程中小船渡河到对岸的时间为50s
B．河水的流速为0.6m/s，小船在静水中的速度为0.5m/s
C．无论如何改变船头方向，小船都不可能由A点出发抵达正对岸
D．若操控小船使船头与上游河岸始终成37°角，则小船可由A点出发抵达正对岸
【答案】A
【解析】A．整个过程中小船船头始终垂直于河岸，所以驶向对岸和返航的时间相等，即小船渡河到对岸的时间为
故A正确；
B．河水的流速为
小船在静水中的速度为
故B错误；
CD．由于小船在静水中的速度大于河水的流速，小船由A点出发能抵达正对岸，此时设船头偏向上游与上游河岸的夹角为θ，则
所以
由此可知，当船头偏向上游与上游河岸的夹角为53°行驶小船能抵达正对岸，故CD错误。
故选A。
10．甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【答案】B
【解析】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为
v2在沿杆方向的分量为
而
图示位置时，有
解得此时甲、乙两球的速度大小之比为
故A错误，B正确；
CD．当甲球即将落地时，有θ=90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故CD错误。
故选B。
二、多选题
11．如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B与斜面光滑接触。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为时，物块B的速度大小为。斜面倾角为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．轻绳拉力一定大于
D．斜面受到地面水平向左的摩擦力
【答案】ACD
【解析】AB．根据绳的牵连速度关系有
解得
故A正确，B错误；
C．由于A在外力作用下沿竖直杆以速度向下匀速运动，根据上述可知轻绳与杆的夹角逐渐减小，则B的速度大小逐渐增大，即B在沿斜面向上做加速运动，B的加速度沿斜面向上，对B进行受力分析可知轻绳拉力一定大于，故C正确；
D．B对光滑斜面有斜向右下方的压力，斜面在该压力作用下有向右运动的趋势，则斜面受到地面水平向左的摩擦力，故D正确。
故选ACD。
12．公园里常见的一种健身器材，如图甲所示，叫做“椭圆机”，受到人们的喜爱。每边由三根连杆以及踏板组成，如图乙所示。锻炼者的脚放到踏板P上，通过手脚一起发力驱动装置转动起来，踏板（脚）的运动轨迹形似椭圆（如图丙），所以这种锻炼器材叫做“椭圆机”。如图丁所示为椭圆机某一时刻所处状态，图中α=60°，连杆O3O4与地面平行；该时刻连杆 O2O4沿着竖直方向，正在顺时针转动，此时角速度为ω。以下说法正确的是（ ）
A．连杆O3O4上各点的轨迹相同
B．连杆O3O4上各点的速度沿着连杆的O3O4分量一定相同
C．当椭圆机处于如图丁所示状态时，连杆O3O4上各点的速度相同
D．若连杆O1O3的长度为连杆O2O4的3倍，那么该时刻连杆O1O3的角速度为
【答案】BD
【解析】A．连杆O3O4上各点的轨迹各不相同，选项A错误；
BC．当椭圆机处于如图丁所示状态时，连杆O3O4上各点的速度大小和方向都不同，但是沿着连杆的O3O4分量一定相同，选项B正确，C错误；
D．若连杆O1O3的长度为连杆O2O4的3倍，则O4点的线速度
则O3点的线速度沿O3O4方向的分量为
那么
解得该时刻连杆O1O3的角速度为
选项D正确。
故选BD。
13．甲、乙两人分别位于一条宽为的马路正对面，某时刻，甲开始以的速度沿马路做匀速直线运动，同时，乙立即以大小为的速度运动，乙追上甲所用的最短时间为t，已知，，则（ ）
A．若乙不追甲，乙到达马路对面的最短时间为
B．乙追上甲所用的最短时间
C．乙追上甲用时最短时，乙的速度方向与马路夹角为
D．乙追上甲用时最短时，乙的位移大小为
【答案】ABD
【解析】A．若乙不追甲，以垂直马路方向运动到达对面用时最短，用时为
故A正确；
C．乙要追上甲用时最短，则乙沿直线到达对面时刚好追上甲，运动轨迹如图：
则有
可知乙的速度方向与马路夹角，故C错误；
D．乙追上甲用时最短时，乙的位移大小为
故D正确；
B．乙追上甲所用的最短时间
故B正确。
故选ABD。
14．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
【答案】BC
【解析】AC．根据题意，由运动的独立性可知，运动员下落时间与风速无关，风速越大，下落时间不变，故A错误，C正确；
BD．风力越大，落地时的水平分速度越大，合速度越大，有可能对运动员造成伤害，故D错误，B正确。
故选BC。
15．如图所示，长约1m的两端封闭的竖直玻璃管中注满水，玻璃管内有一质量为0.1kg的红腊块能在管内浮动。假设时，红蜡块从玻璃管底端开始向上浮动，且每1s上升的距离都是30cm；从开始，玻璃管以初速度为零匀加速向右平移，第1s内、第2s内、第3s内通过的水平位移依次为5cm、15cm、25cm。y表示红蜡块竖直方向的位移，x表示红蜡块随玻璃管通过的水平位移，单位均为m，时红蜡块位于坐标原点。下列说法正确的是（ ）
A．时红蜡块的速度大小为0.3m/s
B．前3s内红蜡块的位移大小为cm
C．红蜡块的轨迹方程为
D．红蜡块在浮动过程中受到的合力是0.1N
【答案】BC
【解析】D．从开始，玻璃管以初速度为零匀加速向右平移，根据连续相同时间的位移差相等，则
故红蜡块在浮动过程中受到的合力为
D错误；
A．由题可知
红蜡块的速度大小为
A错误；
B．前3s内红蜡块的位移为
B正确；
C．蜡块竖直方向有
蜡块水平方向有
故红蜡块的轨迹方程为
C正确。
故选BC。曲线运动、万有引力、宇宙航行综合练
一、单选题
1．如图所示，生产车间有两个完全相同的水平传送带甲和乙，它们相互垂直且等高，正常工作时都匀速运动，速度大小分别为、，将工件（视为质点）轻放到传带甲上，工件离开传送带甲前已经与传送带甲的速度相同，并平稳地传送到传送带乙上，且不会从传送带乙的右侧掉落。两传送带正常工作时，对其中一个工件A在传送带乙上留下的痕迹，下图中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】正常工作时都匀速运动，速度大小分别为、，所以，物块滑上乙时，水平方向相对传送带乙的速度水平向右，沿传送带乙方向相对传送带乙的速度与乙的运动方向相反，所以相对传送带乙的速度为这两个分速度合速度，方向向右下方，因为两个速度均为匀速，则合速度方向的反方向为滑动摩擦力方向，力与速度方向相反，做直线运动，轨迹沿速度方向，故D正确ABC错误。
故选D。
2．如图所示，两小球分别从半径大小为的半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面斜边长是其竖直高度的2倍，均可视为质点，结果两球同时分别落在半圆轨道和斜面上，则小球的初速度大小为（ ）（重力加速度为，不计空气阻力）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两球以相同的初速度平抛，同时分别落在半圆轨道和斜面上，可知两小球在竖直方向和水平方向的位移大小相等，则将右侧三角形斜面放入左侧半圆，三角形斜边与圆弧有一交点，该交点与抛出点之间竖直方向的距离与水平方向的距离就是小球做平抛运动的竖直位移大小和水平位移大小，分别设为和，并设小球从抛出到落到斜面上所用时间为，如图所示
根据题意可知
再由几何关系可得
联立解得
故选B。
3．由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点。下列说法正确的是（ ）
A．炮弹到达b点时，炮弹的速度为零
B．炮弹到达b点时，炮弹的加速度为零
C．炮弹经过等高的两点（如a、c）时上升速度大于下落速度
D．炮弹由O点运动到a点的时间大于由c点运动到d点的时间
【答案】C
【解析】A．根据曲线运动的速度与轨迹的关系可知，炮弹到达b点时，炮弹的速度水平向右，不为零，故A错误；
B．根据曲线运动的条件可知，炮弹到达b点时加速度不为零，方向应指向轨迹的凹侧，故B错误；
C．炮弹从a点到c点的过程，重力做功为零，阻力做负功，由动能定理可知，炮弹经过a点时的速度大于经过c点时的速度，其他等高点也同样成立，即炮弹经过等高的两点时上升速度大于下落速度，故C正确；
D．从O到a的过程中，在竖直方向上，受到重力和阻力在竖直向下的分力f1，由牛顿第二定律可得
解得
在从c到d的过程中，在竖直方向上，受到向下的重力和阻力在竖直向上的分力f2，由牛顿第二定律可得
解得
对比可得
即上升阶段的加速度总体比下降阶段的加速度大，再由
可定性确定，竖直位移相同，而Oa段加速度大，且va > vc，则Oa段的时间短，所以炮弹由O点运动到a点的时间小于由c点运动到d点的时间，故D错误。
故选C。
4．在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、A'、B'在同一直线上，O'为AA'的中点，运动员由直线AB经弯道到达直线A'B'，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为8m，路线②是以O'为圆心，半径为15m的半圆。若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，某一运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，运动员所受合外力冲量小
D．选择路线②，运动员所受合外力冲量小
【答案】C
【解析】A．因为运动过程中运动员以不打滑的最大速率通过弯道，最大径向作用力提供向心力，有
所以运动员在①②两条圆弧路线上运动时的向心加速度大小相同，故A错误；
B．根据牛顿第二定律，有
解得
因为路线①的半径小，所以路线①上运动员的速度小，故B错误；
CD．根据动量定量
由于路线①上运动员的速度小，所以运动员所受合外力冲量小，故C正确，D错误。
故选C。
5．如图所示，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火圆轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远火点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，下列说法正确的是（ ）
A．探测器在M点的速度大于在Q点的速度
B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度相同
C．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为8：1
D．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为3：1
【答案】D
【解析】A．假设探测器以半径为椭圆轨道的半长轴做匀速圆周运动，在经M点时的速度要大于在椭圆轨道上经M点时的速度，由
可知探测器在近火圆轨道Q点的速度要大于在圆轨道上M点的速度，因此探测器在椭圆轨道M点的速度小于在Q点的速度，故A错误；
B．由万有引力和牛顿第二定律知
解得
可知探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度大小相等，方向不同，故B错误；
C．由题意可知椭圆的半长轴为，根据开普勒第三定律可得
则有
故C错误；
D．设探测器在椭圆轨道上P点速度为vP，在M点的速度为vM，设火星的半径为R，根据开普勒第二定律可得
解得
故D正确。
故选D。
6．2022年11月1日，我国航空实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，如图所示。已知空间站的质量为m，离地面的高度为h，地球的半径为R，若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．由于航天员在空间站里处于漂浮状态，故不受重力
B．空间站运行的动能为
C．空间站运行轨道处的重力加速度为
D．空间站的周期为
【答案】D
【解析】A．宇航员在空间站里处于完全失重状态，但是受重力，重力充当向心力，故A错误；
B．空间站所受万有引力提供向心力有
在地表附近有
空间站的动能为
解得
故B错误；
C．根据万有引力与重力的关系有有
解得
故C错误；
D．由牛顿第二定律有
解得
故D正确。
故选D。
7．北京时间2022年10月7日21时10分，中国成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6两颗试验卫星送入离地高度约700km的近地轨道。这两颗卫星主要用于实时监测全球卫星导航系统服务性能，开展导航增强及星间激光通信试验。已知目前在轨运行的中国空间站离地高度约400km，若它们绕地球做的均是匀速圆周运动，已知地球的半径，地球同步卫星的轨道半径约为R，两颗试验卫星的质量均小于中国空间站的质量，下列说法正确的是（ ）
A．这两颗试验卫星的线速度大于第一宇宙速度
B．这两颗试验卫星的线速度小于地球赤道上随地球一起自转的物体的线速度
C．这两颗试验卫星的运行周期小于中国空间站的运行周期
D．这两颗试验卫星的动能均小于中国空间站的动能
【答案】D
【解析】A．地球第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大线速度，可知这两颗试验卫星的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；
B．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得
可知这两颗试验卫星的线速度大于同步卫星的线速度；根据
可知同步卫星的线速度大于地球赤道上随地球一起自转的物体的线速度，则这两颗试验卫星的线速度大于地球赤道上随地球一起自转的物体的线速度，故B错误；
C．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得
由于这两颗试验卫星的轨道半径大于中国空间站的轨道半径，则这两颗试验卫星的运行周期大于中国空间站的运行周期，故C错误；
D．卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得
可得卫星的动能为
由于这两颗试验卫星的轨道半径大于中国空间站的轨道半径，且质量小于中国空间站的质量，则这两颗试验卫星的动能均小于中国空间站的动能，故D正确。
故选D。
8．在国产科幻电影《流浪地球2》中，太空电梯是其重要的科幻元素，其结构主要由地面基座、缆绳、空间站、平衡锤、运载仓组成，如图所示。地面基座为缆绳的起始段，主要起到固定作用，空间站位于距离地表36000km的地球静止同步卫星轨道，并在距离地表90000km的尾端设置了平衡锤，空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载仓可沿缆绳上下运动。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，则（ ）
A．平衡锤的加速度小于空间站的加速度
B．平衡锤的线速度小于空间站的线速度
C．平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对其万有引力
D．若平衡锤与空间站与间的缆绳断裂，平衡锤将坠落地面
【答案】C
【解析】AB．平衡锤和空间站的角速度相等，根据，可知平衡锤的加速度大于空间站的加速度；根据可知平衡锤的线速度大于空间站的线速度，故AB错误；
C．平衡锤受拉力和万有引力共同作用提供向心力，所以平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对其万有引力，故C正确；
D．若平衡锤与空间站与间的缆绳断裂，则平衡锤所受引力不足以提供向心力，平衡锤做离心运动，故D错误；
故选C。
二、多选题
9．1965年3月18日，苏联宇航员列昂诺夫搭乘“上升2号”飞船，进行了人类的首次太空行走，期间由于宇航服故障，导致列昂诺夫无法回到飞船，悬停在了距离飞船5m的位置，如图所示（图中角度已知为37°）。此时，列昂诺夫携带着两个便携式氮气罐，可朝各个方向喷气，每个氮气罐喷气能够为他带来100N的反作用力。他依次实施了如下步骤：
①打开一个氮气罐，朝y轴正方向喷气1s后，关闭喷气；
②打开一个氮气罐，朝y轴负方向喷气1s后关闭，同时打开另一个氮气罐，朝x轴正方向喷气2s后，关闭喷气；
③打开一个氮气罐，朝x轴负方向喷气t时间，关闭喷气；
最终列昂诺夫恰好到达飞船，成功获救。假设列昂诺夫、宇航服和便携式氮气罐的总质量为100kg，不考虑喷出的气体质量，则下列说法正确的是（ ）
A．从开始喷气到获救，总用时为8s
B．步骤①完成后，距离下一次喷气的时间为
C．整个过程中，未喷气的时间为3s
D．步骤③中，
【答案】AD
【解析】B．根据几何关系可知列昂诺夫要想回到飞船，需要在方向和方向分别前进
由于喷气的反作用力为100N，则打开喷气时的加速度大小为
对列昂诺夫的每个步骤进行分析，①朝y轴正方向喷气1s，此过程中，他受到方向的力，其位移为
方向为方向，其末速度为
方向为方向。②朝y轴负方向喷气1s，x轴正方向喷气2s，此过程中，在y方向上，他受到方向的力，作用时间为1s，其位移为
方向为方向，其末速度为
此后不再有y方向的位移和速度，根据题意，列昂诺夫已经在y方向上前进了3m，说明在步骤①之后，他还有一段距离未喷气，而是以的速度匀速前进，此过程用时为
可知步骤①完成后，距离下一次喷气的时间为，B错误；
D．在x方向上，他受到方向的力，作用时间为2s，其位移为
方向为方向，其速度为
方向为方向。③朝x轴负方向喷气t时间，此次喷气后，列昂诺夫的末速度要减小到0，则有
解得
D正确；
AC．③朝x轴负方向喷气t时间，即2s内其位移为
方向为方向由于在步骤②中，列昂诺夫已经在方向前进了2m，步骤③中再次前进2m，则总共前进了4m，恰好到达飞船，综上所述，其运动总用时为8s，整个过程中未喷气的时间为2s，A正确，C错误。
故选AD。
10．某同学设计了一款简易娱乐设施“颠颠轮”，结构如图所示。甲、乙两箱用跨过滑轮的绳索相连，乙箱在轮子上做匀速圆周运动时，甲箱内的乘客即可上下颠簸。现让乙箱从图示位置开始逆时针运动一周，绳子始终处于绷直状态，不计滑轮与绳索间的摩擦及空气阻力，在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳索的拉力对甲箱先做负功后做正功
B．乙箱运动到最低点时，其速度小于甲箱的速度
C．两箱速度大小相等的位置有两个
D．甲箱的速度为零的位置有两个
【答案】CD
【解析】
A．由乙箱的运动过程可知，甲箱先下降后上升再下降，所以绳索的拉力对甲箱先做负功后做正功再做负功，故A错误；
B．乙箱运动到最低点时
乙箱运动到最低点时，其速度大于甲箱的速度，故B错误；
C．乙箱运动至C、D两点时，绳索与轮子相切，乙箱的速度完全沿着绳索方向，所以有两个时刻两箱的速度大小相等，故C正确；
D．乙箱运动至A、B两点时，连接乙箱的绳索方向与乙箱的速度方向相互垂直，乙箱的速度沿绳索方向的速度分量为零，所以甲箱的速度为零的时刻有两个，故D正确。
故选CD。
11．如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】A．将小球的运动沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，可知小球刚落到P点垂直斜面向下的分速度大小
故A正确；
B．沿斜面方向的加速度和垂直于斜面的加速度分别为
，
设小球落到斜面的时间为t，在垂直于斜面方向有
沿斜面方向的速度为
则速度方向与斜面的夹角的正切值为
可知速度方向与斜面的夹角为定值，故B正确；
C．O、P两点间的距离为
则x与是正比例函数关系，故C错误；
D．小球刚落到P点时的动能为
则与是正比例函数关系，故D正确；
故选ABD。
12．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（ ）
A．在相同时间内a转过的弧长最长
B．b的向心加速度近似等于重力加速度g
C．c在6h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是25h
【答案】BCD
【解析】A．因a在地球上，c为地球同步卫星，所以a、c角速度相同，由
可知c的线速度比a的线速度大，在相同时间的c转过弧长一定比a大，故A错误；
B．b为近地轨道卫星，根据牛顿第二定律定律可得
解得
可知b的向心加速度近似等于地球表面重力加速度g，故B正确；
C． c为地球同步卫星，24h内转过的角度为，则6h内转过的角度为，故C正确；
D．由开普勒第三定律
可知卫星的半径越大，周期越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，则d的运动周期可能是25h，故D正确。
故选BCD。
三、实验题
13．我国古人早在战国时期就认识到光沿直线传播，并有小孔成倒像的实验记载。某研究性学习小组受其启发，设计一个实验，利用小孔成像原理估测太阳的密度，如图1所示，准备的器材有：不透光圆筒，不透光的厚纸，透光的薄纸，米尺，毫米刻度尺。
实验的主要步骤如下：
①圆筒的一端封上不透光的厚纸，另一端封上透光的薄纸；
②用米尺测得圆筒的长度L；
③用针在厚纸的中心扎一个小孔，用螺旋测微器测得针的直径d（即小孔的直径）；
④把有小孔的一端对准太阳，在薄纸的另一端可以看到清晰圆形光斑（即太阳的实像），用毫米刻度尺测得光斑的直径D。
（1）圆筒的一端与零刻度对齐，则图2测得该圆筒的长度L= cm，如图3测得小孔的直径d= mm，如图4测得太阳像的直径D= cm。
（2）设地球环绕太阳的周期为T，引力常量为G，θ很小时，tanθ=sinθ，则估算太阳的平均密度表达式为ρ= （用题中给的字母表示）。
【答案】 80.0 0.500 0.69（0.67~0.69）
【解析】（1）[1]图中所测圆筒的长度为
[2]螺旋测微器的读数为固定刻度与可动刻度之和，所以
[3]太阳像的直径为
（2）[4]根据万有引力提供向心力
根据几何关系，有
所以
14．小明学完平抛运动后，尝试利用平抛运动的知识测量家里的弹射器射出弹丸的速度。小明准备了白纸、米尺、复写纸、支架等材料。实验时，先将白纸和复写纸固定在墙上，并用支架将弹射器固定好，装置如图甲所示。接着压缩弹射器朝墙壁发射弹丸，弹丸通过碰撞复写纸，在白纸上留下落点位置。随后将弹射器沿垂直于墙面方向远离墙壁移动，每次移动的距离为0.2m。通过几次重复实验，挑了一张有4个连续落点痕迹的白纸，如图乙所示。已知重力加速度。
（1）下列实验步骤必要的是 。
A．在安装时，必须确保弹射器水平放置 B．为了减小实验误差，应选用体积小密度大的弹丸
C．每次必须将弹簧压缩至相同位置释放弹丸 D．第一次实验时，需要测量弹射器开口到墙壁的距离
（2）根据测量的数据，可知弹丸离开弹射器的速度大小为 m/s，弹丸打到C点时的速度大小为 m/s。（所有计算结果均保留两位有效数字）
【答案】 ABC 2.0 2.8
【解析】（1）[1] A．要保证每次钢珠都做平抛运动，则必须确保弹射器水平放置，故A符合题意；
B．为了减小实验误差，应选用体积小密度大的弹丸，故B符合题意；
C．为保证弹丸的初速度相同，每次必须将弹簧压缩至相同位置释放弹丸，故C符合题意；
D．第一次实验时，不需要测量弹射器开口到墙壁的距离，故D不符合题意。
故选ABC。
（2）[2]由竖直方向上是自由落体运动，则
解得点迹间的时间间隔为
弹丸离开弹射器的速度大小为
[3]钢珠刚要打到C点时的竖直方向速度分量大小为
弹丸打到C点时的速度大小为
四、解答题
15．过山车是惊险刺激的游乐项目，深受游客喜爱，而如图甲所示的断轨过山车则更为惊悚恐怖，令大多数游客望而却步。为了探究断轨山车的工作原理，小明同学设计了如图乙所示的简化装置，该装置由竖直光滑圆弧轨道、水平粗糙直轨道和半径为的竖直断轨光滑圆弧轨道平滑连接而成，圆弧轨道的圆心为，断轨处的点和点高度相等，连线与竖直方向的夹角为，质量的滑块从离地一定高度处由静止释放。已知直轨道的长度，滑块与轨道间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度，，。
（1）若滑块释放的高度，求滑块经过圆弧轨道的点时对轨道的压力；
（2）若夹角，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，求滑块释放的高度；
（3）若，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，请写出滑块由到过程中离地面最高点的高度与夹角的函数关系，并讨论的最值。
【答案】（1），方向向下；（2）；（3）
【解析】（1）设滑块到点的速度为，由动能定理可得
设滑块在点所受的支持力为，由牛顿第二定律得
代入数据得
由牛顿第三定律可知，小球经过点时对轨道压力大小为，方向向下。
（2）滑块从到做斜抛运动，设滑块在点速度为，从至最高点时间为，则有水平方向
竖直方向
得
联立解得
滑块自释放运动到时点的过程中，由动能定理可得
代入数据得
（3）设滑块离开点后上升的最大高度为，离地最大高度为，则
得
因为
则滑块在间运动时离地面高度与夹角为的函数关系式
当时，有最小值，即
16．阳光明媚的中午，小明同学把一块长木板放在院子里，调整倾斜角度，使阳光刚好和木板垂直。在斜面顶端固定一个弹射装置，把一个质量为的小球水平弹射出来做平抛运动。调整初速度大小，使小球刚好落在木板底端。然后使用手机连续拍照功能，拍出多张照片记录小球运动过程。通过分析照片，小明得出：小球的飞行时间为；小球与其影子距离最大时，影子距木板顶端和底端的距离之比约为，如图所示。取。
（1）求飞行过程中，重力对小球做的功；
（2）木板长度。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动位移时间公式，可得
可知飞行过程中，重力对小球做的功为
（2）如图所示建立直角坐标系
由题意可知
则有
可得
又
方向速度减为零需要的时间为
根据对称性可知
联立可得
可得
可得
则木板的长度为
17．2023年2月，我国首颗超百G高通量卫星中星26号发射成功，开启卫星互联网新时代。如图所示，甲、乙卫星在地球赤道面内绕地球做匀速圆周运动，甲、乙卫星之间可直接进行无线信号通讯，由于地球遮挡甲、乙卫星之间直接通讯信号会周期性中断。已知地球的半径为R，甲卫星的轨道半径为2R，绕地球运行的周期为T，乙卫星的轨道半径为，甲、乙卫星运行方向均和地球自转方向相同。求：
（1）乙卫星绕地球运行的周期；
（2）在一个通讯周期内，甲、乙卫星直接通讯信号中断的时间（不计信号传输时间）。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设卫星乙绕地球运动的周期为，由开普勒第三定律
解得
（2）如图所示，由于地球遮挡甲、乙卫星之间通讯信号会周期性中断，设在一个通讯周期内，甲、乙卫星通讯中断的时间为t，有
而
故有
由几何可知
所以
由几何关系知
故
综上可得
（或）曲线运动、万有引力、宇宙航行综合练
一、单选题
1．如图所示，生产车间有两个完全相同的水平传送带甲和乙，它们相互垂直且等高，正常工作时都匀速运动，速度大小分别为、，将工件（视为质点）轻放到传带甲上，工件离开传送带甲前已经与传送带甲的速度相同，并平稳地传送到传送带乙上，且不会从传送带乙的右侧掉落。两传送带正常工作时，对其中一个工件A在传送带乙上留下的痕迹，下图中可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图所示，两小球分别从半径大小为的半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面斜边长是其竖直高度的2倍，均可视为质点，结果两球同时分别落在半圆轨道和斜面上，则小球的初速度大小为（ ）（重力加速度为，不计空气阻力）
A． B． C． D．
3．由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示。图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹，O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点。下列说法正确的是（ ）
A．炮弹到达b点时，炮弹的速度为零
B．炮弹到达b点时，炮弹的加速度为零
C．炮弹经过等高的两点（如a、c）时上升速度大于下落速度
D．炮弹由O点运动到a点的时间大于由c点运动到d点的时间
4．在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。如图所示，A、B、A'、B'在同一直线上，O'为AA'的中点，运动员由直线AB经弯道到达直线A'B'，若有如图所示的①②两条路线可选择，其中路线①中的半圆以O为圆心，半径为8m，路线②是以O'为圆心，半径为15m的半圆。若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，某一运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ）
A．在①②两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等
B．沿①②两条路线运动时，运动员的速度大小相等
C．选择路线①，运动员所受合外力冲量小
D．选择路线②，运动员所受合外力冲量小
5．如图所示，“天问一号”探测器成功进入环绕火星椭圆轨道，在椭圆轨道的近火点P（接近火星表面）制动后顺利进入近火圆轨道，Q点为近火轨道上的另一点，M点是椭圆轨道的远火点，椭圆轨道的半长轴等于圆形轨道的直径，下列说法正确的是（ ）
A．探测器在M点的速度大于在Q点的速度
B．探测器在Q点与椭圆轨道上的P点的加速度相同
C．探测器在椭圆轨道与圆轨道上的周期之比为8：1
D．探测器在椭圆轨道上P点与M点的速度之比为3：1
6．2022年11月1日，我国航空实验舱与“天宫”空间站在轨完成交会对接，如图所示。已知空间站的质量为m，离地面的高度为h，地球的半径为R，若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，忽略地球自转，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G。则下列说法正确的是（ ）
A．由于航天员在空间站里处于漂浮状态，故不受重力
B．空间站运行的动能为
C．空间站运行轨道处的重力加速度为
D．空间站的周期为
7．北京时间2022年10月7日21时10分，中国成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统S5/S6两颗试验卫星送入离地高度约700km的近地轨道。这两颗卫星主要用于实时监测全球卫星导航系统服务性能，开展导航增强及星间激光通信试验。已知目前在轨运行的中国空间站离地高度约400km，若它们绕地球做的均是匀速圆周运动，已知地球的半径，地球同步卫星的轨道半径约为R，两颗试验卫星的质量均小于中国空间站的质量，下列说法正确的是（ ）
A．这两颗试验卫星的线速度大于第一宇宙速度
B．这两颗试验卫星的线速度小于地球赤道上随地球一起自转的物体的线速度
C．这两颗试验卫星的运行周期小于中国空间站的运行周期
D．这两颗试验卫星的动能均小于中国空间站的动能
8．在国产科幻电影《流浪地球2》中，太空电梯是其重要的科幻元素，其结构主要由地面基座、缆绳、空间站、平衡锤、运载仓组成，如图所示。地面基座为缆绳的起始段，主要起到固定作用，空间站位于距离地表36000km的地球静止同步卫星轨道，并在距离地表90000km的尾端设置了平衡锤，空间站、平衡锤、地面基座之间由若干碳纳米缆绳垂直连接，运载仓可沿缆绳上下运动。已知空间站、平衡锤与地球自转保持同步，则（ ）
A．平衡锤的加速度小于空间站的加速度
B．平衡锤的线速度小于空间站的线速度
C．平衡锤做圆周运动所需的向心力大于地球对其万有引力
D．若平衡锤与空间站与间的缆绳断裂，平衡锤将坠落地面
二、多选题
9．1965年3月18日，苏联宇航员列昂诺夫搭乘“上升2号”飞船，进行了人类的首次太空行走，期间由于宇航服故障，导致列昂诺夫无法回到飞船，悬停在了距离飞船5m的位置，如图所示（图中角度已知为37°）。此时，列昂诺夫携带着两个便携式氮气罐，可朝各个方向喷气，每个氮气罐喷气能够为他带来100N的反作用力。他依次实施了如下步骤：
①打开一个氮气罐，朝y轴正方向喷气1s后，关闭喷气；
②打开一个氮气罐，朝y轴负方向喷气1s后关闭，同时打开另一个氮气罐，朝x轴正方向喷气2s后，关闭喷气；
③打开一个氮气罐，朝x轴负方向喷气t时间，关闭喷气；
最终列昂诺夫恰好到达飞船，成功获救。假设列昂诺夫、宇航服和便携式氮气罐的总质量为100kg，不考虑喷出的气体质量，则下列说法正确的是（ ）
A．从开始喷气到获救，总用时为8s
B．步骤①完成后，距离下一次喷气的时间为
C．整个过程中，未喷气的时间为3s
D．步骤③中，
10．某同学设计了一款简易娱乐设施“颠颠轮”，结构如图所示。甲、乙两箱用跨过滑轮的绳索相连，乙箱在轮子上做匀速圆周运动时，甲箱内的乘客即可上下颠簸。现让乙箱从图示位置开始逆时针运动一周，绳子始终处于绷直状态，不计滑轮与绳索间的摩擦及空气阻力，在这个过程中，下列说法正确的是（ ）
A．绳索的拉力对甲箱先做负功后做正功
B．乙箱运动到最低点时，其速度小于甲箱的速度
C．两箱速度大小相等的位置有两个
D．甲箱的速度为零的位置有两个
11．如图，将一小球从足够长的斜面上的O点，以初速率沿与斜面垂直向上的方向抛出，第一次落到斜面上的P点（未画出），O、P两点间的距离用x表示，小球刚落到P点时的动能、速度方向与斜面的夹角、垂直斜面向下的分速度大小分别用、α、表示。不计一切阻力，若仅改变初速率，则能正确反映、tanα、x、随或变化的图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（ ）
A．在相同时间内a转过的弧长最长
B．b的向心加速度近似等于重力加速度g
C．c在6h内转过的圆心角是
D．d的运动周期有可能是25h
三、实验题
13．我国古人早在战国时期就认识到光沿直线传播，并有小孔成倒像的实验记载。某研究性学习小组受其启发，设计一个实验，利用小孔成像原理估测太阳的密度，如图1所示，准备的器材有：不透光圆筒，不透光的厚纸，透光的薄纸，米尺，毫米刻度尺。
实验的主要步骤如下：
①圆筒的一端封上不透光的厚纸，另一端封上透光的薄纸；
②用米尺测得圆筒的长度L；
③用针在厚纸的中心扎一个小孔，用螺旋测微器测得针的直径d（即小孔的直径）；
④把有小孔的一端对准太阳，在薄纸的另一端可以看到清晰圆形光斑（即太阳的实像），用毫米刻度尺测得光斑的直径D。
（1）圆筒的一端与零刻度对齐，则图2测得该圆筒的长度L= cm，如图3测得小孔的直径d= mm，如图4测得太阳像的直径D= cm。
（2）设地球环绕太阳的周期为T，引力常量为G，θ很小时，tanθ=sinθ，则估算太阳的平均密度表达式为ρ= （用题中给的字母表示）。
14．小明学完平抛运动后，尝试利用平抛运动的知识测量家里的弹射器射出弹丸的速度。小明准备了白纸、米尺、复写纸、支架等材料。实验时，先将白纸和复写纸固定在墙上，并用支架将弹射器固定好，装置如图甲所示。接着压缩弹射器朝墙壁发射弹丸，弹丸通过碰撞复写纸，在白纸上留下落点位置。随后将弹射器沿垂直于墙面方向远离墙壁移动，每次移动的距离为0.2m。通过几次重复实验，挑了一张有4个连续落点痕迹的白纸，如图乙所示。已知重力加速度。
（1）下列实验步骤必要的是 。
A．在安装时，必须确保弹射器水平放置 B．为了减小实验误差，应选用体积小密度大的弹丸
C．每次必须将弹簧压缩至相同位置释放弹丸 D．第一次实验时，需要测量弹射器开口到墙壁的距离
（2）根据测量的数据，可知弹丸离开弹射器的速度大小为 m/s，弹丸打到C点时的速度大小为 m/s。（所有计算结果均保留两位有效数字）
四、解答题
15．过山车是惊险刺激的游乐项目，深受游客喜爱，而如图甲所示的断轨过山车则更为惊悚恐怖，令大多数游客望而却步。为了探究断轨山车的工作原理，小明同学设计了如图乙所示的简化装置，该装置由竖直光滑圆弧轨道、水平粗糙直轨道和半径为的竖直断轨光滑圆弧轨道平滑连接而成，圆弧轨道的圆心为，断轨处的点和点高度相等，连线与竖直方向的夹角为，质量的滑块从离地一定高度处由静止释放。已知直轨道的长度，滑块与轨道间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度，，。
（1）若滑块释放的高度，求滑块经过圆弧轨道的点时对轨道的压力；
（2）若夹角，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，求滑块释放的高度；
（3）若，使滑块能顺利通过整个竖直圆弧轨道，请写出滑块由到过程中离地面最高点的高度与夹角的函数关系，并讨论的最值。
16．阳光明媚的中午，小明同学把一块长木板放在院子里，调整倾斜角度，使阳光刚好和木板垂直。在斜面顶端固定一个弹射装置，把一个质量为的小球水平弹射出来做平抛运动。调整初速度大小，使小球刚好落在木板底端。然后使用手机连续拍照功能，拍出多张照片记录小球运动过程。通过分析照片，小明得出：小球的飞行时间为；小球与其影子距离最大时，影子距木板顶端和底端的距离之比约为，如图所示。取。
（1）求飞行过程中，重力对小球做的功；
（2）木板长度。
17．2023年2月，我国首颗超百G高通量卫星中星26号发射成功，开启卫星互联网新时代。如图所示，甲、乙卫星在地球赤道面内绕地球做匀速圆周运动，甲、乙卫星之间可直接进行无线信号通讯，由于地球遮挡甲、乙卫星之间直接通讯信号会周期性中断。已知地球的半径为R，甲卫星的轨道半径为2R，绕地球运行的周期为T，乙卫星的轨道半径为，甲、乙卫星运行方向均和地球自转方向相同。求：
（1）乙卫星绕地球运行的周期；
（2）在一个通讯周期内，甲、乙卫星直接通讯信号中断的时间（不计信号传输时间）。第四章 曲线运动
曲线运动 运动的合成与分解
【考点预测】
1.曲线运动的概念和条件的理解
2.红蜡块运动的合成实验
3.小船渡河时间最短问题
4. 小船渡河位移最短问题
5.斜牵引运动问题
【方法技巧与总结】
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
3．运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．运动性质的判断
4．两个直线运动的合运动性质的判断
标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
【题型归纳目录】
题型一：物体做曲线运动的条件及轨迹分析
题型二：运动的合成与分解
题型三：小船渡河模型
题型四：绳(杆)端速度分解模型
【题型一】物体做曲线运动的条件及轨迹分析
【典型例题】
例1．．关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体在变力作用下一定做曲线运动 B．物体在一个恒力作用下一定做曲线运动
C．物体在一个恒力作用下一定做匀变速运动 D．物体在一个恒力作用下一定做匀速直线运动
【方法技巧与总结】
1．曲线运动的条件：物体所受合外力(或加速度)方向与运动方向不共线。
2．曲线运动的类型
(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变。
(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化。
3．合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧。
练1．如图所示，小黄同学在操场上从A位置运动到B位置的过程中，该同学（ ）
A．做匀加速直线运动
B．速度方向不断变化
C．合外力方向一定不变
D．合外力方向与速度方向在同一直线上
【题型二】运动的合成与分解
【典型例题】
例2．如图所示的实验中，将玻璃管竖直倒置后，在红蜡块沿玻璃管匀速上升的过程中，玻璃管在水平方向运动。关于红蜡块相对于地面的运动，下列说法正确的是（ ）
A．若玻璃管水平向右运动，红蜡块在竖直平面内一定做直线运动
B．若玻璃管水平向右运动，红蜡块在竖直平面内一定做曲线运动
C．若玻璃管水平向右匀速运动，红蜡块在竖直平面内一定做直线运动
D．若玻璃管水平向右加速运动，红蜡块在竖直平面内一定做直线运动
【方法技巧与总结】
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与速度方向
2．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
练2．随着科技的发展，快递公司也开始尝试利用无人机送货，假设无人机沿水平向东匀加速飞行的同时向上匀速提升货物，以货物开始运动的位置为原点O，水平向东和竖直向上为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力。则货物的运动轨迹可能是（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】小船渡河模型
【典型例题】
例3．小船在宽的河中渡河，水流速度为，船在静水中的速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．小船无法到达正对岸 B．小船渡河的最小位移为
C．小船渡河的最短时间为 D．小船渡河的最短时间是
【方法技巧与总结】
渡河时间 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关； (2)船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)
渡河位移 若v船>v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，xmin＝d
若v船
A．减小α角，增大船速v
B．增大α角，增大船速v
C．减小α角，减小船速v
D．增大α角，保持船速v不变
【题型四】利用牛顿第二定律分析动态过程
【典型例题】
例4．如图所示，在河面上方20 m的岸上有人用跨过定滑轮的长绳栓住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v=3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么5 s时（ ）
A．绳与水面的夹角为60°
B．小船前进了15 m
C．小船的速率为5 m/s
D．小船到岸边距离为10 m
【方法技巧与总结】
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。
(2)模型分析
①合运动→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如下：
(4)解题思路
练4．如图所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉绳，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么（ ）
A．5s时绳与水面的夹角为37°
B．5s时小船前进了15m
C．5s时小船的速率为5m/s
D．5s时小船到岸边的距离为(20-15)m
【过关测试】
一、单选题
1．“风洞”实验是飞行器研制工作中的重要过程。一小球在光滑的水平面上以穿过一段风带，经过风带时风会给小球一个与方向垂直、水平向北的恒力，其余区域无风，小球穿过风带过程的运动轨迹及穿过风带后的速度方向表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于曲线运动的说法中正确的是（ ）
A．做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上
B．速度变化的运动必定是曲线运动
C．受变力作用的物体一定做曲线运动
D．加速度恒定的运动必定是直线运动
3．《山路十八弯》是一首民歌，歌里描写的是湖北宜昌长阳土家族自治县的风景。当汽车在如图所示路段行驶时，对于整个路段，下列说法正确的是（ ）
A．汽车所受合力一定变化 B．汽车所受合力可能为0
C．汽车可能受到恒定的合力 D．汽车速度可能不变
4．2022年2月6日，我国女足逆转夺得亚洲杯冠军。比赛中，球员利用任意球攻破球门，足球的轨迹示意如图所示。足球飞行经过P点时所受的合外力方向可能是（ ）
A． B． C． D．
5．平面内质量为1kg的物体沿x、y方向的运动图像分别如图1、2所示，其中沿x方向的图像为顶点在原点的抛物线。关于物体的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体加速度大小为 B．物体做匀变速直线运动
C．物体做变加速运动 D．t=1s时物体速度最小，大小为
6．蹦极是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上（相当于10层楼）高度的桥梁塔顶、高楼吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处，然后两臂伸开双腿并拢，头朝下跳下去。如图所示，某位体验者以一定的水平初速度从跳台上跳下，经一段时间橡皮条刚好伸直，不计空气阻力，则以下关于蹦极过程说法正确的是（ ）
A．橡皮条伸直之前，体验者做自由落体运动 B．橡皮条伸直之前，体验者做匀变速运动
C．橡皮条伸直之后，体验者做匀变速运动 D．橡皮条伸直之后，体验者做匀减速直线运动
7．有人驾驶一电动船横渡一条两河岸平行的景观河，已知河宽，景观河水流的速度，电动船在静水中航行的速度。横渡景观河时，电动船的船头始终与河岸垂直，下列说法正确的是（ ）
A．电动船可以到达正对岸 B．电动船过河的时间是
C．电动船的速度大小是 D．电动船在河中的运动轨迹是一条曲线
8．汽艇以的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m。设想河水不流动，汽艇驶到对岸所需时间为；如果河水流速是，汽艇驶到对岸所需时间为；则关于过河时间、的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，某同学欲借助手中的航模小船来研究“小船渡河问题”。他来到一段河岸笔直、水流平稳、宽度为d=50m的河边，操控小船由A点出发驶向对岸、抵达对岸后立即返航，历时t=100s，最终回到B点，A、B间距离x=60m，若小船调头过程所需时间忽略不计，整个过程中小船船头始终垂直于河岸，小船相对静水的速度大小及河水流速均保持不变，sin37°=0.6，则下列判断中正确的是（ ）
A．此过程中小船渡河到对岸的时间为50s
B．河水的流速为0.6m/s，小船在静水中的速度为0.5m/s
C．无论如何改变船头方向，小船都不可能由A点出发抵达正对岸
D．若操控小船使船头与上游河岸始终成37°角，则小船可由A点出发抵达正对岸
10．甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两球的速度大小之比为
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
二、多选题
11．如图所示，不可伸长的轻绳平行于斜面，一端与质量为m的物块B相连，B与斜面光滑接触。轻绳另一端跨过滑轮与质量为M的物块A连接。A在外力作用下沿竖直杆以速度向下匀速运动，物块B始终沿斜面运动且斜面始终静止，当轻绳与杆的夹角为时，物块B的速度大小为。斜面倾角为，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．轻绳拉力一定大于
D．斜面受到地面水平向左的摩擦力
12．公园里常见的一种健身器材，如图甲所示，叫做“椭圆机”，受到人们的喜爱。每边由三根连杆以及踏板组成，如图乙所示。锻炼者的脚放到踏板P上，通过手脚一起发力驱动装置转动起来，踏板（脚）的运动轨迹形似椭圆（如图丙），所以这种锻炼器材叫做“椭圆机”。如图丁所示为椭圆机某一时刻所处状态，图中α=60°，连杆O3O4与地面平行；该时刻连杆 O2O4沿着竖直方向，正在顺时针转动，此时角速度为ω。以下说法正确的是（ ）
A．连杆O3O4上各点的轨迹相同
B．连杆O3O4上各点的速度沿着连杆的O3O4分量一定相同
C．当椭圆机处于如图丁所示状态时，连杆O3O4上各点的速度相同
D．若连杆O1O3的长度为连杆O2O4的3倍，那么该时刻连杆O1O3的角速度为
13．甲、乙两人分别位于一条宽为的马路正对面，某时刻，甲开始以的速度沿马路做匀速直线运动，同时，乙立即以大小为的速度运动，乙追上甲所用的最短时间为t，已知，，则（ ）
A．若乙不追甲，乙到达马路对面的最短时间为
B．乙追上甲所用的最短时间
C．乙追上甲用时最短时，乙的速度方向与马路夹角为
D．乙追上甲用时最短时，乙的位移大小为
14．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
15．如图所示，长约1m的两端封闭的竖直玻璃管中注满水，玻璃管内有一质量为0.1kg的红腊块能在管内浮动。假设时，红蜡块从玻璃管底端开始向上浮动，且每1s上升的距离都是30cm；从开始，玻璃管以初速度为零匀加速向右平移，第1s内、第2s内、第3s内通过的水平位移依次为5cm、15cm、25cm。y表示红蜡块竖直方向的位移，x表示红蜡块随玻璃管通过的水平位移，单位均为m，时红蜡块位于坐标原点。下列说法正确的是（ ）
A．时红蜡块的速度大小为0.3m/s
B．前3s内红蜡块的位移大小为cm
C．红蜡块的轨迹方程为
D．红蜡块在浮动过程中受到的合力是0.1N
