人教版九年级上册数学期末二次函数压轴题专题训练
1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、、，试判断的形状，并说明理由；
(3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若，求P点坐标．
(3)当点P运动到什么位置时，三角形的面积最大？求出此时P点的坐标和三角形的最大面积．
3．如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
(1)填空：_______，_______，_______；
(2)在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
(3)如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，二次函数的图象交轴于，，交轴于．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点的坐标；
(3)若点D在对称轴上，抛物线上是否存在点，使，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知抛物线与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是上方抛物线上的一动点，作轴于点M，点M的横坐标为，交于点D．
(1)求A，B的坐标和直线的解析式；
(2)连接，求面积的最大值；
(3)已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为，作轴于点F，交于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值．
6．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)①求线段的最大值．
②连接，当为等腰三角形时，求m的值．
7．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于、两点，与y轴相交于点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标；
(3)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
8．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标；
(3)如图2所示，过作两条直线分别交抛物线于第一象限点，，交轴于，，．当为定值时，直线是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含的式子表示）；若不经过，请说明理由．
9．如图，直线与抛物线相交于和，点M为抛物线的顶点，点G是线段上不同于A、B的动点，过点G作轴于点C，交抛物线于点D．
(1)求抛物线的解析式：
(2)在y轴上找一点P，使的值最小，P点的坐标为_________；
(3)请你求出的面积的最大值；
(4)平面内是否存在点N，使以点A、点E、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是上方抛物线上的一动点，作轴于点，点的横坐标为，交于点．
(1)求，的坐标；
(2)直线的解析式；
(3)连接，求面积的最大值．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线经过、、三点．
(1)求b，c的值；
(2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标；
(3)在抛物线对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标；
(4)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与轴相交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴相交于点C，连接，．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为；
①若点P在直线的下方，当四边形的面积最大时，求m的值；
②过点P作与x轴相交于点E，当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
14．抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线，点D在抛物线上．
备用图
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图，点D在上方的抛物线上，当的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，点P为第三象限抛物线上一动点，
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)过点P作轴，交于点F，当时，求点P的坐标；
(3)当点P运动的过程中，是否构成等腰三角形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．
16．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF垂直x轴于点F，交直线BC于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分 若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由；
(3)若P为抛物线对称轴上一点，且使得的值最小，请直接写出点P的坐标．
17．如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．
(1)求直线的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)当点运动到什么位置时，的面积最大？
18．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)该抛物线上有一点不与点、、重合，使得，求点的坐标；
(3)点是线段上的动点不与点、点重合，过点作轴交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴和y轴分别交于点A，B，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点C为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点E，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．若是以为腰的等腰三角形．写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
20．如图，已知抛物线经过原点和轴上另一点，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、，点是的中点．
(1)求的值；
(2)求该抛物线对应的函数关系式；
(3)若是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使得？若存在，试求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
()
参考答案：
1．(1)该抛物线的解析式为．
(2)为直角三角形．理由见解析．
(3)存在，，，均可满足条件．
【分析】（1）将A、B、C三点坐标分别代入抛物线中即可求出a、b、c的值，从而得出抛物线的解析式；
（2）根据中求出的抛物线解析式得出D的坐标，通过两点间距离公式可求出、、的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形；
（3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为、时；两条对角线为、时；两条对角线为、时，即可得出符合条件的P的坐标．
【详解】（1）解：将，，代入抛物线中，
得，
可解得，
抛物线的解析式为．
（2）应为直角三角形．理由如下：
由（1）得：抛物线的解析式为，
且D是抛物线的顶点，
又，，
，
，
，
．
∴为直角三角形．
（3）存在，，，均可满足条件．
要使以A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形，且平行四边形中对角线互相平分，
对角线的中点坐标为固定值．
Q在抛物线对称轴上，P在抛物线上，
可设，
则可分为以下三种情况进行讨论：
①两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
②两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，；
③两条对角线为、时，
有
解得，
即此时，．
故满足条件的P点有3个，分别为，，．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点坐标为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全．
2．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的性质．
（1）把，代入，求出a和c的值，即可得出二次函数表达式；
（2）根据，，得出点P的纵坐标为3，求出时自变量的值即可；
（3）先用待定系数法求出直线的函数表达式为，过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，设，则，求出，再根据，得出，最后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴二次函数表达式为；
（2）解：∵，，
∴点P的纵坐标为3，
把代入得：，
解得：（舍去），，
∴；
（3）解：设直线的函数表达式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
过点P作y轴的平行线，交直线于点Q，
设，则，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴当时，三角形的面积最大，
此时，．
3．(1)
(2)
(3)点的坐标是或或或或或
【分析】（1）将点代入，可得，可得抛物线的解析式，令解方程可得点的坐标，即可得的值；
（2）连接，由点的横坐标为得，根据面积和可得四边形的面积，利用二次函数的性质可得其最大值；
（3）分三种情况：作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质以及点的坐标列方程求得的值，即可得点的坐标．
【详解】（1）将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或(；
②当为直角顶点时，，
如图3，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或5，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标是或或或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用二次函数的性质，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
4．(1)
(2)
(3)、或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）作C点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点P，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为P点；
（3）设，分点E在对称轴左侧和右侧两种情况利用中点坐标公式结合平行四边形的性质列式求出点E的横坐标，即可得出点E的纵坐标，即可解决问题
【详解】（1）将，，代入，得：
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线
作C点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点P，
∵，
∴，此时有最大值，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴，
当时，
∴；
（3）①当点E在对称轴右侧，若为的对角线时，
∵，，，
由中点坐标公式得，，
解得，，
∴
∴；
若为的边时，
∵，，，
由中点坐标公式得，，
解得，，
∴
∴；
②当点E在对称轴左侧，若为的边时，
∵，，，
由中点坐标公式得，，
解得，，
∴
∴；
综上，点E的坐标为、或
5．(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）令，则，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线上，D在直线，得出，，从而得出，然后由三角形的面积公式得出，再由函数的性质求最值即可；
（3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出，，再根据得出关于t的方程，解方程求出t即可．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，；
令，则，
，
设直线的解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线上，D在直线，
，，
，
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴面积的最大值为；
（3）①如图所示，当四边形为平行四边形时，
轴，轴，
，
∵四边形为平行四边形，
，
∵点Q的横坐标为，点Q在抛物线上，E在直线，
，，
，
，
解得；
②如图所示，当四边形为平行四边形时，
同①得出，
，
解得， ，
，
．
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，函数的性质以及平行四边形的性质及判定．
6．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)①的最大值为1②或或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①由题意得，利用配方法求最值即可；②由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可；
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴．
将点代入，得，解得，
抛物线的解析式为．
设直线AB的解析式为，
将点代入，得，解得，
∴直线AB的解析式为．
（2）①将代入中，得．
将代入中，得．
∴，
即的最大值为1．
②∵点M在直线上，且点，
∴点M的坐标为．
∵点，
∴，
∴，
．
当为等腰三角形时，
（ⅰ）若，则，
即，解得．
（ⅱ）若，则，
即，解得或（舍去）．
（ⅲ）若，则，
即，解得或（舍去）．
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、最值问题、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题．
7．(1)
(2)；抛物线的顶点坐标是
(3)，S的最大值为4
【分析】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及割补法求三角形的面积等知识点，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）将点A与点C坐标代入可得关于a，b的方程组，解之可得；
（2）求出时y的值可得点B的坐标，将解析式配方成顶点式可得其顶点坐标；
（3）连接，由得出S关于m的函数解析式，配方成顶点式即可知其面积最大值．
【详解】（1）解：将、两点代入中，得
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：在中，当，得，
抛物线与轴的交点B坐标
把配方，得
抛物线的顶点坐标是；
（3）解：如图所示，连接，
点的横坐标为，点在这条抛物线上，
点的坐标为：
，
当时，有最大值，最大值为4．
8．(1)点、、的坐标分别为：、、
(2)点的坐标为：
(3)直线PQ过点
【分析】（1）对于，当时，，当时，或3，即可求解；
（2）①当是边时，用数形结合的方法求出点，即可求解；当在上方时，同理可解；②当是对角线时，由，即可求解．
（3）求出，同理可得：，进而求解．
【详解】（1）对于，当时，，
当时，或3，
即点、、的坐标分别为：、、；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，，
①当是边时，如下图，
当在下方时，
设交轴于点，过点作于点，
则由，，，四点组成的平行四边形面积，
则，
由知，，
则，
则点，
则直线的表达式为：，
联立和并解得：（舍去）或，
即点；
点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，
则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，
故点；
当在上方时，
同理可得：直线的表达式为：，
经验证，该方程和抛物线无交点，
即无解；
②当是对角线时，如下图：
则，
设点，则点，
则，
则，
该方程无解；
综上，点的坐标为：；
（3）经过定点，理由：
设点、的坐标分别为：、，
由点、坐标得，直线的表达式为：，
当时，，
同理可得：，
则，
即，
设直线的表达式为：，
联立和二次函数表达式并整理得：，
则，，
则，
即，
则的表达式为：，
则直线过点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形面积的计算、平行四边形的性质，分类讨论是本题解题的关键．
9．(1)
(2)
(3)
(4)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）作点B关于y轴的对称点K，连接，交y轴于点P，则点此时的值最小，求出直线的解析式，即可求解；
（3）设，则，可得，再结合二次函数的性质，即可求解；
（4）设点N的坐标为，分三种情况讨论，结合平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入﹐解得，
把点和点代入，
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：∵，
∴点，
如图，作点B关于y轴的对称点K，连接，交y轴于点P，则点此时的值最小，
设直线的解析式为，
把点和代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点；
（3）解：∵点G在直线上，点D在抛物上，
∴设，则，
∴，
∴，
∴；
（4）解：存在，
对于，当时，则，
∴点，
设点N的坐标为，
若以为对角线，此时
，
解得：，
∴点N的坐标为；
若以为对角线，此时
，
解得：，
∴点N的坐标为；
若以为对角线，此时
，
解得：，
∴点N的坐标为；
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要查了二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
10．(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点坐标，求一次函数解析式等等，正确求出B、C的坐标是解题的关键．
（1）在中，求出当时，x的值即可得到答案；
（2）先求出，再利用待定系数法进行求解即可；
（3）设，则，然后推出，据此根据二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：在中，当时，，
解得：，，
∴，；
（2）解：在中，当时，得，
∴，
设直线的解析式的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式的解析式为；
（3）解：设，则，
∴
，
∵，
∴当时，面积的最大值为．
11．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）把A、B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，则，由此求出，，进而得到，利用二次函数的性质可得答案；
（3）先求出对称轴为直线，设，则，，，再分当，当， 当， 三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，
，
解得：，
，
，，
，
，
∴当时，的最大值为；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
设，
∵，
∴，，，
当，则由勾股定理得，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当，则由勾股定理得，
∴，
∴，
∴点M的坐标为；
当，则由勾股定理得，
∴，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式等等，求解析式利用待定系数法，二次函数与线段周长问题，要把线段的长转换成某个变量的二次函数，二次函数与直角三角形问题，利用勾股定理建立方程求解．
12．(1)，
(2)点P的坐标或；
(3)；
(4)存在，N点坐标为或或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用轴对称求最短距离的方法，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）将代入，求出a的值，确定函数的解析式后，再将B点和C点代入解析式即可求b、c的值；
（2）根据的面积公式，求得底边上的高，再解方程即可求解；
（3）根据抛物线的对称轴可知当B、C、P三点共线时，有最小值，直线与对称轴的交点即为P点，求出P点坐标即可；
（4）设，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
∴，
解得，
∴，
将代入，
∴，
解得：（舍）或，
将代入，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴底边上的高为，
∴，
当时，
解得，；
当时，
整理得，
，方程没有实数根，舍去；
∴点P的坐标或；
（3）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A点与B点关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴当B、C、P三点共线时，有最小值，
设的直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴；
（4）解：存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，理由如下：
设，
①当为平行四边形的对角线时，
，
∴（舍），，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，
，
∴，，
∴或；
③当为平行四边形的对角线时，
，
∴（舍），
∴；
综上所述：N点坐标为或或．
13．(1)，，
(2)①；②，
【分析】（1）代入和即可求解；
（2）①作轴交BC于点D，设D(m，m－3)，由四边形面积，得到面积的函数，故可求解；
②当以点A，C，P，E为顶点的四边形是平行四边形时，由，故，根据平行四边形的特点作图即可求解．
【详解】（1）对于，当时，，
令，则或3，
故点A、B、C的坐标分别为：、、；
（2）①当四边形面积最大时，的面积也最大．
如图，作轴交于点D．
∵，
∴：．
∴．
∴．
∴．
∴当最大时，．
即：当四边形面积最大时，．
②如图，，
∴点P的纵坐标为．
∴，∴．（舍去）
如图两图，．
∵，．
∴由平移得．
∵点E在x轴上，
∴，
∴．
综上所述，，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、面积计算、平行四边形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
14．(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
（2）连接，过点D作于点E，设，即可求得点C的坐标，即可求得、，再根据确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可；
（3）分两种情况进行分析：当D在上方时，当D在下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线的性质及二次函数的性质求解即可
【详解】（1）解：∵，抛物线的对称轴为直线，
，
解得：，
所以，抛物线的解析式为：；
（2）解：如图：连接，过点D作于点E，
，令，
解得，
∴，
设，
，
∵点D是上方抛物线上的一个动点，
，
，
令，则，
，
．
，
．
，
设
，
∴，
∴当时，面积取得最大值，
此时，
的坐标为；
（3）解：存在点，使得，理由如下：
当D在上方时，如图：
∵，
∴，
令中，，
即，
解得：或，
∴；
当D在下方时，设交x轴于K，如图：
∵，
∴，
设，
∵，，
∴，
解得，
∴
设直线的解析式为，将点，代入得：
，解得，
∴，
联立，
解得：或，
∴
∴点D的坐标为或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．
15．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决；
（2）根据，可得出，即；设，易知直线的解析式为，可得，表达和的长，由此可建立方程，求解，即可解决问题；
（3）分三种情形讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于和两点，
，
解得．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令，则，
∴，
∴，直线的解析式为：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
解得或（舍）；
∴；
（3）解：能，此时点P的坐标为或或．
由（2）可知，；
若是等腰三角形，则需要分以下三种情况：
①当时，，则，
则点P的纵坐标为5，
令，则，
解得（舍）或；
∴点P的坐标为；
②当时，则，则，如图，
过点P作轴于点M，则，
∴，
∴，
解得（舍）或，
∴点P的坐标为；
③当时，则有，
解得（舍）或或（舍），
∴点P的坐标为．
综上，当是等腰三角形时，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
16．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标代入解析式中列出二元一次方程组，解此方程组即可求得抛物线的解析式；
（2）结合图像可知和是等高的，，由此得出他们的面积比即为，分两种情况考虑，设点的坐标表示两线段，列方程并解方程求得D点坐标；
（3）当点P在垂直平分线上时，的值最小，求出直线表达式即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：将，代入，
得：，
解得，
则拋物线解析式为；
（2）解：能，理由如下：
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得，
所以直线的解析式为，
设，则，，，
∴，，
当时，，
即，
整理得，
解得，（舍去），
此时D点坐标为；
当时，，
即，
整.理得，
解得，（舍去），
此时D点坐标为；
综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分；
（3）解：理由如下：
为抛物线对称轴上一点，
当时，即点P在垂直平分线上时，的值最小，
，
抛物线对称轴为直线，
设线段垂直平分线与交于点M，与y轴交于点Q，与抛物线对称轴交于点P，
设，则，
又，
，
解得：，
，
，，
线段中点，
设直线表达式为，
把，代入，
，
解得：，
直线表达式为，
当时，，
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、线段垂直平分线性质的综合应用，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式，分类讨论思想的运用．
17．(1)直线的解析式为；
(2)；
(3)点的坐标为时，的面积最大．
【分析】此题考查了一次函数与二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式掌握坐标系中求几何图形面积的方法是解题的关键．
（1）将点的坐标代入表达式，即可求解；
（2）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（3）利用，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点，代入，得，
∴，则直线的解析式为．
（2）∵抛物线过点，，
∴设抛物线解析式为，
将点，代入，得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的解析式为
（3）如图，过点作轴，交于，
设点坐标为，则，
∴．
∴
∴当，即点的坐标为时，的面积最大．
18．(1)抛物线的解析式为
(2)点的坐标为
(3)，
【分析】（1）根据题意知道抛物线与x轴的两个交点，所以选用两根式，将第三个点代入其中解出即可；
（2）根据，及，可知点的纵坐标为，代入函数解析式计算判断即可得解；
（3）待定系数法求得直线的解析式为，，设，则，进而表示出，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）抛物线经过点，，
可设抛物线的解析式为，
把代入得，
，
抛物线的解析式为．
（2）根据题意得点的纵坐标为，
把代入，得，
解得（舍去）或，
把代入并整理，得，
，
该方程无解．
综上，点的坐标为．
（3）解：如图所示，
∵，，
设直线的解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴，
设，则，
∴
，
∴当时，取得最大值．
此时，即．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式和利用二次函数的图象中几何关系求点坐标，解题的关键是：首先要熟练掌握二次函数解析式的求法，可根据条件选择合适的表达方式进行快速求解，而且要熟知二次函数图象的性质．
19．(1)
(2)，
(3)Q的坐标为，，，过程见解析
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由面积，即可求解；
（3）由平移方式得到抛物线解析式，进而得到，，设，分当时，列出等式即可求解；当时，同理可解．
【详解】（1）解：抛物线经过，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
经过得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
过P作x轴的垂线交于H，
设、则，
，
，
∴当时，，
此时；
（3）解：，则平移后的抛物线表达式为：，则点，
当时，，
则点，设点，
由点Q、E、C的坐标得，，，，
当时，则，
解得：，
则点Q的坐标为：；
当时，则，
解得：，
则点Q的坐标为：或，
综上，点Q的坐标为：或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形．
20．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，中点坐标公式，垂直平分线的性质，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，以及求函数交点坐标的方法是解题的关键．
（1）先求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m；
（2）易得，根据二次函数的对称性得出，设抛物线对应的函数关系式为，把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线对应的函数关系式为．
（3）连接，易得，则，进而得出是的垂直平分线，用待定系数法求出所在直线的函数表达式为为，与二次函数表达式联立求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
解得：．
（2）解：∵，
∴，
∵该抛物线经过原点，对称轴，
∴，
设抛物线对应的函数关系式为，
把，，代入得：
，
解得：，
∴抛物线对应的函数关系式为．
（3）解：连接，
∵对称轴与轴交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上，
∵点是的中点，
∴是的垂直平分线，
设所在直线的函数表达式为为，
把，代入得：
，
解得：，
∴所在直线的函数表达式为为，
联立得：，
解得：，，
∴或．
()
()
