2023-2024学年江苏省无锡市重点中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b（ ）
A．
B．a2＞b2
C．﹣a+c＜﹣b+c
D．若a＞b＞c＞0，则
2．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．16 D．15
3．（5分）当有意义时，化简（ ）
A．2x﹣7 B．﹣2x+1 C．﹣1 D．7﹣2x
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1 B．f（x）＝x2+1 C． D．f（x）＝3x
5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数（ ）
A． B．
C． D．
6．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）x不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（5分）已知集合A＝，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＝1或a≥2} D．{a|a≥1}
8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且f（x﹣1），当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2x2﹣8x﹣7，则方程的所有根之和等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
二．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
（多选）9．（5分）使不等式x（x+1）＞0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜0
（多选）10．（5分）设正实数m，n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．的最小值为
C．的最大值为2
D．m2+n2的最大值为2
（多选）11．（5分）若函数y＝ax+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象不经过第二象限，则需同时满足（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．b＞0 D．b≤0
（多选）12．（5分）下列说法不正确的是（ ）
A．命题“ x＜1，都有x2＜1”的否定是“ x≥1，使得x2≥1”
B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}
C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6
D．若存在使等式x2﹣2x﹣m＜0上能成立，则实数m的取值范围（0，+∞）
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分）
13．（5分）函数的定义域为 ．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝ ．
15．（5分）若，则函数f（x）的值域为 ．
16．（5分）已知a，b∈R，若函数f（x）2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，且对于任意正数x都有x2﹣ax+t≥bx成立，则a+b＝ ，实数t的最小值是 ．
四．解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合P＝{x|﹣2＜x＜2}，Q＝{x|0≤x＜3}，求下列集合：
（1）P∩Q；
（2）（ RP）∪（ RQ）．
18．（12分）（1）计算：；
（2）若a+a﹣1＝3，求下列式子的值：
①；
②．
19．（12分）已知命题p：任意实数x满足x2﹣2x﹣3≥0，命题q：实数x满足（x﹣m）[x﹣（m+1）
（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立，求：
（1）a的取值范围．
（2）在（1）的条件下解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0的解集．
21．（12分）金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台（x∈N*）需要另投入成本c（x）（万元），当年产量x不足45台时，（万元）；当年产量x不少于45台时，（万元），若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明f（x）在R上为减函数并解不等式．
2023-2024学年江苏省无锡市重点中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b（ ）
A．
B．a2＞b2
C．﹣a+c＜﹣b+c
D．若a＞b＞c＞0，则
【分析】举出反例检验选项A，B，D，结合不等式性质检验选项C．
【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A；
由a＞b可得﹣a＜﹣b，则﹣a+c＜﹣b+c；
若a＝5，b＝2，D显然错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则集合A的真子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．16 D．15
【分析】先求出集合A，再利用集合的真子集个数公式求解即可．
【解答】解：集合A＝{x∈Z|x2+x﹣2≤3}＝{x∈Z|﹣2≤x≤1}＝{﹣4，﹣1，0，
∴集合A的真子集个数为84﹣1＝15．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的真子集个数公式，属于基础题．
3．（5分）当有意义时，化简（ ）
A．2x﹣7 B．﹣2x+1 C．﹣1 D．7﹣2x
【分析】可求出x的范围，然后开方即可得出答案．
【解答】解：有意义时，
＝＝3﹣x﹣（5﹣x）＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，根式的运算，是基础题．
4．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1 B．f（x）＝x2+1 C． D．f（x）＝3x
【分析】由常见函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝x﹣1为非奇非偶函数；
对于B，f（x）＝x2+8是偶函数，且在（0，故B符合题意；
对于C，f（x）＝﹣，故C不符合题意；
对于D，f（x）＝5x为非奇非偶函数，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于基础题．
5．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y＝ax+b 与反比例函数y＝图象分别位于所在的象限，即可求解．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知，a＞0，c＜7，
则一次函数y＝ax+b 的图象经过一、三、四图象限象在二四象限．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，属于基础题．
6．（5分）已知函数f（x）＝ax﹣2+1（a＞0，且a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）x不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出m，n得出g（x）的解析式，从而得出结论．
【解答】解：∵f（x）＝ax﹣2+1（a＞2，且a≠1）恒过定点（2，
∴m＝n＝3，
∴g（x）＝2﹣2x，
∴g（x）为减函数，且过点（8，
∴g（x）的函数图象不经过第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的图象变换与性质，属于中档题．
7．（5分）已知集合A＝，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a2﹣1）＜0}，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＝1或a≥2} D．{a|a≥1}
【分析】分类讨论B＝ 和B≠ 时的情况即可求解．
【解答】解：解分式不等式可得，A＝{x|﹣1＜x≤4}，
∵a3+1≥2a，∴a＝5时，满足A∩B＝ ，
a≠1时，B＝{x|2a＜x＜a3+1}，∵A∩B＝ ，得；
综上，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≥2}
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解法，考查集合的运算，属于基础题．
8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），且f（x﹣1），当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2x2﹣8x﹣7，则方程的所有根之和等于（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2
【分析】首先根据题意得到f（x）关于（﹣1，0）对称，即f（x）＝﹣f（﹣2﹣x），从而得到，再解方程即可．
【解答】解：因为f（x﹣1）为奇函数，所以f（x﹣1）关于（7，
所以f（x）关于（﹣1，0）对称．
当x＜﹣3时，f（x）＝﹣2x2﹣8x﹣7，
当x＞﹣1时，﹣5﹣x＜﹣12+4（﹣2﹣x）+7＝3x2﹣1，
所以f（x）＝．
因为，
所以或，
解得，，，，
所以x1+x3+x3+x4＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
二．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）．
（多选）9．（5分）使不等式x（x+1）＞0成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜0
【分析】解不等式x（x+1）＞0得x＜﹣1或x＞0，因此所求充分不必要条件对应的集合是{x|x＜﹣1或x＞0}的真子集，由此判断出正确答案．
【解答】解：不等式x（x+1）＞0，即x＜﹣3或x＞0，
因此，使不等式x（x+1）＞3成立的充分不必要条件对应的集合是{x|x＜﹣1或x＞0}的真子集，
对照各个选项，可知A．
故选：AC．
【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）设正实数m，n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为1
B．的最小值为
C．的最大值为2
D．m2+n2的最大值为2
【分析】利用基本不等式依次对每个选项进行判断．
【解答】解：对于A，因为m＞0，所以，
当且仅当m＝n＝4时等号成立，故有最大值1；
对于B，因为m+n＝2，
所以＝，
当且仅当时，即m＝2，n＝6﹣2，故B正确；
对于C，，
当且仅当m＝n＝8时等号成立，
所以，故C正确；
对于D，m2+n5＝（m+n）2﹣2mn＝7﹣2mn，由A有mn≤1，
则﹣5mn≥﹣2，所以m2+n7≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立．
故选：BC．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
（多选）11．（5分）若函数y＝ax+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象不经过第二象限，则需同时满足（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．b＞0 D．b≤0
【分析】分类讨论a，b取不同值时，函数y＝ax+b﹣1（a＞0，且a≠1）的图象经过的象限，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：函数y＝ax+b﹣1（a＞0，a≠4）的图象，
由函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象向上平移（b﹣5）单位得到；
若0＜a＜1，则函数图象经过第二象限；
若a＞2，b﹣1+1≤5；
所以a＞1，b≤0．
故选：AD．
【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．
（多选）12．（5分）下列说法不正确的是（ ）
A．命题“ x＜1，都有x2＜1”的否定是“ x≥1，使得x2≥1”
B．集合A＝{﹣2，1}，B＝{x|ax＝2}，若A B＝B，则实数a的取值集合为{﹣1，2}
C．方程3x2+a（a﹣6）x﹣3＝0有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是0＜a＜6
D．若存在使等式x2﹣2x﹣m＜0上能成立，则实数m的取值范围（0，+∞）
【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式解的存在性问题对选项逐一判断．
【解答】解：对于A，命题“ x＜12＜4”的否定是“ x＜1，使得x2≥6”，故A错误；
对于B，当a＝0时，故B错误；
对于C，令f（x）＝3x2+a（a﹣6）x﹣3，由题意得f（1）＜22﹣6a＜6，所以0＜a＜6；
对于D，令y＝x2﹣2x﹣m，二次函数开口向上，
因为，所以x＝1时，则72﹣2×5﹣m＜0，
解得m＞﹣1，故D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查了集合的运算、全称量词命题及其否定，考查了二次函数的应用，考查了转化思想，属于中档题．
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分）
13．（5分）函数的定义域为 （1，2] ．
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：，
则，解得4＜x≤2，
故函数f（x）的定义域为（1，2]．
故答案为：（1，2]．
【点评】点评：本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
14．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）xm在（0，+∞）上单调递减，则m＝ ﹣3 ．
【分析】利用幂函数的定义和性质直接求解．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2+m﹣5）xm在（6，+∞）上单调递减，
∴，
解得m＝﹣3．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）若，则函数f（x）的值域为 （﹣∞，] ．
【分析】令t＝，t≥0，将函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：令t＝，t≥05，
所以原函数可转化为g（t）＝1﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，t≥0，
由二次函数的性质可得g（t）≤g（）＝，
所以函数f（x）的值域为（﹣∞，]．
故答案为：（﹣∞，]．
【点评】本题主要考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（5分）已知a，b∈R，若函数f（x）2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，且对于任意正数x都有x2﹣ax+t≥bx成立，则a+b＝ 23 ，实数t的最小值是 ．
【分析】由f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）＝0，可得x＝1，或x＝﹣1，或x2+ax+b＝0，再由f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，可得f（﹣1）＝f（﹣3）＝0，f（1）＝f（﹣5）＝0，则可得﹣3，﹣5是x2+ax+b＝0的两个根，从而可求出a，b，则可得a+b，将不等式转化为t≥﹣x2+23x，然后求出y＝﹣x2+23x的最大值即可．
【解答】解：由f（x）＝（1﹣x2）（x5+ax+b）＝0，可得x＝1，或x8+ax+b＝0，
因为f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
所以f（﹣7）＝f（﹣3）＝0，f（1）＝f（﹣3）＝0，
所以﹣3和﹣6是方程x2+ax+b＝0的两个根，
所以，得，
所以a+b＝8+15＝23，
所以不等式x4﹣ax+t≥bx可化为x2﹣8x+t≥15x，
所以t≥﹣x8+23x，
令y＝﹣x2+23x，则其对称轴为，
所以当时，y＝﹣x2+23x取得最大值，其最大值为，
所以，所以实数t的最小值是．
故答案为：23；．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查不等式的恒成立问题，考查方程思想以及运算求解能力，属于中档题．
四．解答题：（本题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合P＝{x|﹣2＜x＜2}，Q＝{x|0≤x＜3}，求下列集合：
（1）P∩Q；
（2）（ RP）∪（ RQ）．
【分析】（1）直接进行交集运算即可；
（2）直接进行并集和补集的运算即可．
【解答】解：（1）P∩Q＝{x|0≤x＜2}；
（2） RP＝{x|x≤﹣6或x≥2}， RQ＝{x|x＜0或x≥4}，（ RP）∪（ RQ）＝{x|x＜0或x≥2}．
【点评】本题考查了集合的交集、并集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）（1）计算：；
（2）若a+a﹣1＝3，求下列式子的值：
①；
②．
【分析】（1）由已知结合指数幂的运算性质即可求解；
（2）①先对所求式子进行平方，即可求解；
②先对所求式子进行平方，结合＞0即可求解．
【解答】解：（1）8＝2﹣2（5﹣）﹣×
＝﹣7+2﹣3；
（2）若a+a﹣1＝5，
①（）2＝a+a﹣4﹣2＝1，
故＝±1；
②（）3＝a+a﹣1+2＝7，
又＞0，
故＝．
【点评】本题主要考查了指数运算性质的应用，属于基础题．
19．（12分）已知命题p：任意实数x满足x2﹣2x﹣3≥0，命题q：实数x满足（x﹣m）[x﹣（m+1）
（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据题意，x2﹣2x﹣3＜0，解之可得答案；
（2）命题q是命题p的必要不充分条件，则x2﹣2x﹣3≥0的解集是（x﹣m）[x﹣（m+1）]≥0解集的真子集，从而建立关于m的不等式组，算出答案．
【解答】解：（1）若命题p为假命题，则x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣1＜x＜7，3）；
（2）若命题p为真命题，则x≥3或x≤﹣5，
若命题q为真命题，则x≥m+1或x≤m，
因为命题q是命题p的必要不充分条件，
所以A B，可得，解得﹣1≤m≤3，2]．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
20．（12分）已知不等式ax2+2ax+1≥0对任意x∈R恒成立，求：
（1）a的取值范围．
（2）在（1）的条件下解关于x的不等式x2﹣x﹣a2+a＜0的解集．
【分析】（1）讨论a是否为0，可解．
（2）根据x2﹣x﹣a2+a＜0，可得（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，又根据0≤a≤1，讨论a与1﹣a的大小，从而可解．
【解答】解：（1）当a＝0时，不等式ax2+8ax+1＝1≥6恒成立，
当a≠0时，若不等式ax2+4ax+1≥0对于 x∈R恒成立，
则，得0＜a≤7，
综上，a的取值范围为[0．
（2）∵x2﹣x﹣a6+a＜0，且0≤a≤7，
∴（x﹣a）[x﹣（1﹣a）]＜0，
又8≤a≤1，
①当1﹣a＞a，即7≤a＜时，
②当3﹣a＝a，即a＝时7＜0，无解，
③当1﹣a＜a，即＜a≤1时，
综上所述，当7≤a＜时，
当a＝时，解集为 ，
当＜a≤1时．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，一元二次不等式的解法，属于中档题．
21．（12分）金坛某企业为紧抓新能源发展带来的历史性机遇，决定开发一款锂电池生产设备．生产此设备的年固定成本为300万元，且每生产x台（x∈N*）需要另投入成本c（x）（万元），当年产量x不足45台时，（万元）；当年产量x不少于45台时，（万元），若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量x为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【分析】（1）根据题意，分0＜x＜45，x∈N*和x≥45，x∈N*求解即可；
（2）结合（1），根据二次函数的性质和基本不等式求解最值即可．
【解答】解：（1）当0＜x＜45，x∈N*时，，
当x≥45，x∈N*时，，
综上可得y＝．
（2）当8＜x＜45，x∈N*时，，
当x＝30时，ymax＝450，
当x≥45，x∈N*时，，
当且仅当时，即x＝58时，即ymax＝892．
综上，即当年生产58（台）时．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）已知定义在R上的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明f（x）在R上为减函数并解不等式．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行求解即可；
（2）由指数函数的性质及不等式的性质即可求解函数的值域；
（3）根据函数单调性的定义进行证明，根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．
【解答】解：（1）因为定义在R上的函数是奇函数，
所以f（0）＝0，即＝8，
所以f（x）＝，
f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
故a的值为1．
（2）f（x）＝＝＝﹣+，
因为8x＞0，所以2x+2＞1，0＜，﹣＜﹣+＜，
所以f（x）的值域为（﹣，）．
（3）证明：在R上任取x1＜x2，
则f（x5）﹣f（x2）＝﹣+﹣（﹣+﹣＝，
因为x1＜x5，所以2﹣8，2+1＞0，2，
所以f（x1）﹣f（x6）＞0，即f（x1）＞f（x5），
所以f（x）在R上为减函数，
因为f（x）为奇函数，所以）＝f（﹣），
所以t﹣4＜﹣，解得t＜0，3）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，函数单调性的证明，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
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