大连市重点校2023-2024学年高二上学期12月月考
数学
一 单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知直线与互相垂直，则实数（ ）
A.1 B.3 C.1或-3 D.-1或3
2.冬季某服装店销售五种不同款式的羽线服，甲 乙 丙三人每人任意选择一款羽线服购买，则不同的购买选择有（ ）
A.15种 B.60种 C.125种 D.243种
3.如图，在平行六面体中，为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知抛物线的焦点为，准线为为上的点，过作的垂线，垂足为，则（ ）
A. B. C. D.
5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法，三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭 中庭 下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼 第二眼 第三眼 第四眼 第五眼五等份，如图，假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
（ ）
A. B. C. D.
6.已知双曲线的离心率与椭圆的离心率互为倒数，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知直线与直线相交于点，点为坐标原点，则的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.
8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9.4名男生和3名女生排队（排成一排）照相，下列说法正确的是（ ）
A.若女生必须站在一起，那么一共有种排法
B.若女生互不相邻，那么一共有种排法
C.若甲不站最中间，那么一共有种排法
D.若甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法
10.已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）
A.圆与圆有两条公切线
B.圆与圆关于直线对称
C.线段的长为
D.分别是圆和圆上的点，则的最大值为
11.如图，已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，，则（ ）
A.无论取何值，三棱锥的体积始终为1
B.若，则
C.点到平面的距离为
D.若异面直线与所成的角的余弦值为，则
12.法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人” “微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于两点，则（ ）
A.
B.面积的最大值为
C.到的左焦点的距离的最小值为
D.若动点在上，将直线的斜率分别记为，则
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为__________.
14.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有__________种.
15.过抛物线的焦点的直线，交抛物线的准线于点，与抛物线的一个交点为，且，若与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是__________..
16.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线是平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
四 解答题（共6小题）
17.如图，平行六面体的底面是菱形，且.
（1）求的长；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
18.已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆交于不同的两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
19.已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）点是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交于两点，直线的斜率分别是，试探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20.如图，在四棱锥中，，二面角为直二面角.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面的夹角的余弦值.
21.已知双曲线过点，右焦点为，左顶点为.
（1）求双曲线的方程；
（2）动直线交双曲线于两点，求证：的垂心在双曲线上.
22.抛物线，双曲线且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为.
（1）求的标准方程；
（2）直线与交于不同的两点，以为直径的圆过点，过点作直线的垂线，垂足为，则平面内是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定值和定点得坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一 选择题（共8小题）
1.【解答】解：直线与互相垂直，
所以，解得或-3.
故选：.
2.【解答】解：每人有5种不同的购买选择，总的购买选择有种.
故选：.
3.【解答】解：，
又，
.
故选：.
4.【解答】解：设直线与轴交于点，如图所示：
则由抛物线，则，又，故，且，
由抛物线定得义，则是等边三角形，
故，
故选：.
5.【解答】解：以鼻尖所在为位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
则直线，化简整理可得，，
故原点到直线距离为.
故选：.
6.【解答】解：双曲线的离心率为，
椭圆的离心率为，
由双曲线和椭圆的离心率互为倒数，
可得，
解得，
则双曲线的渐近线方程为，即为，
故选：.
7.【解答】解：由与直线，消去得点的轨迹方程为，
设过与相交时的直线斜率为，则直线方程为，
，解得，
又的最大值为，
故选：.
8.【解答】解：设，
因为点，
所以，
化简整理可得，
所以圆心为，半径，
又圆，
则圆心，半径，
由题意可知，两圆有公共点，
所以，
解得，
则实数的取值范围是.
故选：D.
二 多选题（共4小题）
9.【解答】解：选项，利用捆绑法，将3名女生看成一个整体，其排列方式有种，加上4名男生一共有5个个体，则有种排列方式，
则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；
选项，利用插空法，4名男生排成一排形成5个空，其排列方式有钟，再将3名女生插入空中，有种排列方式，
则由乘法原理可知一共有种排法，故不正确；
选项，利用优先安排特殊元素法，甲不站最中间，甲先从除中间之外的6个位置选一个，其选择方式有种，
再将剩余的6人全排列，有种排列方式，
则由乘法原理可知一共有种排法，故正确；
选项，利用间接法，7人站成一排共有种排法，若甲站最左边有种排法，乙站最右边有种排法，甲站最左边且乙站最右边有种排法，所以甲不站最左边，乙不站最右边，那么一共有种排法，故不正确.
故选：.
10.【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径，
圆，即，其圆心为，半径，
依次分析选项：
对于，两圆相交，有两条共切线，正确，
对于，圆和圆的半径相等，则线段的垂直平分线为，则圆与圆关于直线对称，正确，
对于，联立，化简可得，即的方程为，
到的距离，则错误；
对于，则的最大值为正确，
故选：.
11.【解答】解：对于正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，
，
在正方体中，平面，
由等体积法知，
无论取何值，三棱锥的体积始终为1，故正确；
对于：由题意得以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
正方体的棱长为，
，设，则，
，即，解得，
，
，
，故正确；
对于：由选项得，
设，则，
，即，解得，则，
，
设平面的法向量为，
则，则可取，
点到平面的距离为，
由于无法确定，则点到平面的距离无法确定，故错误；
对于：由选项得，
设，则，
，即，解得，
，
，
异面直线与所成的角的余弦值为，
则，
即，
解得或（不合题意，舍取），故错误.
故选：.
12.【解答】解：依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆上，所以，
得，所以，故正确；
对于，因为点都在圆上，且，
所以为圆的直径，，
所以面积的最大值为，故正确；
对于，设的左焦点为，连接，
因为，
所以，
，所以，
则到的左焦点的距离的最小值为，故不正确；
对于，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，
设，则，
，又，
所以，所以，
所以，故正确.
故选：.
三 填空题（共4小题）
13.【解答】解：因方程表示焦点在轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
14.【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有种；
甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有种；
共有种.
故答案为：70
15.【解答】解：如图，
，且，
要使，则应在离点较近的一端，
过作准线的垂线，垂足为，
，
在中，，
直线的斜率；
与双曲线的一条渐近线垂直，
，则，即，
解得.
故答案为：.
16.【解答】解：平面的方程为，
平面的法向量可取，
同理平面的法向量可取，
的法向量可取，
设平面与的交线的方向向量为，
则，令，则，
则直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
四 解答题（共6小题）
17.【解答】解：（1）设构成空间的一个基底.
因为，
所以
，
则，即的长为；
（2）由于，
则，
异面直线与所成的角为，
即异面直线与所成角的余弦值为0.
18.【解答】解：（1）设圆的方程为，
则有，解得，
所以圆的方程为，
化为标准方程，得.
（2）假设存在符合条件的实数，由于直线垂直平分弦，
故圆心必在直线上，所以直线的斜率，
又，所以.
将与圆的方程联立，
整理得，由于直线交圆于两点，
故，解得，与矛盾，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.
19.【解答】（1）圆的圆心为，半径为，
点在圆内，，
所以曲线是为焦点，长轴长为的椭圆，
由，得，
所以曲线的方程为.
（2）设，由已知直线的斜率存在，
设直线，联立方程组，得，
.
（定值）.
20.【解答】证明：（1）记的中点为，连接，
，所以，
又，所以四边形为正方形，
所以，
又二面角为直二面角，即平面平面，
平面平面平面平面，
平面；
解：（2）由（1）知平面，则是直线与平面所成角，
在Rt中，，
，
，
取的中点，连接，则，
易知，所以，
，
，
又平面平面，平面平面平面，
平面，而平面，
，
，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
设，则，
易知，所以，解得，
即，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
显然为平面的一个法向量，
则，
平面与平面的夹角的余弦值为.
21.【解答】解：（1）因为双曲线过点，右焦点为，
所以，
易知，
即，
此时，
解得，
则双曲线的方程为；
（2）证明：联立，消去并整理得，
此时，
不妨设，
由韦达定理得，
因为，
不妨过点作的垂线，该垂线与双曲线的另一个交点为，
此时直线的方程为，
联立，消去并整理得，
解得（舍）或，
所以，
则
，
所以，
即为的高线的交点，
所以为的垂心，
故的垂心在双曲线上.
22.【解答】解：（1）由题意可知，切线方程为，即，
由消整理可得，
则，解得，即，
由，可得，
双曲线方程为，
把点的坐标代入可得，解得，
；
（2）当直线不垂直轴时，设直线的方程为，
由，消去并整理可得，且，
，
，
为直径的圆过点，
则当与都不重合时，有，则，
则当其中一点与重合时，也成立，
，
即，
整理可得，
即，
解得或，均满足，
当时，直线为，即恒过点，不符合题意，
当时，直线为，即恒过点，符合题意，
当直线垂直于轴是，设直线的方程为，
由，解得，
为直径的圆过点，且两点关于轴对称，在轴上，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，
即，
解得，不合题意），即直线恒过，
，
综上直线直线恒过，
取的中点，
与，从而，
存在定点，使得，点.
