许昌市2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|y，集合B＝{y|y＝2x，x∈R}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}
2．函数的定义域是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0]
3．三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若“ x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[2，] C．（﹣∞，3] D．[，+∞）
5．已知函数f（x）＝lnasinx+2，且f（m）＝5，则f（﹣m）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．3
6．若x，y是正数，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
7．将函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若g（x）＞﹣1对任意恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x），函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），则（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞﹣12}
C．函数y＝ax2+bx+c的零点为（﹣3，0）和（4，0）
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为
（多选）10．已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
（多选）11．已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．xy＞2z2
C． D．3x＞4y＞6z
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于对称
B．f（x）在上单调递减
C．g（x）的解为
D．方程在上有2个解
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则的最小值为 ．
14．已知函数，则函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2零点的个数是 ．
15．已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 ．
16．若两个锐角α，β满足，则 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
18．（12分）已知．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．（12分）已知f（x）＝2sinxcosx+2cos（x）cos（x）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[]上有唯一零点，求实数k的取值范围．
20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求t＝13时，点P到水面的距离；
（2）在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
21．（12分）已知函数f（x）＝log3（x2﹣2ax+3a）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围．
22．（12分）如果函数f（x）存在零点α，函数g（x）存在零点β，且|α﹣β|＜n，则称f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．
（1）证明：函数y＝e1﹣x﹣1与互为“1度零点函数”．
（2）若函数（，且a≠1）与函数y＝ln（2﹣x）互为“2度零点函数”，且函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个零点，求a的取值范围．
许昌市2023-2024学年高一上学期期末数学模拟试卷答案
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|y，集合B＝{y|y＝2x，x∈R}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}
【解答】解：∵全集U＝R，
集合A＝{x|y}＝{x|2x﹣x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，
∴ RA＝{x|x＜0，或x＞2}，
∵B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，∴（ RA）∩B＝{x|x＞2}．
故选：A．
2．函数的定义域是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，0]
【解答】解：由，得，解得x≤0，所以函数的定义域为（﹣∞，0]．
故选：D．
3．三个数的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵logπ0.3＜logπ1＝0，3π＞30＝1，，∴．
故选：A．
4．若“ x∈[1，2]，使2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2] B．[2，] C．（﹣∞，3] D．[，+∞）
【解答】解：若“ x∈[1，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，
即“ x∈[1，2]，使得λ＞2x成立”是假命题，
故 x∈[1，2]，λ≤2x恒成立，
令f（x）＝2x，x∈[1，2]，故f（x）在[1，2]递增，f（x）min＝f（1）＝3，
∴λ≤3，
故选：C．
5．已知函数f（x）＝lnasinx+2，且f（m）＝5，则f（﹣m）＝（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．3
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lnasinx+2，
则f（﹣x）＝lnasin（﹣x）+2＝﹣lnasinx+2，则有f（x）+f（﹣x）＝4，
故f（m）+f（﹣m）＝4，若f（m）＝5，则f（﹣m）＝﹣1，
故选：C．
6．若x，y是正数，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【解答】解：∵x，y是正数，∴2（xy1），
等号成立的条件是xy，解得x＝y，①
又xy21等号成立的条件是xy②
由①②联立解得x＝y，即当x＝y时的最小值是4
故选：C．
7．将函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，若g（x）＞﹣1对任意恒成立，则φ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：将函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后，
再将所得的图象向下平移一个单位长度，
得g（x）＝2sinω（x）﹣1＝2sin（ωx+φ）﹣1，
又y＝g（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为π，得T＝π，即．
∴g（x）＝2sin（2x+φ）﹣1，
当时，，
∵，∴，解得．∴φ的取值范围是．
故选：B．
8．已知函数f（x），函数g（x）＝b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（0，） D．（，2）
【解答】解：∵g（x）＝b﹣f（2﹣x），
∴y＝f（x）﹣g（x）＝f（x）﹣b+f（2﹣x），
由f（x）﹣b+f（2﹣x）＝0，得f（x）+f（2﹣x）＝b，
设h（x）＝f（x）+f（2﹣x），
若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2+x+x2，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝2﹣x+2﹣|2﹣x|＝2﹣x+2﹣2+x＝2，
若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，
则h（x）＝f（x）+f（2﹣x）＝（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|＝x2﹣5x+8．
即h（x），
作出函数h（x）的图象如图：
当x≤0时，h（x）＝2+x+x2＝（x）2，
当x＞2时，h（x）＝x2﹣5x+8＝（x）2，
故当b时，h（x）＝b，有两个交点，
当b＝2时，h（x）＝b，有无数个交点，
由图象知要使函数y＝f（x）﹣g（x）恰有4个零点，
即h（x）＝b恰有4个根，
则满足b＜2，
故选：D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），则（ ）
A．a＜0
B．不等式bx+c＞0的解集是{x|x＞﹣12}
C．函数y＝ax2+bx+c的零点为（﹣3，0）和（4，0）
D．不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣3，4），
所以a＜0，且﹣3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根，
由韦达定理得，则b＝﹣a，c＝﹣12a，所以A正确；
不等式bx+c＞0即为﹣ax﹣12a＞0，解得x＞﹣12，所以B正确；
因为﹣3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根，
函数y＝ax2+bx+c的零点为﹣3和4，故C错误；
不等式cx2﹣bx+a＞0即为﹣12ax2+ax+a＞0，即12x2﹣x﹣1＞0，解得或，
所以不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为，所以D正确．
故选：ABD．
（多选）10．已知函数f（x），若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（ ）
A．x1+x2＝﹣1 B．x3x4＝1
C．1＜x4＜2 D．0＜x1x2x3x4＜1
【解答】解：由函数f（x），作出其函数图象：
由图可知，x1+x2＝﹣2，﹣2＜x1＜﹣1；
当y＝1时，|log2x|＝1，有 ；
所以；
由f（x3）＝f（x4）有|log2x3|＝|log2x4|，即log2x3+log2x4＝0；
所以x3x4＝1；
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1（﹣2﹣x1）∈（0，1）；
故选：BCD．
（多选）11．已知正数x、y、z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．xy＞2z2
C． D．3x＞4y＞6z
【解答】解：x、y、z＞0，令3x＝4y＝6z＝t（t＞1），则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t．
（）2，故A正确；
1（）＞12，故B正确；
logt3logt4＝logt6，故C正确；
4logt3＝logt81，3logt4＝logt64，因为t＞1，所以，即3x＜4y，故D错误．
故选：ABC．
（多选）12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），将y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A．y＝f（x）的图象关于对称 B．f（x）在上单调递减
C．g（x）的解为 D．方程在上有2个解
【解答】解：由f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）图象上所有点向右平移个单位长度，
可得y＝sin（ωxφ），然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sin（2ωxφ），
所以g（x）＝sin（2ωxφ），∵g（x）为偶函数，且最小正周期为，可得ω＝2，φ；
那么f（x）＝sin（2x），
对于A：当x时，f（）＝0，可得y＝f（x）的图象关于对称，∴A正确；
对于B：令2x，解得，可知f（x）在上不是单调递减，∴B错误；
对于C：g（x），即﹣cos4x，即，k∈Z
解得，∴C正确；
对于D：f（x）＝g（），即sin（2x）＝﹣cos2x，即sin（2x）+cos2x＝0
∴cos2xsin2xcos（2x）＝0，即cos（2x）＝0，∵x∈，∴2x∈（，3π），
根据余弦函数的图像，可得方程在上有3个解．∴D错误；故选：AC．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．已知x＞0，y＞﹣1，且x+y＝1，则的最小值为 2 ．
【解答】xx（y+1）2
（）（x+y+1）（3+1）（4+2）＝2，
当且仅当时，即x＝3，y2时取等号，故最小值为2，
14．已知函数，则函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2零点的个数是 6 ．
【解答】解：令g（x）＝0，即f2（x）﹣3f（x）+2＝0，解得f（x）＝1或f（x）＝2，
作出函数f（x）的图象如图，
由图可知，方程f（x）＝1有3个实数解，f（x）＝2有3个实数解，且均互不相同，
所以g（x）＝0的实数解有6个，所以函数g（x）＝f2（x）﹣3f（x）+2零点的个数是6个．
15．已知函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则实数k的最大值是 6 ．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m﹣2）xm是幂函数，
∴m﹣2＝1，m＝3，f（x）＝x3，故函数f（x）为奇函数，且在R上单调递增．
若f（k2+3）+f（9﹣8k）≤0，则f（k2+3）≤f（8k﹣9），∴k2+3≤8k﹣9，求得2≤k≤6，
实数k的最大值为6，
16．若两个锐角α，β满足，则 ．
【解答】解：因为两个锐角α，β满足，所以，
即tanβ，所以tanβ，即tan（）＝tanβ，
因为α，β为锐角，所以0，0，所以β，所以α+2β，
则sin．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）化简求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式．
（2）原式．
18．（12分）已知．
（1）求tanα的值；（2）求的值．
【解答】解：（1）因为，
所以cosαsinαsinα，即cosαsinα，所以tanα3．
（2）2cos2α+sin2α
1．
19．（12分）已知f（x）＝2sinxcosx+2cos（x）cos（x）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间：
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣4k﹣2sin2x在区间[]上有唯一零点，求实数k的取值范围．
【解答】解：因为f（x）＝2sinxcosx+2cos（x）cos（x）
＝sin2x+2sin（x）cos（x）＝sin2xsin（2x） ＝sin2xcos2x＝2sin（2x），
（1）令2x，解得x∈[k]k∈Z，
故函数f（x）的单调递减区间为[k]k∈Z；
（2）函数g（x）在区间[]上有唯一零点，
等价于方程g（x）＝0即f（x）＝2（2k+sin2x）在[]上有唯一实数根，
所以2k＝sin（2x）﹣sin2xsin2xcos2x＝cos（2x），
设h（x）＝cos（2x），x，则2x，
根据函数h（x）在x上的图象，要满足y＝2k与y＝h（x）有唯一交点，
只需或2k＝﹣1，解得或k，故实数k的取值范围为（]∪{}．
20．（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O，筒车上的盛水桶抽象为圆O上的点P，已知圆O的半径为4m，圆心O距离水面2m，且当圆O上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）根据如图所示的直角坐标系，将点P到水面的距离h（单位：m在水面下，h为负数）表示为时间t（单位：s）的函数，并求t＝13时，点P到水面的距离；
（2）在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有多长？
【解答】解：（1）设P（x，y），则点P到水面的距离h＝2+y；由题可知，OP0与Ox的夹角为；
OP在时间t转过的角度为tt；由图可知，点P的纵坐标y＝4sin（t）；
因此，则点P到水面的距离h＝2+y＝4sin（t）+2；
当t＝13时，h＝4sin（13）+2＝2，所以点P到水面的距离为2m．
（2）根据题意，点P到水面的距离不低于4m，应满足：
4sin（t）+2≥4，得sin（t）；
因为筒车转动一圈需要12秒，从P0开始转动一圈，则0≤t≤12，
得t，所以t，
解得2≤t≤6；因此在点P从P0开始转动的一圈内，点P到水面的距离不低于4m的时间有4s．
21．（12分）已知函数f（x）＝log3（x2﹣2ax+3a）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若f（x）的定义域为R，则x2﹣2ax+3a＞0对任意实数x恒成立，
则Δ＝4a2﹣12a＜0，即0＜a＜3，∴a的取值范围是（0，3）；
（2）若f（x）的值域为R，则x2﹣2ax+3a能够取到大于0的所有实数，
则Δ＝4a2﹣12a≥0，即a≤0或a≥3，∴a的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）；
（3）若f（x）在[1，2]上单调，则或，
解得﹣1＜a≤1或2≤a＜4．∴a的取值范围是（﹣1，1]∪[2，4）．
22．（12分）如果函数f（x）存在零点α，函数g（x）存在零点β，且|α﹣β|＜n，则称f（x）与g（x）互为“n度零点函数”．
（1）证明：函数y＝e1﹣x﹣1与互为“1度零点函数”．
（2）若函数（，且a≠1）与函数y＝ln（2﹣x）互为“2度零点函数”，且函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个零点，求a的取值范围．
【解答】证明：（1）由y＝e1﹣x﹣1＝0，得x＝1，
由，得，
因为，所以，
所以函数y＝e1﹣x﹣1与互为“1度零点函数”；
解：（2）令y＝ln（2﹣x）＝0，得x＝1，
设f（x）存在零点x0，则|x0﹣1|＜2，不等式两边平方得，即﹣1＜x0＜3，
当x＜﹣1时，f（x）＝（x+1）2+4a＞0，当x≥﹣1时，令f（x）＝loga（ax+2a）＝0，得，
所以，得，又∵a，∴，
函数g（x）＝|f（x）|﹣|x﹣2|有三个零点，等价于函数h（x）＝|f（x）|与p（x）＝|x﹣2|的图象有三个交点，
因为，
所以f（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，又因为h（﹣1）＝1，h（x）的零点为，
画出h（x）与p（x）在[﹣1，+∞）上的大致图象，如图所示：
由图象可知h（x）与p（x）的图象在[﹣1，+∞）上有两个交点，
所以h（x）与p（x）的图象在（﹣∞，﹣1）上必须有一个交点，
即方程x2+2x+4a+1＝﹣x+2在（﹣∞，﹣1）上只有一个解，
化简得﹣x2﹣3x+1＝4a在（﹣∞，﹣1）上只有一个解，
设函数q（x）＝﹣x2﹣3x+1，所以q（x）的图象与直线y＝4a在（﹣∞，﹣1）上有一个交点，
因为，由q（x）的图象可得，或4a≤3，
即或．综上，a的取值范围为．
