2023-2024学年度七年级上期期中综合练习
数学
一、选择题（每小题3分，共30分．）
1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．如果盈利20元记作元，那么亏本10元记作（ ）
A．10元 B．20元 C．元 D．元
2．2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为、、的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若x，y为有理数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2023
6．如果代数式的值为7，那么代数式的值等于（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．4
7．若多项式与多项式的差不含二次项，则等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知点M是数轴上的一点，且点M到原点的距离为1，把点M沿数轴向右移动3个单位得到点N，则点N表示的数是（ ）
A．4 B．-2 C．4或2 D．-4或-2
9．若，，且，则的值是
A．或 B．或 C． 或2 D．8或2
10．观察下列等式：，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．6
二、填空题（每小题3分，共15分．）
11．比较大小： （填“>”或“<”）．
12．若与是同类项，则 ．
13．定义一种新运算“”：．如：，则 ．
14．已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|＝ ．
15．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有圆点的个数为 ．
三、解答题（16题12分，17题8分，18题8分，19题9分，20题9分，21题9分，22题10分，23题10分，共75分．）
16．计算：
(1)；
(2)
(3)．
17．在数轴上标出下列各数，并把这些数由小到大用“<”号连接起来．
，，0，，．
18．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用一张纸挡住了一个二次三项式，形式如下： +3（x﹣1）=x2﹣5x+1
（1）求所挡的二次三项式；
（2）若x=﹣1，求所挡的二次三项式的值．
19．下面是小彬同学的解题过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：
解：原式 第一步
第二步
第三步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第一步的依据是____________________________；
②以上化简步骤中，第______________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________；
任务二：把正确的解题过程写出来．并计算当时该整式的值．
20．毕节市蔬菜批发市场某仓库在一周的蔬菜运输中，进出情况如表（进库为正，出库为负，单位：吨）：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天 合计
+21 -15 +32 -25 +40 -35 +2
表中星期天的进出数被墨水涂污了．
（1）认真观察上表，请你算一算星期天是进库还是出库，数量是多少
（2）如果进仓和出仓的装卸费都是每吨 20元，那么该仓库的蔬菜老板这一周要付多少装卸费
21．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价800元，领带每条定价200元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装2套，领带x条（x＞2）．
（1）若该客户按方式一购买，需付款 元（用含x的式子表示）；
若该客户按方式二购买，需付款 元．（用含x的式子表示）
（2）若x=5，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x=5时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请直接写出你的购买方案，并算出所需费用．
22．概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”．一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果：________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；
③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______；_______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算：________．
23．如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数C，b是最小的正整数，且a＝﹣2，c＝7．
（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 表示的点重合；
（2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．
则AB＝ ，AC＝ ，BC＝ ．（用含t的代数式表示）
（3）请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据正负数和相反意义的量计算选择即可．
【详解】因为盈利20元记作元，
所以亏本10元记作元，
故选C．
【点睛】本题考查了正负数的意义和相反意义的量，正确理解是解题的关键．
2．D
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：亿．
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3．B
【分析】根据题意给出三袋面粉的质量波动范围，并求出任意两袋质量相差的最大数．
【详解】解：根据题意从中找出两袋质量波动最大的，
则最多相差，
故选：B．
【点睛】本题考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
4．D
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟记合并同类项法则是解答本题的关键．
5．A
【分析】直接利用绝对值和偶次方的非负数的性质得出，的值，即可得出答案．
【详解】解：，且，
，，
解得，，
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键．
6．A
【分析】整体代入直接求解即可．
【详解】，化简得
故选：A
【点睛】此题考查代数式求值，解题关键无需解方程，直接求整体的值即可．
7．D
【分析】直接利用整式的加减运算法则得出，进而得出答案．
【详解】解：多项式与多项式的差不含二次项，
，
，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解答的关键是明确不含二次项，则其系数为0．
8．C
【分析】判断出点M的坐标，再利用平移的性质即可解决问题．
【详解】解：由题意M点表示的数为±1，
点M沿数轴向右移动3个单位得到点N，
所以点N的坐标为4或2．
故选：C．
【点睛】本题考查的是有理数在数轴上的表示方法以及数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义求出m与n的值，即可确定出原式的值.
【详解】解：∵|m|=5，|n|=3，且m+n<0，
∴m= 5，n=3或m= 5，n= 3，
∴m n= 8或m-n=-2
故选A.
【点睛】本题考查了有理数的加减法和绝对值的代数意义.
10．C
【分析】由题意得，2为底的幂的个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，找到规律后即可求得结果．
【详解】解：继续计算：，…，
显然个位数字是按2，4，8，6这一规律循环的，
而，所以的个位数字是8；
故选：C．
【点睛】本题数字规律探索问题，考查了乘方的计算，关键是由特殊到一般找到规律．
11．
【分析】两个负数，绝对值大的反而小，据此解答．
【详解】解：，，
因为，，
所以，
即；
故答案为：．
【点睛】本题考查了比较有理数的大小，属于基础题型，熟知两个负数，绝对值大的反而小是解题的关键．
12．5
【分析】先根据同类项的定义可得，解方程可得，再代入计算即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得，
则，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了同类项、一元一次方程的应用，熟记同类项的定义（如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么这两个单项式是同类项）是解题关键．
13．4
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：∵，
∴=．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题．
14．-2a．
【分析】先根据题意得出a、b、c的大小与符号，再得出a+b，a﹣b，a - c的正负性，根据绝对值的性质求出各式的绝对值，化简合并即可．
【详解】解：根据题意得：a＜b＜0＜c，
∴a+b＜0，c﹣b＞0，a - c＜0，
∴|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|，
=，
=，
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查绝对值化简，掌握数轴的大小比较方法，绝对值化简方法．整式的加减法则是解题关键．
15．93
【分析】第一组可分解为2+1+2，第二组可分解为2+1+2+3，第三组可分解为2+1+2+3+4，第四组可分解为2+1+2+3+4+5，…第n组可分解为2+1+2+3+4+5+…+（n+1）=+2个．
【详解】第一组有3+2=2+1+2个，第二组有3+2+3=2+1+2+3个，第三组有3+2+3+4=2+1+2+3+4个，第四组有3+2+3+4+5=2+1+2+3+4+5，…
第n组有3+2+3+4+…+（n+1）=2+1+2+3+4+5+…+（n+1）=+2个，
当n=12时，+2=+2=93．
故答案为：93．
【点睛】本题考查了规律型问题：图形的变化类题，先从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，找到蕴含规律性的代数式是解题的关键．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，整式的加减运算．熟练掌握先乘方，然后乘除，最后加减，有括号先算括号里的是解题的关键．
（1）先乘方，然后乘除，最后加减计算求解即可；
（2）利用乘法运算律计算求解即可；
（3）去括号，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
17．画图见解析，
【分析】先分别计算，，，再在数轴上表示各数即可．
【详解】解：∵，，，
在数轴上表示各数如下：
∴．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，相反数的含义，绝对值的含义，乘方运算，掌握以上基础知识是解本题的关键．
18．（1）x2﹣8x+4；（2）13．
【分析】（1）根据题意确定出所挡的二次三项式即可；
（2）把的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）所挡的二次三项式为：
（2）当时，原式=1+8+4=13．
【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，根据加减法的关系逆推出所挡的二次三项式是解题的关键．
19．任务一：①乘法分配律；②二；去括号时，括号前面是“”号，去掉括号和“”号，括号内的第二项没有变号；任务二：正确结果为，．
【分析】任务一：①观察第一步变形过程，确定出依据即可；
②找出出错的步骤，分析其原因即可；
任务二：原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步的依据是乘法分配律．
故答案为：乘法分配律；
②以上化简步骤中，第二步开始出现错误，
这一步错误的原因是去括号时，括号前面是“”号，去掉括号和“”号，括号内的第二项没有变号．
故答案为：二；去括号时，括号前面是“”号，去掉括号和“”号，括号内的第二项没有变号；
任务二：
，
故正确结果为，
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的加减－化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（1）星期天是出库，数量是16吨；（2）该仓库的蔬菜老板这一周要付3680元装卸费．
【分析】（1）本周每天的进出数之和等于+2，故可推断出星期天的进出数．
（2）先求出总的装卸货物的重量，再根据总价等于单价乘以总重量，故可解决此题．
【详解】解：（1）星期天的进出数为：+2-（+21）-（-15）-（+32）-（-25）-（+40）-（-35）
=2-21+15-32+25-40+35
=-16（吨）．
∴星期天是出库，数量是16吨；
（2）这一周的装卸费为：（21+15+32+25+40+35+16）×20=184×20=3680（元）．
答：这一周要付3680元装卸费．
【点睛】本题考查了有理数的符号表示的实际意义以及有理数的加减运算，熟练掌握有理数的符号表示的实际意义以及有理数的运算是解决本题的关键．
21．（1）200x+1200;180x+1440;
（2）按方案一购买较合算；
（3）先按方案一购买2套西装获赠送2条领带，再按方案二购买3条领带．
所需费用为1600+200×3×90%=2140（元），是最省钱的购买方案.
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x=5带入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买2套西装获赠送2条领带，再按方案二购买3条领带是更为省钱的购买方案．
【详解】解：（1）客户要到该商场购买西装2套，领带x条（x＞2）．
方案一费用：200(x-2)+1600=200x+1200;
方案二费用：(200x+1600)×90%=180x+1440;
（2）当x=5时，方案一：200×5+1200=2200（元）
方案二：180×5+1440=2340（元）
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买2套西装获赠送2条领带，再按方案二购买3条领带．
所需费用为1600+200×3×90%=2140（元），是最省钱的购买方案.
【点睛】本题考查了方案的选择问题，解题的关键是计算出每种方案所需的费用，然后比较即可．
22．（1）；（2）②③；（3），；（4）；（5）
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）利用题中的新定义分别判断即可；
（3）利用题中的新定义计算即可表示成幂的形式；
（4）根据题干和（1）（2）（3）的规律总结即可；
（5）将算式中的除方部分根据（4）中结论转化为幂的形式，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）当a≠0时，a2=a÷a=1，因此①正确；
对于任何正整数n，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，因此②错误；
因为34=3÷3÷3÷3=，而43=4÷4÷4=，因此③错误；
负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，因此④正确；
故答案为：②③；
（3），
==；
（4）由题意可得：
将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于；
（5）
=
=
=
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，理解题中除方的运算法则是解本题的关键．
23．（1）4；（2）AB＝3t+3，AC＝5t+9，BC＝2t+6；（3）3BC﹣2AB的值不随着时间的变化而改变，值为12．
【分析】（1）先由题意得出b的值，再根据将数轴折叠，使得A点与C点重合，得出点A与点C距离对折点的距离，从而可得答案；
（2）根据题意，分别用起点之间的距离加上运动后的路程，即可得答案；
（3）将（2）中BC和AB的表达式代入，直接计算3BC﹣2AB，可得结果为常数，据此可解．
【详解】解：（1）∵b是最小的正整数
∴b＝1
已知a＝﹣2，c＝7
（7+2）÷2＝4.5
7﹣4.5＝2.5，2.5+（2.5﹣1）＝4
∴点B与数4表示的点重合．
故答案为4．
（2）由题意得：
AB＝t+2t+3＝3t+3，AC＝t+4t+9＝5t+9，BC＝4t-2t+6=2t+6；
故答案为3t+3，5t+9，2t+6．
（3）不变．
∵BC＝2t+6，AB＝3t+3
∴3BC﹣2AB＝3（2t+6）﹣2（3t+3）
＝6t+18﹣6t﹣6
＝12．
∴3BC﹣2AB的值不随着时间的变化而改变．
【点睛】本题考查了数轴的相关知识以及整式的加减运算，正确理解数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键.
