浙教版2023-2024学年八上数学第5章一次函数 培优测试卷1
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若函数是正比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数是正比例函数，
∴，解得：k=2，
故答案为：B.
2．已知直线与x轴的交点在，之间（包括A，B两点），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将y=0代入，可得0=2x+（3-a），
解得：，
∵直线与x轴的交点在，之间（包括A，B两点），
∴，
解得：，
故答案为：D.
3．设函数（为常数且）的图象过点.（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】∵ 函数y=k（x-1）+1，（k为常数且k≠0）的图象过点，
∴k（-1）+1=m，∴k=-2m+2，
A选项，若 ，则 ，即 ，故A选项正确，符合题意；
B选项，若 ，则 ，即 ，故本选项错误，不符合题意；
C选项，若 ，即 ，则 ，故本选项错误，不符合题意；
D选项，若 ， ，则 ，故本选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
4．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵直线经过点P(1，b)，
∴b＝3＋1，
解得b＝4，
∴P(1，4)，
∴关于x，y的方程组的解为．
故答案为：A．
5．一次函数的图象与轴交于点，将一次函数图象绕着点转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与轴交点横坐标为（ ）
A．-3 B．3 C．3或-3 D．6或-6
【答案】C
【解析】在中，
令x=0，则y=4，令y=0，则x=2，
∴一次函数的图象与x，y轴的交点分别是（2，0），（0，4），
∴一次函数的图象与坐标轴形成的面积为=4，
将一次函数图象绕着点转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，
则转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积为4+2=6，
设绕着点P转动后直线与x轴的交点横坐标为x，
则，
解得：x=±3，
故答案为：C．
6．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）
A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x+2 C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+2
【答案】D
【解析】当BC与x轴平行时，过B作BE⊥x轴，过D作DF⊥x轴，交BC于点G，如图1所示．
∵等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），∴AO=4，∴BC=BE=AE=EO=GF=OA=2，OF=DG=BG=CG=BC=1，DF=DG+GF=3，∴D坐标为（﹣1，3）；
当C与原点O重合时，D在y轴上，此时OD=BE=2，即D（0，2），设所求直线解析式为y=kx+b（k≠0），
将两点坐标代入得：，解得：．
则这条直线解析式为y=﹣x+2．
故答案为：D．
7．已知直线y＝﹣ 与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（ ）个.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】如图所示，
当BA＝BP1时，△ABP1是等腰三角形，
当BA＝BP2时，△ABP2是等腰三角形，
当AB＝AP3时，△ABP3是等腰三角形，
当AB＝AP4时，△ABP4是等腰三角形，
当BA＝BP5时，△ABP5是等腰三角形，
当P6A＝P6B时，△ABP6是等腰三角形。
故答案为：C。
8．已知点A（x，y）在直线上，且.则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵点A（x，y）在直线 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：A.
9．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达.设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得：小明从家出发到妈妈发现小明的作业本落在家里这段时间，y随x的增大而增大，小明的妈妈开始给你小明送作业到追上小明这段时间，y随x的增大而减小，小明妈妈追上小明到各自继续行走这段时间，y随x的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，y随x的增大而增大.
故答案为：B.
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，以线段OA为边在第四象限内作等边 ，点C为x轴正半轴上一动点 ，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边 ，直线DA交y轴于点E，点E的坐标是（ ）
A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】 ， 是等边三角形，
， ，
，且 ， ，
≌
在 中， ，
点E坐标
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，函数y＝2x和y＝ax+2的图象相交于点A（m，4），则不等式2x＜ax+2的解集为 .
【答案】x＜2
【解析】∵函数y＝2x过点A（m，4），
∴2m＝4，
解得：m＝2，
∴A（2，4），
∴不等式2x＜ax+2的解集为x＜2.
故答案为：x＜2.
12．已知点 是直线 上的一个动点，若点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标是 .
【答案】 或
【解析】设 (x,y).
∵点 为直线y= 2x+4上的一点，
∴y= 2x+4.
又∵点 到两坐标轴距离相等，
∴x=y或x= y.
当x=y时,解得x=y= ，
当x= y时，解得y= 4，x=4.
故 点坐标为 或
故答案为： 或
13．已知 ，且 .
（1）x的取值范围是 ；
（2）若设 ，则m的最大值是 .
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由 可知 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ；
（2）∵ ，且 ，
∴ ，
即
又 ，
∴当 ， 有最大值为 ，
∴ 最大值为 。
14．为节约用水,某市居民生活用水按级收费,具体收费标准如下表:
用水量(吨) 不超过17吨的部分 超过17吨不超过31吨的部分 超过31吨的部分
单位(元/吨) 3 5 7
设某户居民家的月用水量为 吨，应付水费为 元,则 关于 的函数表达式为 .
【答案】y=7x-96
【解析】当 时，y=17×3+（31-17）×5+（x-31） =7x-96，
故答案为：y=7x-96.
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，m+2），点B坐标为（1，m﹣2），若点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，则n1﹣n2＝ ．
【答案】-3
【解析】设直线AB解析式为：y＝kx+b
解得：k＝﹣1，b＝m﹣1
∴直线AB解析式为：y＝﹣x+m﹣1
∵点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，
∴n1＝﹣t﹣1+m﹣1，n2＝﹣t+2+m﹣1，
∴n1﹣n2＝﹣3
故答案为：﹣3
16．直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，在直线 上存在一点 ，能使得 ，则满足条件的点 的坐标为 ．
【答案】 ，
【解析】∵直线y=x+3分别交x轴、y轴于A.B两点，直线 分别交x轴、y轴于C. D两点，
∴A( 3,0),B(0,3),C(4,0),D(0, 2)，
∴OA=OB=3，OC=4，OD=2，①当P在x轴的下方时,如图1,设P(a,a+3)，作PE⊥x轴于E，
∵S△PAD=S梯形ODPE S△PAE S△AOD
S△PCD=S梯形ODPE+S△ODC S△PCE
=
∴ 解得a= 5，
∴P( 5, 2)；
②当P在x轴的上方时,如图2,设P(a,a+3)，作PE⊥y轴于E，
S△PAD=S△PED+S△ABD S△PEB
，
S△PCD=S梯形OCPE+S△ODC S△PDE
=
∴ 解得a= ，
∴
综上,在直线AB上存在一点P,使得 ，
此时P的坐标为 ，
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知直线与直线交于点．
（1）求的坐标；
（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积．
【答案】（1）解：根据题意，解得，
点坐标为
（2）解：当时，，，
点A的坐标为，
当时，，，
点B的坐标为，
的面积是
18．如图，直线经过点，直线与x轴交于点B，且两直线交于点C．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵直线 经过点 ，
∴ ，即 ；
（2）解：∵直线 与x轴交于点B，根据在x轴上的点纵坐标 ，在y轴上的点横坐标 ．
∴ ，解得 ．点B坐标为 ．
由于两直线交于点C，所以有
，
解得 ．
∴点C坐标为 ．
（3）解： 面积为： ．
答： 的面积为 ．
19．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线.
（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？
【答案】（1）解：当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b，则 ，
解得 ，
所以y=3x﹣30；
（2）解：若小李4月份上网20小时，由图象可知，他应付60元的上网费；
（3）解：把y=75代入，y=3x-30，解得x=35，
∴若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是35小时.
20．如图，已知直线与轴交于点，将直线沿轴向上平移7个单位得到直线分别交轴、轴于点，且点的坐标为，点为线段BC上一点，连接OP.
（1）求点和点的坐标；
（2）是否存在点，使得OP将的面积分为1：2的两部分 若存在，求出A，P两点所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将直线 沿 轴向上平移7个单位得到直线 .
因为 ，令 ，得 ，
所以 ，所以直线 的函数表达式为 ，
所以直线 的函数表达式为 ，
所以
（2）解：因为 ，
所以 ，所以 .
设点 的横坐标为 ，则 .
①当 时， ，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
设此时 所在直线的函数表达式为 .
将点 代入，得
解得
所以此时 所在直线的函数表达式为 ；
②当 时， ，
所以 ，解得 ，
此时点 的坐标为 .
设此时 所在直线的函数表达式为 .
将点 代入，得
解得
所以此时 所在直线的函数表达式为 .
综上可知，存在点 ，使得 将 的面积分为 的两部分，
所在直线的函数表达式为 或 .
21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：
路程（千米）
甲仓库 乙仓库
A果园 15 25
B果园 20 20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表.（温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内）
运量（吨） 运费（元）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110﹣x 2×15x 2×25（110﹣x）
B果园
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
【答案】（1）解：填表如下：
运量（吨） 运费（元）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110﹣x 2×15x 2×25（110﹣x）
B果园 80﹣x x﹣10 2×20×（80﹣x） 2×20×（x﹣10）
（2）解：y=2×15x+2×25×（110﹣x）+2×20×（80﹣x）+2×20×（x﹣10），
即y关于x的函数表达式为y=﹣20x+8300，
∵﹣20＜0，且10≤x≤80，
∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=﹣20×80+8300=6700.
故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元.
22．点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若 ∠BAO=∠AOC ，求直线OC的函数表达式；
（3）点D是直线 上的一点，把线段BD绕点D旋转 ，点B的对应点为点 若点E恰好落在直线AB上，则称这样的点D为“好点”，求出所有“好点”D的坐标.
【答案】（1）解：当 时， ，
所以点B的坐标为 ，
当 时， ，
所以点A的坐标为 ；
（2）解：当OC在二、四象限时， ， ，
当OC在一、三象限时，OC经过点 ， ；
（3）解：设点D的坐标为 ，则E的坐标为 ，或 ，
所以可得： 或 ，
解得： 或 ，
所以E的坐标为 或
23．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是 ；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.
【答案】（1）乙；甲；14
（2）解：设线段的解析式分别为，
经过点和，经过点和，
， ，
解得， ，
线段的解析式分别为和，
令，解得，
当注水时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）解：由图像知：当水槽中水面没有没过铁块时，水面上升了，即上升；
当水面没过铁块时，上升了，即上升，
设铁块的底面积为，则乙槽中不放铁块时水增加的体积为，
放了铁块时水增加的体积为，
，解得，
∴铁块的体积.
【解析】（1）解：折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是，
故答案为：乙；甲；14；
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣ x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝﹣ x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把点 代入直线 中得： ，
点 ，
直线 过点C，
， ；
（2）解： 由题意得： ，
中，当 时， ，
，
，
中，当 时， ，
，
，
，
的面积为10，
，
，
则t的值7秒；
存在，分三种情况：
当 时，如图1，过C作 于E，
，
，
即 ；
当 时，如图2，
，
，
；
当 时，如图3，
，
，
，
，
，
，即 ；
综上，当 秒或 秒或 秒或8秒时， 为等腰三角形．
()
浙教版2023-2024学年八上数学第5章一次函数 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．若函数是正比例函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与x轴的交点在，之间（包括A，B两点），则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设函数（为常数且）的图象过点.（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
（第4题） （第6题） （第7题）
5．一次函数的图象与轴交于点，将一次函数图象绕着点转动，转动后得到的一次函数图象与两坐标轴所围成的面积比原来增加2，则转动后得到的一次函数图象与轴交点横坐标为（ ）
A．-3 B．3 C．3或-3 D．6或-6
6．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）
A．y=﹣2x+1 B．y=﹣x+2 C．y=﹣3x﹣2 D．y=﹣x+2
7．已知直线y＝﹣ 与x轴、y轴分别交于点A、B，在坐标轴上找点P，使△ABP为等腰三角形，则点P的个数为（ ）个.
A．2 B．4 C．6 D．8
8．已知点A（x，y）在直线上，且.则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继续步行前往学校，两人同时到达.设小明在途的时间为x，两人之间的距离为y，则下列选项中的图象能大致反映y与x之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，以线段OA为边在第四象限内作等边 ，点C为x轴正半轴上一动点 ，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边 ，直线DA交y轴于点E，点E的坐标是（ ）
A．点E的坐标随着点C位置的变化而变化
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，函数y＝2x和y＝ax+2的图象相交于点A（m，4），则不等式2x＜ax+2的解集为 .
（第11题） （第16题）
12．已知点 是直线 上的一个动点，若点 到两坐标轴的距离相等，则点 的坐标是 .
13．已知 ，且 .
（1）x的取值范围是 ；
（2）若设 ，则m的最大值是 .
14．为节约用水,某市居民生活用水按级收费,具体收费标准如下表:
用水量(吨) 不超过17吨的部分 超过17吨不超过31吨的部分 超过31吨的部分
单位(元/吨) 3 5 7
设某户居民家的月用水量为 吨，应付水费为 元,则 关于 的函数表达式为 .
15．在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣3，m+2），点B坐标为（1，m﹣2），若点C（t+1，n1）和点D（t﹣2，n2）均在直线AB上，则n1﹣n2＝ ．
16．直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，直线 ： 分别交 轴、 轴于 、 两点，在直线 上存在一点 ，能使得 ，则满足条件的点 的坐标为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知直线与直线交于点．
（1）求的坐标；
（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积．
18．如图，直线经过点，直线与x轴交于点B，且两直线交于点C．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）求的面积．
19．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线.
（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；
（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？
20．如图，已知直线与轴交于点，将直线沿轴向上平移7个单位得到直线分别交轴、轴于点，且点的坐标为，点为线段BC上一点，连接OP.
（1）求点和点的坐标；
（2）是否存在点，使得OP将的面积分为1：2的两部分 若存在，求出A，P两点所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由.
21．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥.两个仓库到A，B两个果园的路程如表所示：
路程（千米）
甲仓库 乙仓库
A果园 15 25
B果园 20 20
设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元，
（1）根据题意，填写下表.（温馨提示：请填写在答题卷相对应的表格内）
运量（吨） 运费（元）
甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库
A果园 x 110﹣x 2×15x 2×25（110﹣x）
B果园
（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？
22．点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.
（1）求点A，点B的坐标；
（2）若 ∠BAO=∠AOC ，求直线OC的函数表达式；
（3）点D是直线 上的一点，把线段BD绕点D旋转 ，点B的对应点为点 若点E恰好落在直线AB上，则称这样的点D为“好点”，求出所有“好点”D的坐标.
23．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图2.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是 ；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；
（3）若乙槽底面积为（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线y＝﹣ x+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线y＝﹣ x+b与x轴交于点D，动点P从点D开始以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动．设点P的运动时间为t秒．
①若点P在线段DA上，且△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
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