7.3.2 正弦型函数的性质与图象
一、必备知识基础练
1.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
2.[2023上海杨浦校级期中]将函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为( )
A.y=sin2x+ B.y=sin2x+
C.y=sin D.y=sin
3. [2023云南西山校级模拟]如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象,则f=( )
A.- B.-1 C.- D.
4.[2023福建南平模拟]已知函数f(x)=2sinωx+(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离为,则( )
A.f(x)的周期为
B.f(x)在-上单调递增
C.f(x)的图象关于点,0对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
5.若函数y=5sin的周期不大于1,则自然数k的最小值为 .
6.[2023北京西城校级期中]用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象时,列表如下,则f(-1)= ,f(0)+f-= .
x - 2
ωx+φ 0 π 2π
f(x) 0 2 0 -2 0
7.[2023贵州安顺期末]函数f(x)=5sin2x+.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)在-上的值域.
8.[2023云南嵩明期末]要得到函数y=2sin2x-的图象,可以从正弦函数y=sin x图象出发,通过图象变换得到,也可以用“五点法”列表、描点、连线得到.
(1)由y=sin x图象变换得到函数y=2sin2x-的图象,写出变换的步骤;
(2)用“五点法”作图,画出函数y=2sin2x-在区间上的简图.
9.[2023福建城厢校级期末]设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一个对称中心是,0.
(1)求φ的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
二、关键能力提升练
10.[2023甘肃一模]将函数y=sin2x+图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位长度,得到函数f(x)的图象,以下方程是函数f(x)图象的对称轴方程的是( )
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
11.[2023陕西模拟]已知直线x=-是函数f(x)=2sin(2x+φ)|φ|<图象的一条对称轴,则f(x)在0,上的值域为( )
A.[-1,1] B.[1,2] C.(-1,2] D.[-1,2]
12.已知函数f(x)=sin2x+,将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
13. (多选题)[2023安徽安庆期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.函数f(x)的图象关于直线x=-对称
C.函数f(x)图象向右平移个单位可得函数y=2sin x的图象
D.若方程f(x)=m(m∈R)在-上有两个不等实数根x1,x2,则cos(x1+x2)=
14.设f(x)=sin(2x+φ),φ∈[0,π),将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象,若对任意x∈R,都有g(-x)=g(x),则φ= .
15.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,ω>0)的周期为π,且该函数图象上的最低点的纵坐标为-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程.
16.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤的部分图象大致如图.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-m=0在0,上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围.
参考答案
一、必备知识基础练
1.B
2.B 由题意,将函数y=sin x的图象上每点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),可得y=sin 2x,再把所得图象向左平移个单位长度,可得y=sin[2(x+)]=sin(2x+).故选B.
3.B 由图可知A=2,最小正周期T==π,∴ω=2,
又由f()=2sin(2×+φ)=2,-π<φ<0,得φ=-,∴f(x)=2sin(2x-)=-2cos 2x,即f()=-2cos=-1.故选B.
4.D 因为f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离为,所以,即T=π,A错误;
所以ω=2,f(x)=2sin(2x+),
令-≤2x+,可得-≤x≤,B错误;
因为f()=-2,此时函数取得最值,故(,0)不是函数图象的对称中心,C错误;
因为f()=2,所以f(x)的图象关于直线x=对称.故D正确.故选D.
5.19 ∵T=,且|T|≤1,即≤1.
又k为自然数,∴k≥6π,因此kmin=19.
6.-2 0 根据列表可得,A=2,且解得ω=,φ=,∴f(x)=2sin(x+),
∴f(-1)=2sin(-)=-2sin=-2,
f(0)=2sin=1,
f(-)=2sin[×(-)+]=-2sin=-1,
∴f(0)+f(-)=1-1=0.
7.解(1)由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z可得,-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)由-≤x≤可得,0≤2x+≤π,
所以0≤sin(2x+)≤1,0≤5sin(2x+)≤5,
所以函数f(x)在[-]上的值域为[0,5].
8.解(1)步骤1,把y=sin x图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象;
步骤2,把y=sin(x-)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x-)的图象;
步骤3,最后把函数y=sin(2x-)的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=2sin(2x-)的图象.
(2)列表:
2x- 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
用“五点法”描点、连线、作图得:
9.解(1)∵y=f(x)图象的一个对称中心是(,0).
∴sin(2×+φ)=0,∴2×+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z,又-π<φ<0,∴φ=-.
(2)由(1)得函数f(x)=sin(2x-),由2x-∈[-+2kπ,+2kπ],k∈Z得,x∈[-+kπ,+kπ],k∈Z,即f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
二、关键能力提升练
10.C 函数y=sin(2x+),将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,可得函数y=sin(3x+).
再将图象向右平移个单位长度,得到函数y=f(x)=sin[3(x-)+]=sin(3x-)的图象.
令3x-=kπ+,k∈Z,解得x=kπ+,k∈Z,故选C.
11.D 由题可知,-+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin(2x-),由0≤x≤,得-≤2x-,则2sin(2x-)∈[-1,2],即f(x)在[0,]上的值域为[-1,2].故选D.
12.B 由题意得g(x)=sin[2(x-φ)+]=sin(2x-2φ+)(φ>0),因为g(x)为偶函数,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时,φmin=,故选B.
13.AB 由图可知A=2,,所以T=π,故A正确;因为T==π,所以ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ),将点(,2)代入得2sin(+φ)=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+),
对于B,因为f(-)=2sin(-)=-2,为最小值,所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确;
对于C,将函数f(x)图象向右平移个单位长度,可得函数y=2sin[2(x-)+]=2sin 2x,故C错误;
对于D,由条件结合图象可知,于是x1+x2=,所以cos(x1+x2)=cos,故D错误.故选AB.
14. 由题意知,g(x)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),因为对任意x∈R,都有g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又因为φ∈[0,π),所以φ=.
15.解(1)∵f(x)的周期为π,
又ω>0,T==π,∴ω==2.
又函数f(x)图象上的最低点纵坐标为-3,且A>0,
∴A=3.∴f(x)=3sin(2x+).
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,由2x++kπ,得函数图象的对称轴方程为x=,k∈Z.
16.解(1)根据题中图象,可得A=1,由,得ω=2,所以f(x)=cos(2x+φ),由2×+φ=2kπ,k∈Z,|φ|≤,得φ=-,所以f(x)=cos(2x-
令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)由题得到g(x)=2sin(2x-)的图象.
由g(x)-m=0在[0,]上有两个不同的实数解,
即m=2sin(2x-)在[0,]上有两个不同的实数解,
因为x∈[0,],设t=2x-∈[-],
则需直线y=m与y=2sin t的图象在t∈[-]上有两个不同的公共点.
画出y=2sin t在t∈[-]时的图象(图略).
所以实数m的取值范围为[1,2).
