泸县四中2023-2024学年高一上期期中考试
数学试题
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合集合的运算，求解即可.
【详解】由题可得：，，故．
故选：.
2. “，使”的否定是（ ）
A. ，使 B. ，使
C. ，使 D. ，使
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题.
【详解】“，使”的否定为，使
故选：D
3. 已知和均为非零实数，且，则下面表达正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
选项B、C、D可以利用赋值法进行判定，选项A可利用作差与0比较，从而得到结论．
【详解】∵和均为非零实数，且，
∴不妨取，，，故选项B不正确；
取，，则，故选项C不正确；
取，，则，故选项D不正确；
∵，
∴，故选项A正确，
故选：A．
4. 设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别讨论命题的充分性和必要性即可得出结论.
【详解】由题意，
充分性：若，则为等腰三角形.
必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等.
故选：A.
5. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】由集合描述列举出元素，即可确定元素个数.
【详解】由，则可为，
所以，共6个元素.
故选：C
6. 某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解.
【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，
则，又，
若，则，不满足；
若，则，不满足；
若，则，不满足；
若，则，满足；
则，，，则.
故选：C.
7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由于函数是上的减函数，
则函数在上为减函数，所以，，解得.
且有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.
8. 已知定义在上函数满足：对任意的，有，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件可知在上单调递减，在上单调递增，由不等式在恒成立，结合的单调性、对称性即可求的取值范围.
【详解】对任意的，有，知：在上单调递增，
是偶函数，知：关于对称，
∴在上单调递减，在上单调递增；
∵不等式对任意的恒成立，且，
∴即可，而根据对称性有，
∴综上知：或，解得，
故选：C
【点睛】结论点睛：注意抽象函数单调性、对称性判断
1、对任意的：有单调递增；有单调递减；
2、当是偶函数，则关于对称；
思路点睛：对称型函数不等式在一个闭区间上恒成立：在对称轴两边取大于或小于该闭区间最值即可，结合函数区间单调性求解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；
对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；
对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；
故选:ACD
10. 设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义即可逐项判断.
【详解】是奇函数，是偶函数，，，
，故是奇函数，A正确；
，故为偶函数，B正确；
，故是奇函数，C错误；
，故为偶函数，D错误.
故选：AB．
11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是2 B. 的最大值是1
C. 的最小值是4 D. 的最大值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
则
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是2，故A正确；
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最大值是1，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是，故C错误；
因为，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值是，故D正确，
故选:ABD.
12. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）.
A.
B. 为偶函数
C. 区间上有最大值
D. 的解集为
【答案】AD
【解析】
【分析】赋值，令，可判断A；令，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D.
【详解】令，则，故，A正确；
令，则，即，故函数为奇函数，B错误；
设，则，由题意可得，
即，即，
故函数为R上的减函数，所以在区间上有最大值为，C错误；
等价于，
又为R上的减函数，故，所以，解得，
即的解集为，D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的综合应用.关键点在于赋值法的运用，通过对题意的理解，巧妙的赋予特殊值，结合奇函数定义判断奇偶性，利用单调性的定义判断单调性，然后利用函数性质求解抽象函数的值域（最值）、解抽象函数不等式.
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数在上的值域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．
【详解】解：当时，函数 在上是增函数，
故当时，函数取得最小值为1，
又，故函数的值域为，
故答案为：．
14. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根据充分不必要性，列出不等式，则问题得解.
【详解】由，解得；
由，即，解得或；
又“”是“”的充分不必要条件，
故可得，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查由命题之间的充分性和必要性求参数范围，属基础题.
15. 不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于__________．
【答案】
【解析】
【详解】分析：利用一元二次不等式的解法可得，，求出，根据韦达定理求得的值，从而可得结果.
详解：不等式变形得：，
计算得出：，即，
不等式变形得：，
计算得出：，即，
∴，即不等式的解集为，
∴由韦达定理可得，，
则，故答案为．
点睛：集合的基本运算的关注点：
（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；
（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；
（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．
16. 定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________．
【答案】
【解析】
【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解．
【详解】当时，故，
当时，故…，
可得在区间上，，
所以当时，，作函数的图象，如图所示，
当时，由得，
由图象可知当时，，所以的最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.
（1）求集合；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.
【答案】（1）{x|﹣2≤x≤1}
（2）
【解析】
【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；
（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．
【小问1详解】
，则，
又，则；
【小问2详解】
∵，∴，且，
∴，解得，
∴实数的取值范围为:
18. （1）若x＞0，求f（x）=的最小值．
（2）已知0＜x＜，求f（x）=x（1-3x）的最大值．
【答案】(1)12;(2)．
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可；（2）化简得f（x）=x（1-3x）= [3x （1-3x）]，再利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）若x＞0，则3x＞0，，
∴f（x）=+3x≥2 =12，
当且仅当=3x，即x=2时，取“=”，
因此，函数f（x）的最小值为12；
（2）若，
∵f（x）=x（1-3x）= [3x （1-3x）]≤ =，
当且仅当3x=1-3x，即x=时，取“=”，
因此，函数f（x）的最大值为．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）画出函数的图象；
（2）求函数的解析式（写出求解过程）．
（3）求，的值域．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象，即可得结论；
（2）根据奇函数的定义求解析式；
（3）由函数图象得函数的单调性，从而可得最大值和最小值，即得值域．
【小问1详解】
先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象：
【小问2详解】
是奇函数，时，，，
所以，
所以；
【小问3详解】
由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数，
，，，，因此最大值为1，最小值为，
所以的值域为．
20. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
【答案】（1）
（2）单调递增，证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.
（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.
【小问1详解】
，
所以.
【小问2详解】
，
在上单调递增，证明如下：
设，
，
其中，所以，
所以，所以在上单调递增.
21. 已知函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式求解即可；
（2）分情况讨论对称轴与区间的位置关系，再根据恒成立问题求解即可.
【小问1详解】
当时，，即，解得
【小问2详解】
当对称轴，即时，在时取最小值，解得，与矛盾，不合题意；
当，即时，在时取最小值，解得，此时；
当，即时，在时取最小值，解得，此时.
综上，的取值范围为
22. 已知二次函数满足，且的最小值是．
求的解析式；
若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；
函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）(2) （3）
【解析】
【详解】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可.
解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.
（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.
（3）由题意知.
假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.
当时，在上为增函数，，所以；
当时，，.即，解得，所以.
当时，
即解得.所以.
当时，，即，所以，综上所述，，
所以当时，使得对任意都有成立.
点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；
（2）不等式对任意恒成立可以等价转化为恒成立.泸县四中2023-2024学年高一上期期中考试
数学试题
本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. “，使”的否定是（ ）
A. ，使 B. ，使
C. ，使 D. ，使
3. 已知和均为非零实数，且，则下面表达正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A 1 B. 5 C. 6 D. 无数个
6. 某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知定义在上的函数满足：对任意的，有，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10. 设函数、定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 奇函数 B. 是偶函数
C. 是偶函数 D. 是奇函数
11. 已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值是2 B. 的最大值是1
C. 的最小值是4 D. 的最大值是
12. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）.
A.
B. 为偶函数
C. 在区间上有最大值
D. 的解集为
第II卷 非选择题
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 函数在上的值域是_____.
14. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___．
15. 不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于__________．
16. 定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.
（1）求集合；
（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.
18. （1）若x＞0，求f（x）=的最小值．
（2）已知0＜x＜，求f（x）=x（1-3x）的最大值．
19. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）画出函数的图象；
（2）求函数的解析式（写出求解过程）．
（3）求，的值域．
20. 已知函数．
（1）求的解析式；
（2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
21. 已知函数．
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
22. 已知二次函数满足，且最小值是．
求的解析式；
若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；
函数，对任意，都有恒成立，求实数t取值范围．
