2023—2024学年度第一学期期中教学质量检测
九年级数学试卷
说明：本试卷共8页；考试时间90分钟；满分120分.
一、选择题（本大题共16个小题，1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．甲、乙、丙、丁四名运动员进行百米测试，每人5次测试成绩的平均数都是13.4秒，方差分别为S甲2＝0.73，S乙2＝0.75，S丙2＝0.69，S丁2＝0.68，则这四名运动员百米成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
2．为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，让学生深刻体会数学的魅力，某校举办了一次数学知识竞赛，并随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理如表：
成绩/分 80 85 90 95
人数/人 4 6 8 2
根据表中的信息可知，这些参赛学生成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．87.5，90 B．90，90 C．87.5，85 D．90，85
3．为了了解2023年某市九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩．下列说法正确的是（ ）
A．2023年该市九年级学生是总体 B．每一名九年级学生是个体
C．1000名九年级学生是总体的一个样本 D．样本容量是1000
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x-2）2＝9 D．（x+2）2＝9
5．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣10＝0的两个根，则x1+x2的值为（ ）
A．10 B．3 C．﹣10 D．﹣3
6．一元二次方程x2﹣x +1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
7．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝2：3，若CE＝6，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
9．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（ ）
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
10．如图，商用手扶梯AB的坡比为1：，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为（ ）
A．6米 B．米 C．12米 D．米
11.一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：
型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
数量/双 3 5 10 15 8 3 2
鞋店经理最关心哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量最有意义的是（ ）
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
12．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为xm，那么可列方程为（ ）
A．x（12﹣2x+1）＝20 B． C． D．x（12﹣2x﹣1）＝20
13．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，CF＝2，则AF的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
14．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
15．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的是（ ）
A．①②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②④ D．①②③
16.如图，已知在矩形ABCD中，M是AD边的中点，BM与AC垂直，交直线AC于点N，连接DN，则下列四个结论中：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan∠CAD＝；④△AMN∽△CAB．正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上)
17.某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，测试成绩如下表所示．如果将学历、经验和工作态度三项得分按2：1：3的比例确定两人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么 将被录用（填甲或乙）．
应聘者项目 甲 乙
学历 9 8
经验 7 6
工作态度 5 7
18.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为 cm．
19.如图，长尾夹的侧面是△ABC，当AC与AB张开到互相平行时，达到最大夹纸厚度，已知AB＝AC＝15mm，∠ACB＝70°，则这个长尾夹最大夹纸厚度为 mm．
（结果精确到1mm）
【参考数据：sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75】
20.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有
（填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
三、解答题(本大题有6个小题，其中21题8分；22题10分，23题12分，24题10分；25题12分,26题14分；共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
21.解方程。
（1） （2）
22.某校组织八、九年级各100名学生举行“喜迎二十大，奋进新征程”征文竞赛，现分别在八、九年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（单位：分）进行统计、整理如下：
收集数据：
八年级：74，76，79，81，84，86，87，90，90，93．
九年级：76，81，81，83，84，84，84，85，90，92．
整理数据：
八、九年级竞赛成绩各分数段整理如下：
70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
八年级 a 4 3
九年级 1 7 2
分析数据：
八、九年级成绩的平均数、中位数、众数和方差整理如下：
平均数 中位数 众数 方差
八年级 84 b 90 36.4
九年级 84 84 c 18.4
问题解决：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）根据上述数据分析，该校八、九年级中哪个年级的竞赛成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）规定竞赛成绩不低于85分记为“优秀”，请分别估计这两个年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数．
23.一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利
元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
24.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．
25.图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．
（1）求点M到地面的距离；
（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）
26.如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
2023—2024学年度第一学期期中综合素质测评
九年级数学参考答案
一、选择题。
1-5 DADCB 6-10 DBCAA 11-16 CACBB C
二、填空题。
17、乙 18、4.5 (也可填写) 19、10 20、②③④
三、解答题
21.（1）（2x+3）2-81=0
解： （2x+3）2=81 .....................................................1分
∴2x+3=9或2x+3=-9 ...........2分
∴x1=3，x2=-6 ...........4分
解：（2）y2-7y+6=0
（y-1）（y-6）=0 .............................................................5分
∴y-1=0或y-6=0 ...........6分
∴y1=1，y2=6 ...........8分
22、解：（1）3，85，84； ...........................................3分（每空1分）
（2）九年级成绩更优异。..................................................4分
理由：例如：从平均数来看，八九年级一样，从方差来看，九年级更稳定些。 6分（只要理由能说明问题即可）
（3）∵八年级10名学生的竞赛成绩不低于85分有5人，优秀率，........................7分
∴估计八年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数：（人）， .......8分（可以合并计算）
∵九年级10名学生的竞赛成绩不低于85分有3人，优秀率，......................9分
∴估计九年级竞赛成绩达到“优秀”的学生人数：（人）， ......................10分
解：（1）2x，..................................................1分
（40﹣x）； 2分（忘记带括号，在此就不扣分了，但分析试卷时要给学生强调）
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200， ...........4分
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．..........................................................6分
答：每件服装降价20元或10元时，平均每天能赢利1200元；..............................7分（只答对一种的扣1分）
商家不能达到平均每天盈利1800元。...............................8分
理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800， ...........9分
整理得：y2﹣30y+500＝0．...............................................................10分
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解， .............................................................................11分
即不可能每天盈利1800元． ...........12分
24、（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，............................................1分
∴∠C+∠DBF＝90°，∠C+∠DAC＝90°，.....................................2分
∴∠DBF＝∠DAC， .......................................................3分
∴△ACD∽△BFD． ...........................5分（有多种思路，请认真观察参照步骤给分）
（2）解:∵tan∠ABD＝1，∠ADB＝90°
，......................................................................6分
∴AD＝BD， .........................................................7分
∵△ACD∽△BFD，
，....................................................................9分
∴BF＝AC＝3． ...............................................................10分
解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，
............................1分
Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，
∴∠M＝30°，
，...................................................................4分
∴NB＝OB+ON＝3.3+0.6＝3.9；
即点M到地面的距离是3.9米； ................................6分（解法不唯一，例如用三角函数解决，也有其他作图方法和解题思路）
（2）货车能安全通过。..................................................7分
取CE＝0.65，EH＝2.55，
∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，
过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P， .....................8分
∵∠GOP＝30°，
，
，..............................................10分
∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5， ...........11分
∴货车能安全通过． ...........12分
26、解：（1）过点P作PE⊥CD于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，..........................................................2分
； ...............................................................3分
∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm； ...........4分（有的学生会分两种情况分析，请参照步骤酌情给分）
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当时，PB＝16﹣3y，
，即，...........................6分
解得y＝4； ...........7分
②当时，BP＝3y﹣16，QC＝2y，
则，.....................................9分
解得（舍去）； ...........10分
③时，，
则，............................................12分
解得y＝18（舍去）． ...........13分
综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2． ...........14分
