6.2黄金分割苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为( )
A. B. C. D.
2.把米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为( )
A. B. C. D.
3.点是线段的黄金分割点，，若，的长为( )
A. B. C. D.
4.若点是线段的黄金分割点，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
5.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度俗称“腿长”之比是黄金比，著名的“断臂维纳斯”便是如此假定一位身高的时尚模特符合最美人体的标准，那她的“腿长”最接近的数据是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知是线段的黄金分割点，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知点在线段上，满足，那么下列式子成立的是
( )
A. B. C. D.
8.一个篮球从一定高度自由下落到水平地面上，弹起后会到达一个低于初始高度的最高点位置，又落回地面，接着继续弹起，整个过程中篮球的轨迹都在同一直线上，且篮球每次弹起达到最高点时，其具有的重力势能都大于该篮球前一次弹起达到最高点时的一半小英将该篮球从距离水平地面米处的点处扔下，使之自由下落，落到水平地面上的点处后弹起，第一次弹起后到达最高点时，篮球位于点处，第二次位于点处，且，分别为，的黄金分割点，以此类推同时，小英发现对于实数，，若，当越大，越接近，则整个运动过程中，篮球的总路程最接近( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，的平分线交于点若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，线段长为，点是线段上一动点不与端点重合，设长为，如图，在同一直角坐标系中甲表示的值随的变化情况，乙表示的值随的变化情况，则点所对应的值为( )
A. B. C. D.
11.如图，在四边形中，，为边的黄金分割点，，，将四边形分为四个部分，它们的面积分别用，，，表示，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，，，的垂直平分线交于点若，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.已知是线段的黄金分割点，，若，则 答案保留根号
14.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
15.已知线段，是的黄金分割点，且，则______．
16.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，这个数我们把它叫做黄金分割数若介于整数和之间，则的值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，点是线段的黄金分割点，且，求证：．
18.本小题分
请阅读下列材料，并完成相应任务．
如图，公元前年前后，欧几里得撰写的几何原本系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著黄金分割是指把一条线段分割成两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值如图，在线段上找一点，把线段分成和两段，其中是较短的一段如果：：，那么称线段被点黄金分割，叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，约为，即，．
完成以下任务：
如图，线段被点黄金分割若长为，求的长；结果保留小数点后一位
如图，一根一侧烧毁的木棒工件粗度不计，在它的两个黄金分割点，处钻有小孔若量得，间的距离约为，求木棒的原长度．
19.本小题分
如图，点将线段分成两部分，若，则称点为线段的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线，满足，则称此抛物线为黄金抛物线．
Ⅰ若某黄金抛物线的对称轴是直线，且与轴交于点，求的最小值；
Ⅱ若黄金抛物线的顶点为，把它向下平移后与轴交于，，判断原点是否是线段的黄金分割点，并说明理由．
20.本小题分
关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
求黄金分割数；
已知实数，满足：，，且，求的值；
已知两个不相等的实数，满足：，，求的值．
21.本小题分
如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可采用下面的方法：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕和线段．
求的度数；
在第题图中，延长交于，过点作于点，得出一个以为宽的黄金矩形黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为，若已知，求的长．
22.本小题分
如图，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积．比较与的大小，并说明理由．
23.本小题分
如图，设线段．
过点画，使；连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．
在所画图中，点是线段的黄金分割点吗？为什么？
24.本小题分
如图，在中，点在边上，且，已知，．
求的度数；
我们把顶角等于的等腰三角形称为黄金三角形．它的底边长与腰长的比等于黄金比．
写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
求的长．
25.本小题分
如图，线段的长为．
线段上的点满足关系式，要求线段的长度，我们可以先设，则，
，
从而可得：的长度为__________________
根据上述方法，已知线段上的点满足关系式，求线段的长度；
已知线段上的点满足关系式，请直接写出线段的长度；
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为的黄金分割点，，
，
故选：．
直接利用黄金分割的定义计算出的长即可．
此题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是是解题的关键．
根据黄金比值是计算即可．
【解答】
解：把米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为，
则较短线段的长为：，
故选A．
3.【答案】
【解析】解：点是线段的黄金分割点，，，
，
，
，
故选：．
先根据黄金分割的定义求出的长，即可求解．
本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据黄金分割点的概念得：．
故选：．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．
5.【答案】
【解析】解：设模特的“腿长”为，
模特满足黄金分割比，且身高为，
，
解得：，
即模特的“腿长”约为，
故选：．
设模特的“腿长”为，由黄金分割的定义得，求解即可．
本题考查的是黄金分割的概念和性质，解题的关键是掌握黄金比值约为．
6.【答案】
【解析】解：线段，点是黄金分割点，，
；
故选A．
根据黄金分割点的定义，知是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段原线段的倍，计算即可．
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，倍，较长的线段原线段的倍．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是黄金分割的有关知识，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可．
【解答】
解：，
，
点在线段上，
，
，
，
，
解得负值不合题意，舍去，
则
则，故A正确；
，故B错误；
则，故D错误；
则，故C错误．
8.【答案】
【解析】解：篮球的总路程为：，
故选：．
先求出每次弹跳的路程，再求和．
本题考查了黄金分割的应用，掌握等比数列的求和公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过作于，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得负值舍去，
故，
故选：．
过作于，根据等腰三角形的性质得到，推出，设，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是正确地作出辅助线．
10.【答案】
【解析】解：图象与图象交于点，
，
，
对图来讲，点刚好是黄金比例点，
，
，
，
，
点所对应的值为．
故选：．
图象与图象交于点，则它们的横纵坐标值相等，可得，，对图来讲，点刚好是黄金比例点，进而可得点的坐标．
本题考查了黄金分割知识点，结合图象理解题意，数形结合是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
11.【答案】
【解析】解：设．
是的黄金分割点，，
，，
，，
，
即，
，
故选：．
设求出，的面积用表示，可得结论．
本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
∽，
：：，
，
，
，
：：，
点是线段的黄金分割点，且，
，
，
故选：．
证∽，得：：，再证，然后证点是线段的黄金分割点，求出的长，即可解决问题．
本题考查了黄金分割、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是线段的黄金分割点，，，
，
故答案为：．
根据黄金分割的定义可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14.【答案】略
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且，
则．
故答案为：．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段，所以，代入数据即可得出的长度．
此题考查黄金分割问题，理解黄金分割点的概念．要求熟记黄金比的值．
16.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据，判断出的值即可．
本题考查黄金分割，估算无理数的大小等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】证明：点是线段的黄金分割点，且，
，
，
，
而，
∽，
．
【解析】利用点是线段的黄金分割点得到，而，所以，然后判断∽得到结论．
此题考查了黄金分割点、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
18.【答案】解：线段被点黄金分割，，
，
，
答：的长约为；
设木棒的原长度为，
点和点是木棒工件的两个黄金分割点，
，
，，
，
解得：，
答：木棒的原长度约为．
【解析】先利用黄金分割的定义求出的长，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
设木棒的原长度为，根据黄金分割的定义可得，然后利用线段的和差关系列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
19.【答案】解：Ⅰ黄金抛物线的对称轴是直线，
，
，又
．
又抛物线与轴交于点，
．
，．
，
，
有最小值为．
答：的最小值为．
Ⅱ原点是线段的黄金分割点．理由如下：
黄金抛物线的顶点为，
把它向下平移后与轴交于，，
．
，，．
．
．
．
答：原点是线段的黄金分割点．
【解析】本题考查了黄金分割、二次函数的性质、二次函数的最值，解决本题的关键是综合运用以上知识．
Ⅰ根据对称轴确定和的关系，再根据已知条件即可求解；
Ⅱ根据抛物线的顶点坐标确定的值，再根据黄金分割的定义即可判断．
20.【答案】解：由题意，将代入得，，
．
黄金分割数大于，
黄金分割数为．
，
．
．
又，
，是一元二次方程的两个根．
．
．
由题意，令，，
得，，
．
又得，，
，为两个不相等的实数，
，
．
．
又．
．
．
．
．
【解析】依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解；
依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解；
依据题意，将已知两式相加减后得到两个关系式，从而求得，进而可以得解．
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：如图，连接，
由折叠可得：，，垂直平分，
，
，
为等边三角形，
，
．
四边形为矩形，
，
；
如图：
是矩形纸片，，
，
黄金矩形以为宽，，
，
，
，
，
由勾股定理得，
．
【解析】连接，先证明为等边三角形，从而；
先根据黄金矩形求出，再根据得到，然后根据度角的性质和勾股定理求出，然后作答即可．
本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，度角的性质和勾股定理，能够根据折叠的性质证出是解题的关键．
22.【答案】解：．
理由如下：
设，
是线段的黄金分割点，且，
，
，
，，
．
【解析】设，根据黄金分割的定义得到，则，则根据矩形和正方形的面积公式得到，，然后进行大小比较即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
23.【答案】解：如图，点为所作；
点是线段的黄金分割点．
理由如下：设，则，
，
，
，
，
即，
点是线段的黄金分割点．
【解析】根据几何语言画出对应的几何图形；
设，则，利用勾股定理得到，所以，则，然后利用黄金分割的定义可判断点是线段的黄金分割点．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．
24.【答案】解：设，
，
，
，
，
，
，
，解得，
即的度数为；
、都是黄金三角形．
，
而，
，
而，
为黄金三角形；
，
而，
为黄金三角形；
为黄金三角形，
，
而，
，
，
，
．
【解析】本题考查了考查了等腰三角形的性质，黄金分割，三角形外角性质等知识．
设，利用等腰三角形的性质得到，则，再表示出，利用三角形外角性质得到，解方程求出即可；
利用黄金三角形的定义可判断、都是黄金三角形．
根据黄金三角形的定义得到，则，所以，然后计算即可．
25.【答案】解：；
设线段的长度为，，
因为线段上的点满足关系式，
所以，
所以舍去，
所以线段的长度为：
根据的解答过程，可得：
的长度为：．
【解析】【分析】
本题考查了黄金分割的应用，一元二次方程的应用．
解一元二次方程即可；
设线段的长度为，，根据线段上的点满足关系式，列方程求得答案；
根据的解答过程，可得答案．
【解答】
解：先设，则，
，
，
，
解得：负值舍去，
的长度为；
故答案为；
见答案；
见答案．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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