7.5解直角三角形苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2.若正方形的外接圆半径为，则其内切圆半径为
( )
A. B. C. D.
3.如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，，，若，则的长为( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直径，弦，，，则( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，，，为边上的一个动点不与、重合，连接，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.如图的方格纸中，最小的正方形边长为，的顶点在小正方形的顶点上，若的面积为，且，则点的位置可以在( )
A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处
8.如图，在边长为的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在菱形中，，交的延长线于点连接交于点，交于点于点，连接有下列结论：；；：：；，则上述结论中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，在菱形中，，分别交，于点，，，连接给出以下结论：≌；点到的距离是；：的面积为其中错误的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.如图，在和中，，，，，连结，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，的直径为，点为的中点，切于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，半径为的扇形中，，为半径上一点，过作于点，以为边向右作等边，当点落在上时， ．
14.如图，平分，是边上一点，以点为圆心、大于点到的距离为半径作弧，交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点作直线分别交、于点、若，，则的面积为______．
15.如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为________ ．
16.如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点、在第一象限，对角线轴，交轴于点若矩形的面积是，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在中，，，的平分线交于点，，求的长．
18.本小题分
如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
求证：；
求证：；
若，求的值．
19.本小题分
如图， 中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作，分别交边、于点、点在边上，交于点，为的中点．
求证：四边形为菱形；
已知，连接，当与相切时，求的长．
20.本小题分
如图，、为上两点，且在直径两侧，连接交于点，是上一点，G.
求证：
点关于的对称点为，连接，当点落在直径上时，，，求的半径．
21.本小题分
如图，是的直径，点在上，于点，交于点，过点作，分别交，的延长线于点，．
求证：是的切线．
若，，求的半径．
22.本小题分
如图，是的直径，点，在上，，与相交于点，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
23.本小题分
如图，为的直径，为上一点，连接，，过点作的切线交延长线于点，于点，交于点．
求证：；
若，，求的长．
24.本小题分
“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图图是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图王红测得厘米，厘米，厘米根据王红提供的信息解答下列问题：
求点到的距离；
求点运动的距离．
25.本小题分
如图是由边长为的正方形构成的网格，每一个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接；
在上取一点，使；
在上取点，若，请直接写出______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是等边三角形，设是外心，
，，平分，
，
，
的外接圆的半径为；
、是等腰三角形，
过作于，延长交于，连接，
，
，，
是的直径，，
，
，
∽，
，
，
，
外接圆半径为；
、作于点，作直径，连接，
在中，，
在中，，
，即，
解得，
由勾股定理得，，
为圆的直径，
，
，又，
∽，
，即，
解得，
则外接圆半径，
、，
此三角形是直角三角形，
此三角形外接圆的半径为，
其外接圆半径最小的是选项，
故选：
分别求出各三角形的外接圆半径，比较即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质、勾股定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：延长、交于，
，
，
，
，，
在中，，
在中，，
，
故选：．
延长、交于，先利用直角三角形的性质求得的长，然后再求得的长，从而求得答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：在中，
，
．
．
故选：．
根据锐角三角函数的边角间关系，先求出，再利用勾股定理求出．
本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：连接，设与交于点，
是的直径，，
，，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
≌，
故选：．
连接证明，推出即可解决问题．
本题考查扇形的面积，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
6.【答案】
【解析】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形．，，当、、三点在同一直线上时，取得最小值，为的长在中，，，，，故选B．
7.【答案】
【解析】解：，的面积为，
．
点只能在点，处，
，即，
，
，
，
点在点处．
故选：．
先利用的面积求出边上的高，得到点只能在点，处，进而由求出的长度，再利用网格分别求出，的长的长度，比较即可找出点所在的位置．
本题考查了解直角三角形、三角形的面积以及勾股定理，利用网格构造直角三角形，通过解直角三角形确定点的位置是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由网格可知，，，
，
故选：．
根据正弦函数的定义即可求解．
本题考查了锐角三角函数，利用网格的特点先求出斜边长，再求正弦值．
9.【答案】
【解析】解：在菱形中，，，
又，
≌，
，，故正确；
，
，
，
又，
，
，即，故正确；
在菱形中，，
，
又，
在中，，
，
在菱形中，，
又，
∽，
，
由已证，
设，，
，，
：：，故正确；
由已知，
设，，
，
在中，，
在中，，，
在中，，，
，
在中，，
又由已证，，：：，
设，，则，
，解得负值舍去，
，
，故正确，
故选：．
利用菱形的性质和全等三角形的判定证明，证明∽，从而证明，由含直角三角形的性质和相似三角形的性质分析求解，从而证明和．
本题考查菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形为菱形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
≌，所以正确；
过点作于点，如图，
，
，
，
，
在中，
，
，
即点到的距离是，所以不正确；
过点作于点，如图，
，
∽，
，
，
在中，
，
，
，
，
在中，，
即，所以正确；
，
，
，所以不正确．
故选：．
先根据菱形的性质得，则可得到和都为等边三角形，则，可根据“”判断≌，从而可对进行判断；过点作于点，如图，由于，利用含度的直角三角形三边的关系计算出，从而可对进行判断；过点作于点，如图，证明∽，利用相似比得到，则，接着计算出，，所以，然后利用正切的定义得到，从而可对进行判断；由于，根据三角形面积公式得到，然后根据等边三角形的面积公式可对进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形．
11.【答案】
【解析】解：设交于点，作于点，则，
，，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
设交于点，作于点，由，，得，可证明，则，再证明∽，得，可推导出，则，所以，，由根据勾股定理可求得，，则，即可求得，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：切于点，
，
点为的中点，
，
，
，
在中，，
，
，
，，，
，
，
，
故选：．
根据切线的性质可得，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而利用直角三角形的边角关系可得，，，最后利用圆周角定理可得，从而可得，从而利用等角对等边可得，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质，以及圆周角定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接设
，
，
，
，
，
在中，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
负根已经舍去，
故答案为：
如图，连接设证明，利用勾股定理构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】解：由作法得于，
，
，
，
平分，
，
在中，，
在中，
，
平分，
点到边的距离，
，
故答案为：．
利用基本作图得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．如图，过点作交的延长线于利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数定义即可得结论．
【解答】
解：如图，过点作交的延长线于．
在中，，，，
，
，，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：作轴于，
矩形的面积是，
的面积是，
，，
，
对角线轴，
，
，
∽，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
作轴于，由矩形的面积可以求得的面积是，然后通过证得∽，求得，最后通过反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数的几何意义，求得的面积是解题的关键．
17.【答案】解：在中，，，
，
，
是的平分线，
，
又，
，
在中，，，
．
答：的长为．
【解析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
根据，，可求出，，再根据是的平分线，求出，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可．
18.【答案】解：因为点是弧的中点，
所以，即，
而，
所以，
所以；；
，
，
又，
∽，
，
；
，连接，则，
，
中，，
设，则，
由得，，
，
，
∽，
故和的相似比为，
设，则，，
又，为中点，
为中点，则，
中，，，，
中，，，
，
．
【解析】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，本题的关键是通过相似比，确定线段的比例关系，进而求解．
点是中点，是圆的半径，又，而是圆的直径，则，故AC；
证明∽，即可求解；
先证明和的相似比为：，设，则，，，得，即和的相似比为，设，则，，，则，，即可求解．
19.【答案】解：证明：为的中点，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
，
四边形是平行四边形．
平分，
，
又，
，
，
四边形为菱形；
如图，过点作，交的延长线于点，过点作于点，设交于点，
则，
设，则
，
，
，
，
同理得，
，
当与相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知为切点，
在中，由勾股定理得：，
解得：舍负．
的长为．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
先由为的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出，再由平行四边形的性质得出，，进而判定四边形是平行四边形，然后证明，则可得结论；
过点作，交的延长线于点，过点作于点，设，则由，可用含的式子分别表示出、及，由勾股定理得关于的方程，解得的值即可．
20.【答案】【小题】
，．为的直径，，，
【小题】
连接．，是的直径，，，．点、关于对称，，．，．，，，，的半径为．
【解析】 见答案
见答案
21.【答案】证明：是的直径，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】由圆周角定理得出，由，得，由，得，即可得出结论；
证明四边形是矩形，可得，，所以，设，则，，然后列出方程即可解决问题．
此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的性质，三角函数，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识；熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22.【答案】证明：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
是的切线；
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的半径为．
【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
由，是的直径，可以得出，再根据，得出，从而得出即可；
由锐角三角函数的定义得出，求出，，则可求出的长．
23.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过作于，
为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
∽，
，
，
解得，
故BD的长为．
【解析】连接，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到；
过作于，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】解：如图，过点作于，连接，，由题意可知，，，，
在中，，，
，
点到的距离为，
答：点到的距离为；
在中，，，
，
弧的长为，
答：点运动的距离为．
【解析】通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出即可；
根据勾股定理求出的长，再根据弧长的计算方法求出弧的长即可．
本题考查解直角三角形，弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
25.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，点即为所求；
如图，点即为所求．
，
故答案为：．
根据要求作出图形即可；
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
作点关于的对称点，连接交于点，点即为所求，连接，根据，求出即可．
本题考查作图旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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