2023-2024学年湖南师大附中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1
C．3a2 2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（3分）下列能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1 B．x2﹣2x﹣1 C．x2﹣4x+4 D．x2﹣y2
4．（3分）如图，实线内图形的面积可以用来验证下列的某个等式成立，该等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）2 B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+ab＝a（a+b）
5．（3分）长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为（ ）
A．2a2﹣4ab B．a﹣2b C．a﹣2b+1 D．2a﹣2b+1
6．（3分）若x2﹣x﹣6＝（x+a）（x+b），则ab的值为（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+1 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
8．（3分）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（ ）
A．AB，AC两边中线的交点处
B．AB，AC两边高线的交点处
C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处
D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处
10．（3分）如图1所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O点转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．如图2，若∠BDE＝84°，则∠CDE的度数是（ ）
A．65° B．68° C．66° D．70°
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：3m2﹣3＝ ．
12．（3分）已知10m＝3，10n＝2，则10m﹣n＝ ．
13．（3分）若m2﹣m﹣6＝0，则代数式1﹣m（m﹣1）的值是 ．
14．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是 ．
15．（3分）如图，将一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数是 度．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题6分，22，23年小题9分，24，25每小题6分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中．
19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，∠A＝40°，求∠DBC的度数．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，点C1的坐标为 ；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位，向下平移2个单位后得到△A2B2C2，直接写出顶点A2，B2，C2的坐标：A2 ，B2 ，C2 ．
21．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
22．（9分）将边长为x的小正方形ABCD和边长为y的大正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上．
（1）若x+y＝10，y2﹣x2＝20，求y﹣x的值；
（2）连接AG，EG，若x+y＝8，xy＝14，求阴影部分的面积．
23．（9分）在△ABC中，AB＝8，BC＝2a+2，AC＝22．
（1）求a的取值范围；
（2）若△ABC为等腰三角形，求a的值与△ABC的周长．
24．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB＝b，OA＝a，∠BAO＝60°．
（1）请写出a和b的数量关系；
（2）如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB＝6，求点M的坐标；
（3）如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为OC的中点，连接BE，过点B作∠CBF＝∠AEB，且BF＝BE，连接AF交BC于点P，过点F作FM∥x轴交CB的延长线于点M．
①求证：P为AF的中点；
②求的值．
25．（10分）定义：a，b，c为正整数，若c2＝a2+b2，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”．如132＝52+122，则13是“完美勾股数”，5，12是13的”伴侣勾股数”．
（1）数10 “完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0．求证：c是“完美勾股数”；
（3）已知m，n＞0且m＞n，c＝2m2+2mn+2n2，a＝m2+4mn+n2，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”．多项式x3﹣3x2+p有一个因式x﹣m+n，求该多项式的另一个因式．
2023-2024学年湖南师大附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、B、C中的图形不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；
D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2．【解答】解：∵a7÷a5＝a7﹣5＝a2，
∴A的计算正确；
∵5a﹣4a＝a，
∴B的计算不正确；
∵3a2 2a3＝6a5，
∴C选项的计算不正确；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D选项的计算不正确，
综上，计算正确的是A，
故选：A．
3．【解答】解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，故A不符合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故B不符合题意；
C、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故C符合题意；
D、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），故D不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
右图，拼成长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
由两个图形中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
5．【解答】解：由题意得：
（2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1，
∴长方形的面积为2a2﹣4ab+2a，长为2a，则它的宽为：a﹣2b+1，
故选：C．
6．【解答】解：∵x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3），
∴a＝2，b＝﹣3，
∴ab＝2×（﹣3）＝﹣6，
故选：A．
7．【解答】解：A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2ab+ab﹣2b2＝a2﹣ab﹣2b2，选项错误；
B．（a﹣）2＝a2﹣a+，选项错误；
C．﹣2（3a﹣1）＝﹣6a+2，选项错误；
D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，选项正确．
故选：D．
8．【解答】解：原式＝[×（﹣）]2023×
＝（﹣1）2023×
＝﹣1×
＝﹣，
故选：D．
9．【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，
∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．
故选：D．
10．【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠CDO+∠COD＝2∠COD，
∴∠DEC＝2∠COD，
∵∠COD+∠DEC＝∠BDE，
∴3∠COD＝84°，
∴∠COD＝28°，
∴∠DEC＝∠DCE＝56°，
∴∠CDE＝68°，
故选：B．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：原式＝3（m2﹣1）
＝3（m+1）（m﹣1）．
故答案为：3（m+1）（m﹣1）．
12．【解答】解：10m﹣n＝10m÷10n＝．
故答案为：．
13．【解答】解：∵m2﹣m﹣6＝0，
∴m2﹣m＝6，
∴1﹣m（m﹣1）
＝1﹣（m2﹣m）
＝1﹣6
＝﹣5，
故答案为：﹣5．
14．【解答】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，
故它的底角为55°或70°．
故答案为：55°或70°．
15．【解答】解：如图所示，根据三角板上角的度数的特点可知，
∠C＝60°，∠1＝45°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝45°，
∴∠α＝∠C+∠2＝60°+45°＝105°．
16．【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB CM＝AC BC，
∴CM＝，
即PC+PQ的最小值为．
故答案为．
三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题6分，22，23年小题9分，24，25每小题6分）
17．【解答】解：
＝3﹣1﹣（2﹣）
＝2﹣2+
＝．
18．【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当时，原式＝4﹣6×＝4﹣2＝2．
19．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
20．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
由图可见C1（1，﹣4）．
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣3），B2（0，﹣4），C2（﹣2，﹣6）．
故答案为：（﹣3，﹣3），（0，﹣4），（﹣2，﹣6）．
21．【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
22．【解答】解：（1）∵y2﹣x2＝20，即（y+x）（y﹣x）＝20，而x+y＝10，
∴y﹣x＝2，
答：y﹣x的值为2；
（2）由题意得，
S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG
＝x2+y2﹣x（x+y）﹣y2
＝x2﹣xy+y2
＝ [（x+y）2﹣2xy]﹣xy
当x+y＝8，xy＝14时，
原式＝×（64﹣28）﹣×14
＝18﹣7
＝11，
答：阴影部分的面积是11．
23．【解答】解：（1）由题意得：2a+2＜30，2a+2＞14，
故6＜a＜14；
（2）△ABC为等腰三角形，2a+2＝8或2a+2＝22，
则a＝3或a＝10，
∵6＜a＜14，
∴a＝10，
∴△ABC的周长＝22+22+8＝52．
24．【解答】（1）解：∵点A（a，0）在x轴负半轴上，
∴AO＝﹣a，
∵∠BAO＝60°，则∠ABO＝30°，
∴b＝﹣2a；
（2）解：连接BM，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝60°，AQ＝AP，
∵∠BAO＝60°，
∴∠PAQ﹣∠OAQ＝∠BAO﹣∠OAQ，
∴∠OAP＝∠DAQ，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB，
∵∠ABO＝30°，
∴AO＝AB，
∴AD＝AO，
在△AQD和△APO中，
，
∴△AQD≌△APO（SAS），
∴∠ADQ＝∠AOP＝90°，
即DQ⊥AB，
∴AM＝BM，
∴△ABM为等边三角形，
∴OM＝AB＝3，
∴M（3，0）；
（3）证明：①如图3，
∵FM∥x轴，
则∠BCA＝∠FMB，
∵∠CBF＝∠AEB，
∴∠BEC＝∠MBF，
在△BEC和△FBM中，
，
∴△BEC≌△FBM（AAS），
∴EC＝BM，BC＝MF，
∵AC＝BC，
∴AC＝MF，
又∵E是OC的中点，设OC＝2m，
∴等边三角形ABC的边长是4m，OE＝EC＝m＝BM，
∵MF∥AC，
∴∠ACP＝∠PMF，
在△PAC和△PFM中，
，
∴△PAC≌△PFM（AAS），
∴PA＝PF；
②解：∵△PAC≌△PFM，
∴PM＝PC
又∵MC＝5a，
∴BP＝MC﹣BM＝m，PC＝MC＝m，
∴＝．
25．【解答】解：（1）∵62+82＝102，
∴10是”完美勾股数“，
故答案为：是；
（2）证明：∵△ABC的三边a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）+（c﹣5）2＝0，
a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
a＝3，b＝4，c＝5，
∵52＝32+42，
∴5是”完美勾股数“，即c是“完美勾股数”；
（3）由题意得：c2＝a2+b2，
∴（2m2+2mn+2n2）2＝（m2+4mn+n2）2+3（m+n）2，
（2m2+2mn+2n2）2﹣（m2+4mn+n2）2＝3（m+n）2，
（3m2+6mn+3n2）（m2﹣2mn+n2）＝3（m+n）2，
3（m+n）2（m﹣n）2＝3（m+n）2，
（m+n）2（m﹣n）2＝（m+n）2，
（m﹣n）2＝1，
m﹣n＝±1，
∵m，n＞0且m＞n，
∴m＝n+1，
∴x3﹣3x2+p有一个因式为：x﹣m+n＝x﹣1，
∴x3﹣3x2+p＝（x﹣1）（x2﹣2x﹣2），
∴该多项式的另一个因式为x2﹣2x﹣2．
