2023-2024学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2cos60°的值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．从全是白球的袋子中摸出1个黑球
B．明天的太阳从东方升起
C．车辆到达一个路口，遇到绿灯
D．抛出一块石头，落回地面
3．点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6 B．0＜r≤6 C．r＞6 D．r≥6
4．已知，则下列式子中正确的是（ ）
A．a：b＝9：16 B．a：b＝6：8
C．a：b＝（a+3）：（b+3） D．a：b＝4：3
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，C′B的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．如图，以下条件不能推得DE∥BC的是（ ）
A．AD：AB＝AE：AC B．AD：DB＝AE：EC
C．AD：AE＝DB：EC D．AD：AB＝DE：BC
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上任意一点，连接AD、DF、AF，，半径为4，则CD的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（ ）
A．m tanα cosα B．
C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC、BD交于点E，若AB＝AE，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为 ．
12．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是 ．
13．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡滑行了300米，则他身体下降的高度为 米．
14．如果一个三角形的三边长分别为5，12，13，与其相似的三角形的最长边为39，则较大的三角形的面积为 ．
15． ABCD中，AC为对角线，点E为AC上一点，过点E作直线GF交边CD于点F，交AB于点G，连结DE，若DE⊥GF，DF＝2EF，∠ACB＝60°，，则的值为 ．
16．如图，BC为⊙O中的弦，过⊙O上一点A作AD⊥BC交BC于点D，且AD经过圆心，过点C作AC的垂线交BO的延长线于点E．若，则的值为 ．
三、解答题（本大题有8题，共66分）
17．计算：cos30°﹣sin45°+tan45℃os60°
18．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其中杭州主赛区设有四个竞赛场馆，分别为：A．杭州“大莲花”体育场、B．杭州奥体中心体育馆、C．杭州奥体中心游泳馆、D．杭州奥体中心同球中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D．杭州奥体中心网球中心做志愿者的概率为 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
19．如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形．
（1）请在图①中画出△ABC的中线AD；
（2）请在图②中画出△AEF，使其面积为△ABC面积的，点E、F分别在AB、AC上且EF∥BC．
20．如图，△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG平分∠BAC，交DE、BC于点F、G，且AD AC＝AE AB．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若△ADE与△ABC的周长之比是1：2，AG＝10，求AF的值．
21．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°．
（1）求两轮轮轴A，B之间的距离；
（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
22．如图，在⊙O内，弦AB，CD相交于点P，且AD＝BC．
（1）若AB＝2，求CD的值．
（2）若⊙O半径为4，，，求图中阴影部分面积．
23．如图，点D为△ABC边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点F，且使∠DEC＝∠A．
（1）求证：△EFC∽△ACB．
（2）若，AC＝10，
①求EF BC的值；
②若DF＝k，求的值（用含有k的式子表示）．
24．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AC⊥BD交于点E，延长AD、BC交于点F，∠BAC＝2∠CAD．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若，AB＝8，求CF的长；
（3）如图2，连结OC交BD于H，若BH＝4，DH＝3，求三角形CDF的面积．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．2cos60°的值等于（ ）
A． B． C．2 D．1
【分析】由特殊角的三角函数值，可得cos60°＝，继而求得答案．
解：2cos60°＝2×＝1．
故选：D．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值．此题比较简单，熟记特殊角的三角函数值是关键．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．从全是白球的袋子中摸出1个黑球
B．明天的太阳从东方升起
C．车辆到达一个路口，遇到绿灯
D．抛出一块石头，落回地面
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、从全是白球的袋子中摸出1个黑球，是不可能事件，不符合题意；
B、明天的太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；
C、车辆到达一个路口，遇到绿灯，是随机事件，符合题意；
D、抛出一块石头，落回地面，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（ ）
A．0＜r＜6 B．0＜r≤6 C．r＞6 D．r≥6
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，若点到圆心的距离为d，圆的半径r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
解：∵点P到圆O的距离为6，若点P在圆O外，
∴OP＞r，即0＜r＜6．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与圆的半径进行比较，进而得出结论．
4．已知，则下列式子中正确的是（ ）
A．a：b＝9：16 B．a：b＝6：8
C．a：b＝（a+3）：（b+3） D．a：b＝4：3
【分析】根据比例的性质分别判断即可．
解：A、∵，
∴a：b＝9：12，故本选项不符合题意．
B、∵，
∴a：b＝6：8，故本选项符合题意．
C、∵，
∴a：b≠（a+3）：（b+3），故本选项不符合题意．
D、∵，
∴a：b＝3：4，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角相等的两个等腰三角形相似
B．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
C．四个内角都对应相等的两个四边形相似
D．斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
【分析】根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断；根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断；利用矩形和正方形不相似可对C进行判断．
解：A、有一个顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似，所以A选项错误；
B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似，所以B选项错误；
C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似，所以C选项错误；
D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，使点C落在AB边的C′上，C′B的长度是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【分析】由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得AC＝AC'＝4，即可求解．
解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∵把Rt△ABC绕着点A逆时针旋转，
∴AC＝AC'＝4，
∴BC'＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
7．如图，以下条件不能推得DE∥BC的是（ ）
A．AD：AB＝AE：AC B．AD：DB＝AE：EC
C．AD：AE＝DB：EC D．AD：AB＝DE：BC
【分析】利用AD：AB＝AE：AC和∠DAE＝∠BAC可证明△ADE∽△ABC，所以∠ADE＝∠B，利用平行线的判定方法DE∥BC，则可对A选项进行判断；利用比例的性质和A选项的判定方法可对B、C选项进行判断；由于AD：AB＝DE：BC不能判断△ADE∽△ABC，则不能确定∠ADE＝∠B，从而不能判断DE∥BC，则可对D选项进行判断．
解：∵AD：AB＝AE：AC，
而∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，所以A选项不题意；
AD：DB＝AE：EC，
即AD：AE＝DB：EC，
∴DE∥BC，所以B选项不符合题意；
∵AD：AE＝DB：EC，
∴AD：DB＝AE：EC，
∴DE∥BC，所以C选项不符合题意；
由AD：AB＝DE：BC不能判断△ADE∽△ABC，则不能确定
∴不能确定∠ADE＝∠B，
∴不能判断DE∥BC，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．也考查了相似三角形的判定与性质．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是上任意一点，连接AD、DF、AF，，半径为4，则CD的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，BC，根据圆周角定理及锐角三角函数定义求出∠ACB＝90°，tan∠ACD＝＝，根据直角三角形的性质推出∠AEC＝∠BEC＝90°，∠CAE＝∠BCE，即可判定△ACE∽△CBE，根据相似三角形的性质推出AE＝CE，BE＝CE，根据线段的和差求解即可．
解：如图，连接AC，BC，
∵∠F＝∠ACD，tanF＝，
∴tan∠ACD＝，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴∠ACB＝90°，∠AEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，tan∠ACD＝＝，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝＝，
∴AE＝CE，BE＝CE，
∵⊙O的半径为4，
∴AB＝8，
∴AE+BE＝8，
∴CE+CE＝8，
∴CE＝2，
∴CD＝2CE＝4，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、圆周角定理是解题的关键．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，如果AD＝m，∠A＝α，那么BC的长为（ ）
A．m tanα cosα B．
C． D．
【分析】先用含m和α的三角函数值表示出CD，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答本题．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB边上的高，AD＝m，∠A＝α，
∴tanα＝＝，
∴CD＝m tanα，
∵∠ACB＝∠A+∠B＝90°，∠BDC＝∠B+∠BCD＝90°，∠A＝α，
∴∠BCD＝α，
∴cos∠BCD＝＝，
即cos＝，
∴BC＝．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利用转化的思想找到所求问题需要的条件．
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC、BD交于点E，若AB＝AE，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设BE＝x，DE＝3x，得到BD＝4x，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠AEB，根据圆周角定理得到∠ABD＝∠ACD，求得∠DEC＝∠DCE，得到DE＝CD＝3x，根据勾股定理得到BC＝＝x，过A作AG⊥BD于G，过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵，
∴设BE＝x，DE＝3x，
∴BD＝4x，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝3x，
∴BC＝＝x，
过A作AG⊥BD于G，过C作CH⊥BD于H，
∵S△BCD＝，
∴CH＝＝＝x，
∵AB＝AE，
∴BG＝EG＝＝x，
∵∠AGB＝∠AGD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠BAG＝∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAG＝∠ADB，
∴△ABG∽△DAG，
∴，
∴，
∴AG＝x，
∵∠AGE＝∠CHE＝90°，∠AEG＝∠CEH，
∴△AGE∽△CHE，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为 ．
【分析】根据概率公式知，6个数中有3个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是．
解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有6种情况，其中有3种为向上一面的点数为偶数，
故朝上面的数字为偶数的概率为＝．
故选：．
【点评】本题主要考查了概率的求法的运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
12．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是 6 ．
【分析】根据扇形面积s＝计算．
解：根据扇形面积s＝lr，得
×4π×r＝12π
解得r＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了扇形面积＝及其应用，比较简单．
13．某滑雪运动员沿着坡比为1：的斜坡滑行了300米，则他身体下降的高度为 150 米．
【分析】设他身体下降的高度为x米，根据坡度的概念用x表示出他滑行的水平距离，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：设他身体下降的高度为x米，
∵斜坡的坡度为1：，
∴他滑行的水平距离为x米，
由勾股定理得：x2+（x）2＝3002，
解得：x＝150（负值舍去），
∴他身体下降的高度为150米，
故答案为：150．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
14．如果一个三角形的三边长分别为5，12，13，与其相似的三角形的最长边为39，则较大的三角形的面积为 270 ．
【分析】先根据一个三角形的三边长分别为5、12、13，可判定此三角形为直角三角形，进而求出其面积，与其相似的三角形的最长的边为39求出其相似比，再由相似三角形面积的比等于相似比的票房即可得较大的三角形的面积．
解：∵52+122＝132，
∴三边长为5、12、13的三角形是直角三角形，面积＝×5×12＝30，
两个三角形的相似比为＝3，
则两个三角形的面积比为32＝9，
∴较大的三角形的面积为30×9＝270，
故答案为：270．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质和勾股定理的逆定理的应用，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
15． ABCD中，AC为对角线，点E为AC上一点，过点E作直线GF交边CD于点F，交AB于点G，连结DE，若DE⊥GF，DF＝2EF，∠ACB＝60°，，则的值为 ．
【分析】过点F作FN⊥GC于点N，过点D作DM⊥GC于点M，设AC＝5m，则BC＝4m，利用平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质求得AM，DM，设EF＝n，则DF＝2n，利用勾股定理求得DE，EM；利用相似三角形的判定与性质，求得m，n的关系式，进而求得线段CN＝m，再利用相似三角形的性质和比例的性质解答即可得出结论．
解：过点F作FN⊥GC于点N，过点D作DM⊥GC于点M，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴AM＝AD．
∵，
∴设AC＝5m，则BC＝4m．
∴AD＝BC＝4m，
∴AM＝2m，DM＝AM＝2m．
设EF＝n，则DF＝2n，
∴DE＝n．
∴EM＝＝．
∵DE⊥GF，
∴∠DEM+∠FEN＝90°．
∵FN⊥EC，
∴∠FEN+∠EFN＝90°，
∴∠EFN＝∠DEM．
∵∠FNE＝∠EMD＝90°，
∴△EFN∽△DEM，
∴，，
∴，，
∴EN＝2m，FN＝，
∴CN＝CA﹣EN﹣ME﹣AM＝5m﹣2m﹣﹣2m＝m﹣，
CM＝CA﹣AM＝3m．
∵FN⊥GC，DM⊥GC，
∴FN∥DM，
∴△CFN∽△CDM，
∴，
∴＝，
∴27n2＝112m2，
∴FN＝m，
∴CN＝m﹣＝m，
∵△CFN∽△CDM，
∴，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，过点F作FN⊥GC于点N，过点D作DM⊥GC于点M，构造相似三角形是解题的关键．
16．如图，BC为⊙O中的弦，过⊙O上一点A作AD⊥BC交BC于点D，且AD经过圆心，过点C作AC的垂线交BO的延长线于点E．若，则的值为 ．
【分析】设BE交⊙O于F，延长AD交⊙O于G，连接CF，CG，由AD经过圆心，得∠ACG＝90°，可知E，C，G共线，而AD⊥BC，，可设OD＝m，则OB＝5m＝OG，有BD＝＝2m，证明CF∥OG，知△ECF∽△EGO，OD是△BCF的中位线，故CF＝2OD＝2m，CD＝BD＝2m，可得CG＝＝＝2m，即得＝，CE＝m，求出AC＝＝＝2m，从而＝＝．
解：设BE交⊙O于F，延长AD交⊙O于G，连接CF，CG，如图：
∵AD经过圆心，
∴AG是⊙O的直径，
∴∠ACG＝90°，
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACG+∠ACE＝180°，
∴E，C，G共线，
∵AD⊥BC，，
∴＝，
设OD＝m，则OB＝5m＝OG，
∴BD＝＝2m，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BCF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴CF∥OG，
∴△ECF∽△EGO，
∵OB＝OF，
∴OD是△BCF的中位线，
∴CF＝2OD＝2m，CD＝BD＝2m，
∴CG＝＝＝2m，
∵△ECF∽△EGO，
∴＝，
即＝，
∴CE＝m，
∵AC＝＝＝2m，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，涉及锐角三角函数等知识，解题的关键是用反m的代数式表示相关线段的长度．
三、解答题（本大题有8题，共66分）
17．计算：cos30°﹣sin45°+tan45℃os60°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
解：原式＝×﹣×+1×
＝﹣1+
＝1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
18．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其中杭州主赛区设有四个竞赛场馆，分别为：A．杭州“大莲花”体育场、B．杭州奥体中心体育馆、C．杭州奥体中心游泳馆、D．杭州奥体中心同球中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．
（1）小明被分配到D．杭州奥体中心网球中心做志愿者的概率为 ；
（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）小明被分配到D．国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，
∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为．
【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形．
（1）请在图①中画出△ABC的中线AD；
（2）请在图②中画出△AEF，使其面积为△ABC面积的，点E、F分别在AB、AC上且EF∥BC．
【分析】（1）先根据矩形的性质找到BC的中点D，再连接AD即可；
（2）先根据相似三角形的性质找到AC的三等分点F，再找出AB的三等分点E，连接EF即可．
解：（1）如图①：AD即为所求；
（2）如图②：△AEF即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握进行的性质、相似三角形的性质是解题的关键．
20．如图，△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG平分∠BAC，交DE、BC于点F、G，且AD AC＝AE AB．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若△ADE与△ABC的周长之比是1：2，AG＝10，求AF的值．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC；
（2）根据相似三角形的性质即可得解．
【解答】（1）证明：∵AD AC＝AE AB，
∴，
又∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：∵△ADE∽△ACB，△ADE与△ABC的周长之比是1：2，
∴，
∵AG平分∠DAE，AG平分∠BAC，
∴，
∵AG＝10，
∴AF＝5．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架AC＝80cm，BC＝60cm，AB，DO均与地面平行，支架AC与BC之间的夹角∠ACB＝90°．
（1）求两轮轮轴A，B之间的距离；
（2）若OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，求点F到AB所在直线的距离．（结果精确到0.1）（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根据勾股定理求出AB的长度即可；
（2）作辅助线，分别求出C点到AB的距离，F点到直线DO的距离，求和即可．
解：（1）∵支架AC与BC之间的夹角（∠ACB）为90°，
∴AB＝＝＝100（cm），
即两轮轮轴A，B之间的距离为100cm；
（2）过C点作CH⊥AB于H，过F点作FG⊥DO延长线与G，则扶手F到AB所在直线的距离为FG+CH，
∵OF的长度为60cm，∠FOD＝120°，
∴∠FOG＝180°﹣120°＝60°，
∵∠G＝90°，
∴∠F＝30°，
∴OG＝OF＝30，
∴FG＝30，
由（1）知AB＝100，AC＝80，BC＝60，
∴S△ABC＝AC BC＝AB CH，
即×100×CH＝×60×80，
解得CH＝48，
∴FG+CH＝48+30≈48+30×1.732≈100.0cm，
即扶手F到AB所在直线的距离为100.0cm．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
22．如图，在⊙O内，弦AB，CD相交于点P，且AD＝BC．
（1）若AB＝2，求CD的值．
（2）若⊙O半径为4，，，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系定理即可证得结论；
（2）利用勾股定理求得AF，进一步求得OE，解直角三角形求得∠DOE＝60°，从而求得∠DOC＝120°，然后根据S阴影＝S扇形﹣S△COD求得即可．
解：（1）∵AD＝BC，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴CD＝AB＝2．
（2）连接OA、OC、OD，作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，
∵OF2＝OP2﹣PF2＝OA2﹣AF2，
∴7﹣（AF﹣）2＝16﹣AF2，
∴AF＝2，
∴AB＝4，
由（1）可知CD＝AB，
∴CD＝4，
∴DE＝2，
∴OE＝＝＝2，sin∠DOE＝＝＝，
∴∠DOE＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△COD＝﹣＝﹣4．
【点评】本题考查了扇形的面积，垂径定理，相交弦定理，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
23．如图，点D为△ABC边AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点F，且使∠DEC＝∠A．
（1）求证：△EFC∽△ACB．
（2）若，AC＝10，
①求EF BC的值；
②若DF＝k，求的值（用含有k的式子表示）．
【分析】（1）先利用平行线的性质得到∠EFC＝∠ACB，再利用对顶角相等得到∠DEC＝∠A，于是根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）①先利用平行线分线段成比例定理得到＝＝，则AF＝2，FC＝8，再利用△EFC∽△ACB得到＝，然后根据比例的性质得到EF BC＝80；
②先证明△CEF∽△DAF，利用相似三角形的性质得S△DAF＝S△CEF，再根据三角形面积公式得到S△ADC＝5S△ADF，S△BCD＝4S△ADC，所以S△BCD＝S△CEF，从而得到的值．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB，
∵∠DEC＝∠A，
∴△EFC∽△ACB．
（2）①∵DF∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝10，
∴AF＝2，FC＝8，
由（1）得△EFC∽△ACB，
∴＝，
∴EF BC＝CF AC＝8×10＝80；
②∵∠E＝∠A，∠EFC＝∠AFD，
∴△CEF∽△DAF，
∴＝（）2＝（）2＝，
即S△DAF＝S△CEF，
∵S△ADF：S△ADC＝AF：AC＝2：10＝1：5，
∴S△ADC＝5S△ADF，
∵AD：BD＝1：4，
∴S△BCD＝4S△ADC，
∴S△BCD＝4×5S△ADF＝20×S△CEF＝S△CEF，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长和面积的比是解决问题的关键．
24．如图，四边形ABCD为⊙O内接四边形，AC⊥BD交于点E，延长AD、BC交于点F，∠BAC＝2∠CAD．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若，AB＝8，求CF的长；
（3）如图2，连结OC交BD于H，若BH＝4，DH＝3，求三角形CDF的面积．
【分析】（1）作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝∠AGC＝90°，而∠BEC＝90°，所以∠CAG＝∠CBD＝90°﹣∠ACB，由∠BAC＝2∠CAD，得∠BAC＝2∠CAG，则∠BAG＝∠CAG，再根据“等角的余角相等”证明∠ABG＝∠ACG，则AB＝AC；
（2）连结OA、OB、OC，作CL⊥AF于点L，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，证明圆心O在△ABC的高AG上，再证明∠OCG＝∠F，于是得＝sinF＝，＝＝sinF＝，设OG＝3m，则OA＝OC＝4m，所以AG＝7m，CG＝＝m，的以AC＝＝2m＝8，求得m＝，则CF＝CG＝；
（3）延长AO交BD于点I，交BC于点Q，作IK⊥AB于点K，则∠AQF＝90°，BC＝2QC，由OC∥AD，BH＝4，DH＝3，得＝＝，BD＝7，即可证明＝＝，再证明∠ABE＝∠F，则＝＝sinF＝＝，再证明IE＝DE，设IE＝DE＝2n，则IB＝3n，BE＝5n，所以2n+2n+3n＝7，求得n＝1，则BE＝5，可求得＝sinF＝，设OQ＝2a，则OA＝OC＝3a，AQ＝5a，所以CQ＝＝a，则＝tan∠CBE＝tan∠CAQ＝，所以CE＝BE＝，求得S△CDB＝，则S△CDF＝S△CDB＝．
【解答】（1）证明：如图①，作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝∠AGC＝90°，
∵AC⊥BD交于点E，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CAG＝∠CBD＝90°﹣∠ACB，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CAG＝∠CAD，
∵∠BAC＝2∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAG，
∴∠BAG＝∠CAG，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠ABG＝∠ACG，
∴AB＝AC．
（2）解：如图①，连结OA、OB、OC，作CL⊥AF于点L，则∠CLF＝90°，
∵OB＝OA，OC＝OA，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∴AO⊥BC，
∴AO与AG重合，即圆心O在△ABC的高AG上，
∵∠OCA＝∠CAG＝∠CAD，CG⊥AG，CL⊥AD，
∴OC∥AD，CG＝CL，
∴∠OCG＝∠F，
∴＝sin∠OCG＝sinF＝，＝＝sinF＝，
设OG＝3m，则OA＝OC＝4m，
∴AG＝OA+OG＝4m+3m＝7m，CG＝＝＝m，
∴AC＝＝＝2m，
∵AB＝AC＝8，
∴2m＝8，
解得m＝，
∴CF＝CG＝××＝，
∴CF的长为．
（3）解：如图②，延长AO交BD于点I，交BC于点Q，作IK⊥AB于点K，则∠BKI＝90°，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，IK⊥AB，IE⊥AC，
∴AQ⊥BC，BQ＝CQ，IK＝IE，
∴∠AQF＝90°，BC＝2QC，
∵OC∥AD，BH＝4，DH＝3，
∴＝＝，BD＝BH+DH＝4+3＝7，
∴＝，
∵∠CAQ＝∠CAD，CQ⊥AQ，CP⊥AD，
∴QC＝PC，
∴＝＝，
设∠BAQ＝∠CAQ＝∠CAD＝α，
∵∠AEB＝∠AQF＝90°，
∴∠ABE＝∠F＝90°﹣2α，
∴＝＝sin∠ABE＝sinF＝＝，
∵∠AEI＝∠AED＝90°，AE＝AE，∠EAI＝∠EAD，
∴△EAI≌△EAD（ASA），
∴IE＝DE，
设IE＝DE＝2n，则IB＝3n，BE＝5n，
∴2n+2n+3n＝7，
解得n＝1，
∴BE＝5，
∵OC∥AD，
∴∠OCQ＝∠F，
∴＝sin∠OCQ＝sinF＝，
设OQ＝2a，则OA＝OC＝3a，AQ＝5a，
∴CQ＝＝＝a，
∵∠BEC＝∠AQC＝90°，∠CBE＝∠CAQ，
∴＝tan∠CBE＝tan∠CAQ＝＝＝，
∴CE＝BE＝×5＝，
∴S△CDB＝BD CE＝×7×＝，
∵＝＝，
∴S△CDF＝S△CDB＝×＝，
∴三角形CDF的面积是＝．
【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
