成都市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
（满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回）
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2．已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为
A． B．16 C．18 D．
3．已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则
A． B． C． D．
4．已知椭圆（）中，，则椭圆的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知直线，双曲线，则
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
6．已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．已知斜率为的两条直线都与椭圆相切，则这两条直线间的距离等于
A． B． C． D．
8．已知，，则的最小值是
A． B． C． D．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，，则
A．当时，直线的一个方向向量为
B．若与相互平行，则或
C．若，则
D．若不经过第二象限，则
10．已知圆（为坐标原点），圆的圆心为点，则
A．圆与圆共有条公切线
B．在圆上，，与圆切于，，当最大时，，，共线
C．在直线上，直线与圆相切于，直线与圆相切于，则
D．圆与圆和圆均外切，则圆的圆心的轨迹为双曲线
11．设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则
A． B．
C．若，则的面积为
D．若平行于轴，则
12．已知正方体中，为正方形的中心．为平面上的一个动点，则下列命题正确的是
A．若，则的轨迹是圆
B．若，则的轨迹是椭圆
C．若到直线，距离相等，则的轨迹是抛物线
D．若到直线，距离相等，则的轨迹是双曲线
第II卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．已知直线与交于点，则 ．
14．如图，弓形中，弦，为的中点，且到的距离为，则所在的圆的半径为 ．
15．设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ．
16．已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）已知圆的一条直径的两个端点为和．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，求的最小值，并求出当最小时直线的方程．
18．（本小题12分）已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
19．（本小题12分）抛掷一枚均匀的骰子次，将第次掷出的点数记为，第次掷出的点数记为．
（1）求的概率；
（2）记事件为“”，事件为“”，若且事件和事件为相互独立事件，求的值．
20．（本小题12分）如图，长方体中，底面是边长为的正方形，侧棱，为棱的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成的角．
21．（本小题12分）已知双曲线经过点，直线和为双曲线的两条渐近线．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若与的斜率互为相反数，求直线的斜率．
22．（本小题12分）已知点，点分别是直线，上的动点，且，的中点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条相互垂直的直线与，若与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的取值范围．成都市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分标准
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．A． 2．C． 3．D． 4．B． 5．C． 6．D． 7．B． 8．B．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．CD． 10．ABC． 11．BCD． 12．BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．． 14．． 15．． 16．．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（1）由题意可知圆的圆心为，半径为．（3分）
因此圆的方程为．（5分）
（2）易知当时最小，此时的斜率为，（7分）
方程为，．（10分）
18．（1）当斜率为时，恰好经过坐标原点，（2分）
不妨设，则为抛物线上的点．（4分）
代入抛物线的方程得，解得．（6分）
（2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为．（8分）
将其与抛物线的方程联立得．设，，则，．（9分）
因此的面积．（12分）
19．将次掷出的点数记为，则所有的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个，且每个样本点出现的可能性相同．（2分）
（1）使得的样本点有，，，，，，，，，共个，因此．（4分）
显然与为对立事件，所以．（6分）
（2）易知．由和相互独立得可知．此时等价于事件“且”．因此中仅有一个样本点，所以，从而．（9分）
由于，，，，．因此当且仅当时，且，即所求的值为．（12分）
20．（1）由题意可知且，（2分）
因此平面，（4分）
从而平面平面．（6分）
（2）由（1）可知平面，因此为直线与平面所成的角的余角．（8分）
在中，，，所以，（10分）
从而直线与平面所成的角为．（12分）
21．（1）由题意，可设双曲线的方程为．（2分）
将点的坐标代入得，（4分）
因此双曲线的方程为．（5分）
（2）解法一：设直线的斜率为，则直线的方程为，即，与双曲线联立消去，得．（6分）
设，则与的横坐标为此方程的两个根，即，因此，（8分）
从而．（9分）
设，由题意，的斜率为，类似的可得，，因此直线的斜率，即直线的斜率为．（12分）
解法二：设直线的方程为，与双曲线的方程联立消去得．设，，则，．（6分）
由于直线的斜率为，的斜率为，因此，整理得，（8分）
所以，整理得，（10分）
即．由于当时，直线经过点不符合题意，所以．综上所述，直线的斜率为．（12分）
22．解：（1）设，，，则，．（2分）
由得，从而，即曲线的方程为．（5分）
（2）由于，所以．当与一条与轴垂直，另一条与轴垂直时，直接计算可得．（6分）
当与都不与坐标轴垂直时，不妨设，，其中．将的方程与曲线的方程联立消去得，显然对都有．设，，则，，（7分）
因此．类似的可得．所以．（9分）
令，有．由于，因此，从而．
综上所述，的取值范围是．（12分）
