辽宁省沈阳市第十五中学2023-2024高一上学期12月阶段测试数学试题（含解析）

2023-2024（上）高一 12月份阶段测试
高一数学
满分：150分.考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共 60分）
一.单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分）
1．若集合 A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则 a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或 4
2.设 x∈R，则“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．把函数 y＝f(x)的图象向左、向下分别平移 2个单位得到 y＝2x的图象，则
( )
A．f(x)＝2x＋2＋2 B．f(x) 2x＋＝ 2－2
C．f(x)＝2x－2＋2 D －．f(x)＝2x 2－2
2 1
4.若 g(x)＝1－2x 1－x，f(g(x))＝ (x≠0)，则 f2 2 等于( )x
A．1 B．2
C．15 D．30
5. b已知 f(x)＝x3＋ax－ －8，若 f(－2)＝10，则 f(2)的值为( )
x
A．10 B．－10 C．－18 D．－26
2
6．已知函数 y＝(a2－1)x －2x＋3在区间[1，＋∞)上是增函数，则 a的取值范
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围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
7．已知 2x 8＝3，log4 ＝y，则 x＋2y的值为( )
3
A．3 B．8
C．4 D．log48
8．设方程 10x＝|lg(－x)|的两个根分别为 x1，x2，则( )
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0二.多项选择题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
9．当 x>0时，下列函数中，值域与函数 y＝10lg x相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C 1．y＝2x D．y＝
x
10．已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线 x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称
11．在同一直角坐标系中，函数 y＝ax与 y＝logax(a>0，且 a≠1)的大致图像如
图所示，则下列数中可能是实数 a的取值的有( )
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A.3 B.4
2 3
C.7 D.10
5 7
12．设 a>1，b>1且 ab－(a＋b)＝1，那么( )
A．a＋b有最小值 2( 2＋1)
B．a＋b有最大值( 2＋1)2
C．ab有最小值 3＋2 2
D．ab有最小值 2( 2＋1)
三.填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．f(x)在(－1,1)上满足 f(－x)＝－f(x)，且在(－1,1)上是递减函数，若 f(1
－a)＋f(4－3a)＞0，则 a的取值范围是________．
14．用二分法求方程 x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，经过________次
“二分”后精确度能达到 0.01.
x＋1，x<0，
15．函数 y＝ 的反函数是________．
ex，x≥0
1 x
16．已知函数 f(x)，当 x≥4时，f(x)＝ 2 ；当 x<4时 f(x)＝f(x＋1)，则 f(2＋log23)
＝________．
四.解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答时应写出必要的文字说明，证明
过程或演算步骤）
17. 已知 A＝{x|－1高一数学 第 3 页 共 4 页
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(1)当 m＝1时，求 A∪B；
(2)若 B RA，求实数 m的取值范围．
2lg 2＋lg 3 6 3
18．计算：(1) 1 1 ； (2)2 3
3
× 12×
1＋ lg 0.36＋ lg 8 2
2 3
(3)
log5 2·log4981
.(4)解方程 log4(3x＋1)＝log4x＋log3 4
(3＋x)．
log 125 ·log7 43
19．函数 f(x)＝ 1＋2x＋3xa在区间(－∞，1]上有意义，求 a的取值范围．
－m2＋2m＋3
20．已知幂函数 f(x)＝x (m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上
单调递增．
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)设函数 g(x)＝ f（x）＋2x＋c，若 g(x)>2对任意的 x∈R恒成立，求实数 c
的取值范围．
21．已知函数 y＝loga(x2＋2x＋k)，其中 a>0且 a≠1.
(1)若定义域为 R，求 k的取值范围；
(2)若值域为 R，求 k的取值范围．
1
22 a>0 a 1 f(log x) a
x－
．已知 且 ≠ ， a ＝ x .
a2－1
(1)求 f(x)；
(2)判断函数 f(x)的单调性；
(3)对于 f(x)，当 x∈(－1，1)时有 f(1＋m)＋f(2m＋1)<0，求 m的取值范围．
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{#{QQABLQKAoggIAAAAARhCQQXICEAQkAECAAoGhEAEoAIAARNABAA=}#}高一数学答案
满分：150分.考试时间：120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．0或4
答案　A
解析　由题意知ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，
解得a＝4(a＝0不合题意，舍去)．
2.设x∈R，则“0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　(集合法)由|x－1|<1，解得03．把函数y＝f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位得到y＝2x的图象，则(　　)
A．f(x)＝2x＋2＋2　　　 B．f(x)＝2x＋2－2
C．f(x)＝2x－2＋2 D．f(x)＝2x－2－2
答案：C　解析：因为将函数y＝2x的图象向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图象，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图象，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2.
故应选C.
4．若g(x)＝1－2x，f(g(x))＝(x≠0)，则f等于(　　)
A．1 B．2
C．15 D．30
答案：C　解析：f(1－2x)＝，
令1－2x＝，
∴ x＝.
∴ f＝＝15.
故应选C.
5．已知f(x)＝x3＋ax－－8，若f(－2)＝10，则f(2)的值为(　　)
A．10 B．－10 C．－18 D．－26
答案：D　解析：∵ f(－2)＋f(2)＝(－2)3－2a＋－8＋23＋2a－－8＝－16，
∴ f(2)＝－16－f(－2)＝－16－10＝－26.
故应选D.
6．已知函数y＝(a2－1)x2－2x＋3在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－1,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－)∪(，＋∞)
答案：D　解析：t＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知a2－1＞1，∴ a2＞2，
∴ a＞或a＜－.
故应选D.
7．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A．3 B．8
C．4 D．log48
答案：A　解析：∵ 2x＝3，∴ x＝log23.
∴ x＋2y＝log23＋2log2
＝log23＋log2＝log28＝3.
故应选A
8．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2<0 B．x1x2＝1
C．x1x2>1 D．0答案　D
解析　构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图像，如图所示．因为x1，x2是方程10x＝|lg(－x)|的两个根，所以两个函数图像交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．当x>0时，下列函数中，值域与函数y＝10lg x相同的是(　　)
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
答案　AD
解析　当x>0时，y＝10lg x＝x，故函数的值域为(0，＋∞)．A中，当x>0时，函数y＝x的值域为(0，＋∞)，满足题意；B中，当x>0时，y∈R，不满足题意；C中，当x>0时，y>1，不满足题意；D中，当x>0时，函数y＝的值域为(0，＋∞)，满足题意，故选AD.
10．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减
C．y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图像关于点(1，0)对称
答案　BC
解析　由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，所以A错误，B正确；f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(x＋1)，f(1＋x)＝ln(x＋1)＋ln(1－x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，所以C正确；又f＝ln ＋ln＝ln ，f＝ln ＋ln＝ln ，所以f＝f＝ln ，所以D错误．故选BC.
11．在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1)的大致图像如图所示，则下列数中可能是实数a的取值的有(　　)
A. B.
C. D.
答案　BC
解析　由图像可知a>1，且a22＝log>log2，故A不符合题意；＝<2＝log2＝log>log2，故D不符合题意．故选BC.
12．设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)
A．a＋b有最小值2(＋1)
B．a＋b有最大值(＋1)2
C．ab有最小值3＋2
D．ab有最小值2(＋1)
答案　AC
解析　∵ab≤，且ab－(a＋b)＝1，
∴－(a＋b)≥1.
设a＋b＝t(t>2)，
则t2－4t－4≥0，解得t≥2＋2，故A正确．
又ab＝1＋(a＋b)，∴ab≥1＋2＋2＝3＋2，故C正确．
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．f(x)在(－1,1)上满足f(－x)＝－f(x)，且在(－1,1)上是递减函数，若f(1－a)＋f(4－3a)＞0，则a的取值范围是________．
答案：
解析：∵ f(1－a)＋f(4－3a)＞0，
∴ f(1－a)＞－f(4－3a)．
∵ f(－x)＝－f(x)，
∴ f(1－a)＞f(3a－4)．
∴
解得＜a＜.
∴ a的取值范围是.
14．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，经过________次“二分”后精确度能达到0.01.
答案：7　解析：设n次“二分”后精确度达到0.01，
∵ 区间(2,3)的长度为1，
∴ ＜0.01，即2n＞100.
注意到26＝64＜100,27＝128＞100.
故要经过7次“二分”后精确度达到0.01.
15．函数y＝的反函数是________．
答案　y＝
解析　当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝
16．已知函数f(x)，当x≥4时，f(x)＝；当x<4时f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝________．
答案.
解析　∵3<2＋log23<4，
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23>4.
∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝＝×＝×＝×＝.
四.解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，求A∪B；
(2)若B RA，求实数m的取值范围．
解：(1)m＝1，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1(2) RA＝{x|x≤－1或x>3}．
18．计算：(1)； (2)2××
(3)
.(4)解方程log4(3x＋1)＝log4x＋log4(3＋x)．
解析　(1)原式＝＝
＝＝1.
(2)方法一：原式＝2××
＝2＝2＝2＝2×3＝6.
方法二：原式＝2×3×12×＝2×3×3×4×3×2－＝2×3×3×2×3×2－
＝21＋－×3＋＋＝2×3＝6.
(3)：答案　－3
(4)解析　∵log4(3x＋1)＝log4[x(3＋x)]，
∴解得x＝1.
19．函数f(x)＝在区间(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．
解：∵ 1＋2x＋3xa≥0，
∴ 3xa≥－1－2x.
∵ x∈(－∞，1]，∴ 3x>0，
∴ a≥－x－x.
∵ y＝x与y＝x是(－∞，1]上的减函数，且x>0，x>0，
∴ 函数－x与－x都是(－∞，1]上的增函数．
∴ 函数－x－x是(－∞，1]上的增函数，
∴ x∈(－∞，1]时，－x－x≤－1－1＝－1恒成立．
∵ a≥－x－x在x∈(－∞，1]上恒成立，
∴ a≥－1.
故a的取值范围是[－1，＋∞)．
20．已知幂函数f(x)＝x(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
解析　(1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，解得－1又m∈Z，所以m＝0，1，2.而当m＝0或m＝2时，f(x)＝x3不是偶函数；
当m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x4.
(2)由(1)知f(x)＝x4，
则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．
因为g(x)>2对任意的x∈R恒成立，
所以g(x)>2，且x∈R.
又g(x)＝g(－1)＝c－1，所以c－1>2，解得c>3.
故实数c的取值范围是(3，＋∞)．
21．已知函数y＝loga(x2＋2x＋k)，其中a>0且a≠1.
(1)若定义域为R，求k的取值范围；
(2)若值域为R，求k的取值范围．
解析　(1)x2＋2x＋k>0恒成立，
即Δ＝4－4k<0，∴k>1.
(2)∵值域为R，∴(x2＋2x＋k)≤0，
即x2＋2x＋k＝0有根，∴Δ≥0，即k≤1.
22．已知a>0且a≠1，f(logax)＝.
(1)求f(x)；
(2)判断函数f(x)的单调性；
(3)对于f(x)，当x∈(－1，1)时有f(1＋m)＋f(2m＋1)<0，求m的取值范围．
解析　(1)令t＝logax，则x＝at，
f(t)＝，即f(x)＝.
(2)当a>1时，>0，
g(x)＝ax－单调递增，∴f(x)单调递增．
当0g(x)＝ax－单调递减，∴f(x)单调递增．
(3)f(x)为奇函数且在(－1，1)上单调递增，
∴f(1＋m)即∴m∈.