杨浦区2023-2024学年度第一学期期末质量调研
初三数学模拟试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 下列函数中, 属于二次函数的是( )
A. B. ; C. ; D. .
2. 在 Rt 中, , 那么 的三角比值为 的是
A. B. C. ; D .
3. 如图，已知，，下列选项中错误的是
A.； B.； C. ； D.．
4. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，那么物体从点A到点B所经过的路程为
A.米； B.米； C.米； D.9米．
5. 已知非零向量、、，下列条件中，能判定向量与向量方向相同的是（ ）
A. ， B. C. D. ，
6. 如图，在中，是边上的点（不与点重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（ ）
A. 的面积 B. 的面积
C. 的面积 D. 的面积
二、填空题: (本大题共 题 , 每题 分,满分 分)
7. 已知，则__________．
8．计算：___________．
9. 已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为__________．
10.两个相似三角形的对应边上的中线之比4 ：5，则这两个三角形面积之比为________．
11.如果二次函数 的图像经过原点, 那么 _______．
12. 已知抛物线经过点，，试比较和的大小：______．（填“>”，“<”或“=”）
13.计算：= ．
14.已知在 中, , 那么 ．
15.小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 米．
第15题图
16.如图，已知是重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为2，那么的面积是______．
第16题图
17.如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角互余三角形”．已知在中，，，，点D在边上，且是“倍角互余三角形”，那么的长等于__________．
18.如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则__________．
第18题图
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（1，m）、B（3，n）在抛物线上．
（1）如果m=n，那么抛物线的对称轴为直线 ；
（2）如果点A、B在直线上，求抛物线的表达式和顶点坐标．
20. （10分）如图，在梯形中，，且，过点作，分别交于点，若．
（1）用表示和；
（2）求作在方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）
21.（10分）如图, 已知在 中, , 垂足为点 , 点 是边 的中点.
(1) 求边 的长;
(2) 求 的正弦值.
22.（10分）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
(1)求的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．
（参考数据：）
23.（12分）如图，已知△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，∠FEA＝∠B，∠DAF＝∠EAC．
（1）求证：AE2＝AF AB；
（2）求证：＝．
24.（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），点A坐标为（1，0），抛物线与y轴交于点C，S△ABC＝3．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P（x，y）是抛物线上一动点，且x＞3．作PN⊥BC于N，设PN＝d，求d与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，过点A作PC的平行线交y轴于点F，连接BF，在直线AF上取点E，连接PE，使PE＝2BF，且∠PEF+∠BFE＝180°，请直接写出P点坐标．
25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y．
（1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；
（3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值．
参考答案
一、选择题
1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.【答案】D
【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，由题意得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，．
∴,．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
二、填空题
7. ． 8．． 9. . 10.16 ：25． 11.-4 12..>
13.． 14.14 15.4 16.9 17.或 18.【答案】
【解析】
【分析】过点作于，证明，得出，根据，得，设，，则，则，在中，，在中，，则，解方程求得，则，，勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵平分交于点，
∴,
∴
∴
∵折叠，
∴，
∴,
又∵
∴
∴
∴
∵，，则，
∴
∴，，
∵
设，，则，则，
∵
∴
在中，
在中，
∴
即
解得：
∴，
则
三、解答题
19.解（1）直线 x=2；
（2）∵点A（1，m）、B（3，n）在轴上，∴m= 0， n=2.
∴ ∴ ∴. 顶点.
20.【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用向量的表示方法， 由即可求出，利用平行线分线段成比例，求出，即可求出；
（2）过点作交于点，交于点，则、即为所求．
【小问1详解】
解：
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：如图所示，过点作交于点，交于点，
在、方向上的分向量如图所示，、即为所求；
【答案】（1）；（2）
22.【答案】(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
23.【分析】（1）利用两个角相等证明△BAE∽△EAF，得，即可证明结论；
（2）首先证明△DAE∽△CAB，得，∠D＝∠C，再证明△DAF∽△CAE，得，等量代换即可．
【解答】证明：（1）∵∠FEA＝∠B，∠BAE＝∠EAF，
∴△BAE∽△EAF，
∴，
∴AE2＝AF AB，
（2）∵∠DAF＝∠CAE，∠FAE＝∠FAE，
∴∠DAE＝∠CAF，
∵∠FEA＝∠B，
∴△DAE∽△CAB，
∴，∠D＝∠C，
∵∠DAF＝∠EAC，
∴△DAF∽△CAE，
∴，
∴，
∴．
24.【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
即OC＝3，
∵S△ABC＝3，
∴×AB×OC＝3，
即AB×3＝3，
∴AB＝2，
又∵A（1，0）且点B在点A的右边，
∴B（3，0），
把A点和B点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）由（1）知，C（0，3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+t，
代入B点和C点的坐标得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
过点P作PD⊥x轴交BC延长线于点E，交x轴于点D，
∵OC＝OB，
∴∠CBO＝45°，
又∵∠COB＝∠PDO＝90°，且∠CBO＝∠DBE＝45°，
∴∠PEC＝45°，且PN⊥CB，
∴∠NPE＝45°，
∴cos∠NPE＝＝cos45°＝，
∴PN＝PE，
设P（m，m2﹣4m+3），则E（m，﹣m+3），
∴PE＝m2﹣4m+3﹣（﹣m+3）＝m2﹣3m，
∴PN＝d＝PE＝（m2﹣3m）＝m2﹣m，
∴d＝x2﹣x；
（3）如下图，过点P作PH⊥FE于点H，过点C作CI⊥FE于点I，过点B作BJ⊥FE于点J，设FE交BC于点K，
∵∠PEF+∠BFE＝180°，且∠PEF+∠PEH＝180°，
∴∠BFE＝∠PEH，
∵∠PHE＝∠CIJ＝∠BJH＝90°，
又∵PE＝2BF，
∴△PEH∽△BJF，
∴BJ＝PH，
又∵CP∥AH，且CI∥PH，
∴四边形CPHI是矩形，
∴CJ＝PH，
又∵∠CJI＝∠BKJ，
∴BJ＝CI，
∴BK＝CK，
∴K（2，1），
设直线AF的解析式为y＝sx+n，
代入K点和A点的坐标得，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝x﹣1，
设直线PC的解析式为y＝x+g，
代入C点坐标得g＝3，
∴直线PC的解析式为y＝x+3，
联立直线PC和抛物线的解析式得，
解得或，
∴P（5，8）．
25.【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答；
（3）根据相似三角形的性质分两种情况解答．
【解答】解：（1）∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在Rt△EAD与Rt△FCD中，
，
∴△FAD∽△FCD，
∴，
∴tan∠EFD＝，
（2）由（1）可知FC＝2EA＝2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△FCH∽△FBE，
∴，
∴，
可得：y＝（0＜x＜2）；
（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝，EH＝，
∴，
∴EG＝，
∵∠BEG＝∠DHE，
若△BEG∽△DHE，则有两种情况，
第一种：
∵∠EGB＝∠HED，
∴，
∴，
即，
解得：x＝，
第二种：
∵∠EGB＝∠HDE，
∴，
∴，
即，
解得：x＝1.5．
综上所述，x的值为或1.5．
