2022—2023学年度第二学期期中综合测评
七年级数学
满分120分，考试用时90分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）计算2a2 （﹣3a）的结果是（ ）
A．6a3 B．﹣6a3 C．6a D．﹣6a
2．（3分）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2x﹣y）（2x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y）
C．（b﹣a）（b+a） D．（x﹣y）（﹣y﹣x）
3．（3分）如图，a，b，c三条直线两两相交，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠2是同位角 B．∠2与∠4是内错角
C．∠3与∠4是对顶角 D．∠1与∠3是同旁内角
4．（3分）如图，要把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥l，垂足为B，沿AB挖水沟，水沟最短．理由是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．过一点作已知直线的垂线有且只有一条
5．（3分）如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠AEC＝50°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．50° C．80° D．90°
6．（3分）如图，将一副三角板重叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若∠AOC＝125°，则∠BOD＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．（3分）一支签字笔的单价为2.5元，小涵同学拿了100元钱去购买了x（x≤40）支该型号的签字笔，写出所剩余的钱y与x间的关系式是（ ）
A．y＝2.5x B．y＝100﹣2.5x
C．y＝2.5x﹣100 D．y＝100+2.5x
8．（3分）如图，在用尺规作图得到△DBC≌△ABC过程中，先作∠DBC＝∠ABC，再作∠DCB＝∠ACB，从而得到△DBC≌△ABC，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．（3分）小明步行到学校参加联欢会，到学校时发现演出道具忘在家中，于是他马上按照原来的速度步行回家取道具，随后骑自行车加快速度返回学校，下面是小明离开家的距离S（米）和时间t（分）的函数图象，那么最符合小明实际情况的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α+β＝120°，∠EMF的度数为（ ）
A．57° B．58° C．59° D．60°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）6a2b+2a＝ ．
12．（3分）直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 度．
13．（3分）已知x2+（k﹣2）x+4是一个完全平方式，则k＝ ．
14．（3分）如图，AB∥DE，AC∥DF，若∠B＝35°，∠A＝75°，则∠D＝ ．
15．（3分）定义：如果一个正整数能够表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．因为3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12……，所以按从小到大的顺序，“智慧数”依次为3，5，7，8……，按此规律，则第10个“智慧数”是 ，第2022个智慧数是 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）；
（2）[ab（a2﹣ab）﹣a2b（a﹣b）]÷（﹣3a2b2）．
17．（8分）已知：如图，BE∥DF，∠B＝∠D．求证：AD∥BC．
18．（8分）如图，在小明的一张地图上，有A、B、C三个城市，但是图上城市C已被墨迹污染，只知道∠BAC＝∠α，∠ABC＝∠β，你能用尺规帮他在图中确定C城市的具体位置吗？
19．（9分）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+x（4﹣x），其中x＝．
20．（9分）一批茶叶的加工量y（千克）与加工时间x（天）之间的关系如折线图所示．该种茶叶在第1天、第3天的加工量分别为20千克、30千克，在第4天后每天的加工量比前一天增加10千克．
（1）分别求出x≤4和x≥4时y与x之间的关系式；
（2）如果茶叶的加工量大于或等于95千克时超过了加工能力则需要停止加工，多少天后停止加工？
21．（9分）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：
在数学中，“算两次”是一种常用的方法．其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式A＝B成立．例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是 ；
应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD，运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积，可以得到的等式是 ；
拓展：如图4，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是AB上一动点．求CD的最小值．
22．（12分）中国无人机研发技术后来居上，世界领先，如图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的函数关系图，上升和下降过程中速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
（1）图中的自变量是 ，因变量是 ；
（2）无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；
（3）在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分钟；
（4）图中a表示的数是 ；b表示的数是 ；
（5）求第14分钟时无人机的飞行高度是多少米？
23．（12分）将一副三角板中的两根直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
（2）试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：原式＝2×（﹣3）×a2×a
＝﹣6a3．
故选：B．
2． 解：（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，即此项不能利用平方差公式计算，
故选：B．
3． 解：A．∠1与∠2是直线a、直线b被直线c所截，所得到的同位角，因此选项A不符合题意；
B．∠2与∠4是直线a、直线c被直线b所截，所得到的同位角，因此选项B符合题意；
C．∠3与∠4是对顶角，因此选项C不符合题意；
D．∠1与∠3是直线b、直线c被直线a所截，所得到的同旁内角，因此选项D不符合题意；
故选：B．
4． 解：从题意：把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥l，垂足为点B，沿AB挖水沟，可知利用：垂线段最短．
故选：C．
5． 解：∵BE⊥AF，
∴∠BEF＝90°，
∵∠DEF＝∠AEC＝50°，
∴∠BED＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DEB＝40°，
故选：A．
6． 解：∵∠AOC＝125°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝35°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝55°．
故选：C．
7． 解：由题知，
因为签字笔每支2.5元，且小涵买了x支，
所以用取2.5x元．
故余下（100﹣2.5x）元．
所以剩余的钱y与x之间的关系式是y＝100﹣2.5x．
故选：B．
8． 解：在△DBC和△ABC中，
，
∴△DBC≌△ABC（ASA），
∴运用的三角形全等的判定方法是ASA，
故选：B．
9． 解：小明步行到学校参加联欢会，小明离开家的距离增大，按照原来的速度步行回家取道具，小明离开家的距离由大变小，随后骑自行车加快速度返回学校，小明离开家的距离增大，斜度增大，
故选：C．
10． 解：∵长方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DEG＝α，∠AFH＝β，
∴∠DEG+∠AFH＝α+β＝120°，
由折叠得：∠DEM＝2∠DEG，∠AFM＝2∠AFH，
∴∠DEM+∠AFM＝2×120°＝240°，
∴∠FEM+∠EFM＝360°﹣240°＝120°，
在△EFM中，
∠EMF＝180°﹣（∠FEM+∠EFM）＝180°﹣120°＝60°，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：6a2b+2a＝2a（3ab+1）．
故答案为：2a（3ab+1）．
12． 解：∵直角三角形的一个锐角为25°，
∴它的另一个锐角为90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
13． 解：∵x2+（k﹣2）x+4是一个完全平方式，
∴k﹣2＝±4，
解得：k＝6或﹣2，
故答案为：6或﹣2
14． 解：∵AB∥DE，
∴∠CGE＝∠A＝75°，
∵AC∥DF，
∴∠D＝∠CGE＝75°．
15． 解：“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列：
3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…
∴第10个“智慧数”是16；
观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，
∴第n组的第一个数为4n（n≥2，且n为正整数）．
∵2022÷3＝674，
∴第2022个智慧数是第674组中的第3个数，即为4×674+3＝2699．
故答案为：16，2699．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）原式＝﹣1﹣
＝﹣1；
（2）原式＝（a3b﹣a2b2﹣a3b+a2b2）÷（﹣3a2b2）
＝0÷（﹣3a2b2）
＝0．
17． 证明：∵BE∥DF，
∴∠E＝∠F，
∵∠B＝∠D，
∴∠DNF＝∠EMB，（根据三角形内角和定理）
∴AD∥BC．（内错角相等两直线平行）
18． 解：如图所示，点C为求作的点．
19． 解：原式＝x2﹣9+4x﹣x2
＝4x﹣9，
当x＝时，
原式＝1﹣9
＝﹣8．
20． 解：（1）当x≤4时，设y＝kx+b．
根据题意，得
，
解得，
∴当x≤4时，y＝5x+15；
∴当x＝4时，y＝5×4+15＝35；
当x≥4时，根据题意，得y＝10（x﹣4）+35，
即y＝10x﹣5．
∴当x≥4时，y与x之间的关系式是y＝10x﹣5．
（2）令y≥95，则10x﹣5≤95，
解得x≤10．
答：10天后停止加工．
21． 解：（1）从整体上看为边长为（a+b+c）的正方形，
所以面积为（a+b+c）2，
从各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）正方形A2B2C2D2的边长（a﹣b），因此面积为（a﹣b）2，
也可以看作边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a，宽为b的长方形的面积，
即（a+b）2﹣4ab，
因此有：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得，
当CD⊥AB时，CD最短，
由三角形的面积可得，
AC BC＝AB CD，
即6×8＝10CD，
∴CD＝4.8，
答：CD的最小值为4.8．
22． 解：（1）由图象可知，图中的自变量是时间（或t），因变量高度（或h）；
故答案为：时间（或t），高度（或h）；
（2）由图可知，无人机在75米高的上空停留的时间为12﹣7＝5（分钟）；
故答案为：5；
（3）由图可知，6～7分钟，无人机从50米上升到75米，
∵无人机上升和下降过程中速度相同，
∴在上升或下降过程中，无人机的速度为＝25（米/分钟）；
故答案为：25；
（4）无人机从0上升到50米所需时间为＝2（分钟），
∴图中a表示的数是2，
无人机从75米下降到0所需时间为＝3（分钟），
∴b表示的数是12+3＝15；
故答案为：2，15；
（5）第14分钟时无人机的飞行高度为75﹣25×（14﹣12）＝25（米），
∴第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
23． 解：（1）∵∠BCA＝∠ECD＝90°，∠BCD＝150°，
∴∠DCA＝∠BCD﹣∠BCA＝150°﹣90°＝60°，
∴∠ACE＝∠ECD﹣∠DCA＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∠ACE＝∠DCE﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝180°；
（3）当∠BCD＝120°或60°时，CD∥AB．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B+∠BCD＝180°时，CD∥AB，此时∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当∠B＝∠BCD＝60°时，CD∥AB．
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