初二数学期中模拟试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 1不是单项式 B. 的系数是
C. 是3次单项式 D. 是四次三项式
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 相反数等于本身的数是0； B. 绝对值等于本身的数是正数；
C. 倒数等于本身的数是0和1； D. 平方等于本身的数是0和；
3. 数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，且，，则AC等于（ ）
A 12 B. 8 C. 4 D. 2
5. 如图，数轴A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 多项式8x2﹣3x+5与3x3﹣4mx2﹣5x+7多项式相加后，不含二次项，则m值是（ ）
A. 2 B. 4 C. ﹣2 D. ﹣4
7. 母亲节这天，小明和妈妈到花店买花，每枝玫瑰是10元，每枝康乃馨是6元，小明买了a枝玫瑰，b枝康乃馨共花（ ）
A. 16a元 B. 16b元 C. 16（a+b）元 D. （10a+6b）元
8. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11. 等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为__________．
12. 的相反数是___________．
13. 已知，则代数式_____．
14. ____ (填“>”或“ = ”或“ < ”)
15. 整式的值是2，则的值是______．
16. 如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为_______．
17. 如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为___________．
18. 如图，中，，，的面积12．点、、分别是三边、、上的动点，则周长的最小值为___________．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 计算题：
（1）；
（2）；
20. 化简：
（1）
（2）
21. 先化简，再求值：
，其中．
22. 如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点A、B表示的数是互为相反数，请回答下列问题：
（1）那么点C表示数是多少？
（2）把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，．
（3）将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来．
23. 如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .
24. 如图，是的两条高，P是边的中点，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
25. 如图，在中，，点在射线上，且，点在的延长线上，且，
（1）若，则_______；
（2）在（1）条件下，把题中的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？证明你的猜想．
（3）如果把第（1）题中“”的条件改为“”，其余条件不变，请画出对应的示意图，猜想与有怎样的数量关系并加以验证．
26. 如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当为直角三角形时，求t的值；
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
27. 【问题探究】
（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】
（3）如图3，四边形中，，，，，，则 ．（直接写出答案）初二数学期中模拟试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 1不是单项式 B. 的系数是
C. 是3次单项式 D. 是四次三项式
【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式，单项式的系数和次数，多项式的项和次数的概念进行分析判断．
【详解】解：A、1是单项式，故此选项不符合题意；
B、的系数是，故此选项不符合题意；
C、是3次单项式，故此选项符合题意；
D、是二次三项式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式和多项式，掌握单项式和多项式的定义是关键．
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 相反数等于本身的数是0； B. 绝对值等于本身的数是正数；
C. 倒数等于本身数是0和1； D. 平方等于本身的数是0和；
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了相反数、绝对值、倒数等定义和平方运算，分别利用这几个定义或运算法则逐一判断解决问题．
【详解】解：A、相反数等于本身的数是0，说法正确；
B、绝对值等于本身的数是正数和0，说法错误；
C、倒数等于本身的数是和1，说法错误；
D、平方等于本身的数是0和，说法错误；
故选A．
3. 数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由数轴上表示数和的点到原点的距离相等且，可得和互为相反数，由此即可求得m的值．
【详解】∵数轴上表示数和的点到原点的距离相等，，
∴和互为相反数，
∴+=0，
解得m=-1．
故选D．
【点睛】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出和互为相反数是解决问题的关键．
4. 在中，，且，，则AC等于（ ）
A. 12 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据中，，且，，运用勾股定理得出AC=8．
【详解】∵在中，，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．
5. 如图，数轴A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得： 不妨令 再逐一计算，从而可得答案.
【详解】解：
不妨令
故A，B，C不符合题意，D符合题意，
故选D
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的含义，有理数的加减乘除运算，掌握“利用特值法解决选择题”是解本题的关键.
6. 多项式8x2﹣3x+5与3x3﹣4mx2﹣5x+7多项式相加后，不含二次项，则m的值是（ ）
A. 2 B. 4 C. ﹣2 D. ﹣4
【答案】A
【解析】
【分析】将两个多项式进行合并后令二次项的系数为0即可求出m的值．
【详解】（8x2﹣3x+5）+（3x3﹣4mx2﹣5x+7）＝8x2﹣3x+5+3x3﹣4mx2﹣5x+7＝3x3+（8﹣4m）x2﹣8x+13，
令8﹣4m＝0，
∴m＝2，
故选A．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
7. 母亲节这天，小明和妈妈到花店买花，每枝玫瑰是10元，每枝康乃馨是6元，小明买了a枝玫瑰，b枝康乃馨共花（ ）
A. 16a元 B. 16b元 C. 16（a+b）元 D. （10a+6b）元
【答案】D
【解析】
【分析】首先表示出枝玫瑰共元，枝康乃馨共元，再相加即可．
【详解】解：枝玫瑰共元，枝康乃馨共元，则买了枝玫瑰，枝康乃馨共花元．
故选：D
【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
8. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则△DCE的面积为（ ）
A. B. C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由EF垂直平分AC可得AE=CE，设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出x的长，继而根据三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，∠D=90°，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
设CE＝x，则ED＝AD﹣AE＝4﹣x，
Rt△CDE中，CE2＝CD2+ED2，
即x2＝22+(4﹣x)2，
解得：x＝，
即CE的长为，
DE＝4﹣＝，
所以△DCE的面积＝××2＝，
故选B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解法二：过点E作EG⊥AC于G，先在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC=4，再根据三角形面积求得CD=，在Rt△ADC中，由勾股定理，求得AD=，然后证△AGE≌△ADE(AAS)，得出AG=AD=，EG=ED，从而得CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG，设CE=x，则EG=-x，在Rt△CGE中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：解法一：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4，
∴，
∵FC=FG，
∴，
解得：FC=，即CE的长为．
故选：A．
解法二：过点E作EG⊥AC于G，如图，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
，
∵CD⊥AB，
∴，
∴，
∴CD=，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得
，
∵AF平分∠BAC，
∴∠GAF=∠DAF，
∵EG⊥AC，CD⊥AB，
∴∠AGE=∠ADE=90°，
∵AE=AE，
∴△AGE≌△ADE(AAS)，
∴AG=AD=，EG=ED，
∴CG=AC-AG=3-=，CE=CD-DE=CD-EG，
设CE=x，则EG=-x，
在Rt△CGE中，由勾股定理，得
，即，
解得：x=，即CE的长为．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
10. 如图，菱形的边长为是边的中点，是边上的一个动点，将线段绕着逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，此时CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E'点重合，再在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，求EC的长.
【详解】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B
，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM=AE，
∵HB⊥HM，AB=4，∠A=60°，
∴MB=2，∠HMB=60°，
∴HM=1，
∴AE'=2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB=∠MHB=90°，
∴∠CBE=90°，
在Rt△EBC中，EB=2，BC=4，
∴EC=2，
故选B
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键．
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
11. 等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【详解】解：当4为腰时，
∵，
∴不能够构成三角形，
当9为腰时，周长为，
故答案为：．
12. 的相反数是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0”是解题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故答案为：．
13. 已知，则代数式_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查整式的加减，代入求值，掌握整体代入是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. ____ (填“>”或“ = ”或“ < ”)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值，两个负数比较大小，先分别求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后根据“绝对值大的反而小”，即可判断．
【详解】解：，故，故．
故答案为：．
15. 整式的值是2，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的值，将化简代入即可；
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了代数值求值，解题的关键是对进行化简．
16. 如图是一个计算程序，若输入值为，则输出的结果应为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据程序进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．
17. 如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为___________．
【答案】7
【解析】
【分析】连接，由点I为的内心，得出平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得，的周长，即可得出结果．
【详解】解: 连接，如图所示
点I为的内心
平分
由平移得
同理可得
的周长
即图中阴影部分的周长为7
故答案为：7
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键．
18. 如图，中，，，的面积12．点、、分别是三边、、上的动点，则周长的最小值为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】作于点，作点关于的对称点，作点关于的对称点，根据可以证明是等边三角形，连接，交于点，交于点，连接、，对称性可得周长的最小值即为的长，然后根据三角形的面积即可求出的长，进而可得周长的最小值．
【详解】解：如图，作于点，作点关于的对称点，
，，
作点关于的对称点，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
连接，交于点，交于点，连接、，
，，
周长的最小值即为的长，
，
即，
解得，
，
所以周长的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、三角形的面积，解决本题的关键是作对称点和，推导出周长的最小值即为的长．
三．解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 计算题：
（1）；
（2）；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
20. 化简：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则进行计算即可；
（2）先去括号，再根据整式的加减混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握合并同类项的法则和去括号的法则，注意括号前是负号时要变号．
21. 先化简，再求值：
，其中．
【答案】4ab2，16
【解析】
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，利用非负数的性质求出，即可求出原式的值．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
∴原式＝4×1×(-2)2=16．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，非负数的性质，解题的关键是求出的值．
22. 如图，直线上的相邻两点的距离为1个单位，如果点A、B表示的数是互为相反数，请回答下列问题：
（1）那么点C表示的数是多少？
（2）把如图的直线补充成一条数轴，并在数轴上表示：，，，．
（3）将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了数轴的应用，相反数的性质，去括号和去绝对值符号：
（1）由相反数性质可得原点的位置，进而可知点C表示的数；
（2）根据数轴三要素：正方向、原点、单位长度，对数轴进行补充，并在数轴上表示出对应的数；
（3）按照（2）中数轴上表示的数，从左到右依次用“”连接即可．
【小问1详解】
解：点A、B表示的数是互为相反数，直线上的相邻两点的距离为1个单位，
点A、B到原点的距离均为2个单位，点A在原点左侧，
点C在原点左侧，到原点的距离为4个单位，即点C表示的数为；
【小问2详解】
解：由题可知，，，
在数轴上表示如下：
【小问3详解】
解：由（2）中数轴可知，．
23. 如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD, 画出△ABD的AD边上的高 .
【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线；
（2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高 .
【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；
（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.
【点睛】本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.
24. 如图，是的两条高，P是边的中点，连接．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得结论；
（2）根据可得，利用等边对等角得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵是的两条高，
∴和是直角三角形，
又∵P为的中点，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵P为的中点，
∴，
又∵，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，三角内角和定理的应用，关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半．
25. 如图，在中，，点在射线上，且，点在的延长线上，且，
（1）若，则_______；
（2）在（1）的条件下，把题中的条件去掉，其余条件不变，那么的度数会改变吗？证明你的猜想．
（3）如果把第（1）题中“”的条件改为“”，其余条件不变，请画出对应的示意图，猜想与有怎样的数量关系并加以验证．
【答案】（1）45 （2）不变，见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出、，结合图形计算，得到答案；
（2），仿照（1）的解法计算即可；
（3）根据题意画出图形，设，，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质用表示出，证明结论．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：45；
【小问2详解】
的度数不会改变，
证明如下：设，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
画出对应的示意图如图2所示，
猜想：，
证明如下：设，，
则，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
26. 如图，在中，，动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒．
（1）当为直角三角形时，求t的值；
（2）当为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）4或
（2）5或8或
【解析】
【分析】（1）依题意，，分情况讨论①，点与点重合，②，勾股定理即可求得的值；
（2）分情况讨论：①，直接可得的值，②，根据三线合一可得，③，在中勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
动点P从点A出发，沿射线以的速度运动，
，
①当时，如图，点与点重合，
，
，
②当，，，
在中，，
在中，，
，
解得，
综上所述，或，
【小问2详解】
解：①当时，，
②当时，
，
，
③当时，
，，
在中，，
，
解得．
综上所述，当是等腰三角形时，或或．
【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形，掌握勾股定理以及分类讨论是解题的关键．
27. 【问题探究】
（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；
【变式思考】
（3）如图3，四边形中，，，，，，则 ．（直接写出答案）
【答案】（1），理由见解析（2）见解析（3）33
【解析】
【分析】（1）由已知条件证明，可得结论；
（2）在的外部作，使，，连接、，先证明，可得，再证明，根据勾股定理求出的值，即得到的值；
（3）先证明是等边三角形，再将绕点沿逆时针方向旋转，得到，可得是等边三角形，求得，根据勾股定理求出长，即可得到的值．
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
，，
，
；
（2）如图2，在的外部作，使，，连接、．
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图3，，，
是等边三角形，
，，
将绕点沿逆时针方向旋转，得到，
则，，
是等边三角形，
，，
由旋转得，，
，
，
，
．
故答案为：33．
【点睛】此题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形、等边三角形等，以便进一步分析和解决问题．
