专题6.4 动角问题专项训练（40道）
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的所有类型！
1．解答题（共40小题）
1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)
(1)如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，则∠AOD垂角为 和 ；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数；
(3)如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，和互为垂角．
2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、O、A共线且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD．
如图2，将射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，∠BOC停止运动．设射线OD的运动时间为t．
(1)运动开始前，如图1，∠AOM＝ °，∠DON＝ °；
(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OB平分∠AON？
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝35°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
4．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
5．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是角，每个小格对应的是角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器刻度线重合，边AP与量角器刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边PB与刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当时，__________；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时， 射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当时， 求的度数；
(2)当与重合时，求的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线始终平分 ，问：是否存在的值， 使得 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
8．（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）
(1)当t=2时，∠MON=_______，∠AON=_______；
(2)当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON=60°．试求出t的值；
(3)当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？
9．（2022·福建·泉州七中七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
10．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD 射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 ；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
11．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝ ．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 ．
12．（2022·天津南开·七年级期末）已知：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边ON在射线OB上，另一直角边OM在直线AB的下方．
（1）将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON旋转后的对应边为ON'，直角边OM旋转后的对应边为OM'．在此过程中，经过t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；
（2）如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当射线OC'落在射线OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得OC'//M'N'．若存在，请求出t的值，若不存在，诮说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒5°的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当等腰直角三角板停止运动时，射线OC也停止运动．在整个运动过程中．经过l秒后，∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，请直接写出所有满足条件的t的值．
13．（2022·山西晋中·七年级期末）综合与探究：射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．
完成下列任务：
（1）如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ．（用含的代数式表示）
（2）如图3，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．
14．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
15．（2022·浙江杭州·七年级期中）在同一平面内的三条射线、、，①当射线在内时，若满足，则称射线是【】的好线；若满足，则称射线是【】的好线；②当射线在外时，若满足，称射线是【】的皮线．
（1）如图1，，则射线是【】的好线，又是【】的皮线；射线______是【】的好线，又是____的皮线．
（2）如图2，点O在线段上，，求【】的好线与的夹角（写出完整的解答过程）．
（3）如图3，点O在直线上，∠，射线从位置出发以每秒的速度绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为）秒．
①求当t为何值时，【】的皮线与垂直？
②若有射线从位置与射线同时出发以每秒的速度绕着点O顺时针方向旋转，并与射线同时停止运动，求当t为何值时，、、三条射线中恰好能使得其中一条为其余两条的好线（直接写出答案）．
16．（2022·广东汕头·七年级期末）已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
17．（2022·湖北武汉·七年级期末）问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．
(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．
18．（2022·四川·麓山师大一中七年级阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，则______°．
（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．
（3）将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转；同时，射线也绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，当射线恰好平分时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
19．（2022·山东临沂·七年级期末）已知，OC为内部的一条射线，．
（1）如图1，若OE平分，OD为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当时，求t的值．
20．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求的值；
（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．
21．（2022·福建·莆田华亭第一中学七年级期末） 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
22．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角形板绕点按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度是____°；
（2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_____________°；
（3）在上述直角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，三角板绕点运动时间为__秒，并说明理由．
23．（2022·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动.设三角尺的运动时间为（秒）
（1）当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;
（2） 秒时，边平分;
（3）若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，
①当为何值时，边平分;
②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得.若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由.
24．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°
(2)如图②，若，，则______°
(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．
25．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？
26．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α．
(1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；
(2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；
(3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，请直接写出此时n的值．
27．（2022·山东临沂·七年级期末）定义：在同一平面内，有公共端点的三条射线中，一条射线是另两条射线组成夹角的角平分线，我们称这三条射线为“共生三线”．
如图为一量角器的平面示意图，O为量角器的中心．作射线OA，OB，OC，并将其所对应的量角器内圈刻度分别记为a°，b°，m°．
(1)若射线OA，OB，OC为“共生三线”，且OC为的角平分线．
①如图1，，，则______；
②当，时，请在图2中作出射线OA，OB，OC，并直接写出m的值；
③根据①②的经验，得______．（用含a，b的代数式表示）．
(2)如图3，，．将OA，OB，OC按逆时针方向绕点O同时旋转，旋转速度分别为每秒10°，8°，6°，若旋转t秒后得到的射线，，第一次成为“共生三线”，求t的值．
28．（2022·福建莆田·七年级期末）将一副直角三角板AEF，AGH如图1摆放在直线PQ上，其中A，E，G三点在直线PQ上，三角板AEF在直线PQ上方，三角板AGH在直线PQ下方，∠GAH＝90°，∠FAE＝60°．
(1)将三角板AGH从图1位置开始绕点A逆时针旋转至图2所示的位置，则∠HAE﹣∠FAG＝_______；
(2)若三角板AEF和三角板AGH同时从图1所示的位置分别以速度1、6（度/秒）绕点A逆时针旋转，问：经过多少秒后，AH和AF第一次重合；
(3)三角板AGH旋转到直线PQ上方，点B在射线AQ上，若射线AB绕点A顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠BAP＝2∠PAG，AC平分∠HAF，当∠BAC＝∠PAF时，求n的值．
29．（2022·福建·厦门一中七年级期末）如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①当，时，______，______，______；
②______（用含有或的代数式表示）．
(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：
①当OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度数为______；
②当OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度数为______；
（∠MON的度数用含有或的代数式表示）
(3)如图（4），当，时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，∠MON的度数是40°？
30．（2022·北京·清华附中七年级期末）已知，，，分别平分，．
(1)如图1，当，重合时， 度；
(2)若将的从图1的位置绕点顺时针旋转，旋转角，满足且．
①如图2，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
②在旋转过程中，请用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案．
31．（2022·湖南长沙·七年级期末）如图1，在数轴上A、B两点对应的数分别是6，－6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）．
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝________；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝________；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α，β满足|α－β|＝75°，请求出t的值．
32．（2022·四川·达州市第一中学校七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1＝80°，∠2＝20°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙伴角”．
（1）如图1，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠EOD＝90°，∠AOE＝60°，则∠AOE的“伙伴角”是 ；
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC＝30°，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒；
①当t为何值时，OD为∠AOC的角平分线；
②当t为何值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”．
33．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）在图①，若，直接写出的度数_________（用含a的代数式表示）；
（3）将图①中的绕顶点O顺时针旋转至图②的位置．
①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在的内部有一条射线，满足，试确定与的度数之间的关系，说明理由．
34．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）【阅读理解】
如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．
(1)∠AOB的角平分线 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC＝ ．
【问题解决】
(3)如图②，已知∠AOB=150°，射线OP从OA出发，以20°/s的速度顺时针方向旋转，射线OQ从OB出发，以10°/s的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当其中一条射线旋转到与∠AOB的边重合时，运动停止，设旋转的时间为t（s），当t为何值时，射线OP是以射线OA、OQ为边构成角的幸运线？试说明理由．
35．（2022·湖北黄冈·七年级期末）已知：如图1，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当时，试求的值；
(3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果）
36．（2022·湖北武汉·七年级期末）已知如图，线段
（1）若，则_______________；
（2）如图，，为内部的一条射线，是四等分线，且，求的值；
（3）如图，，射线绕着点从开始以度/秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）．
37．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
（1）的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
（2）三角尺旋转的度数可表示为___________（用含t的代数式表示）：当___________时，．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
（3）当t为何值时，，并说明理由？
（4）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
38．（2022·重庆·七年级期末）如图1，，，、分别为和的角平分线．
（1）若，则_________°；
（2）如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为秒．
①当平分时，求出对应的的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
39．（2022·福建泉州·七年级期末）一副三角板，
（1）按如图①所示方式放置，点三点共线，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若分别是与内部的一条射线，且均以点为中心，分别从位置出发，以度/秒、度/秒的旋转速度沿逆时针方向旋转，当与重叠时，所有旋转均停止，试说明:当旋转秒后，
（3）若三角板 (不含角)是一块非标准三角板，按如图②所示方式放置，使，作射线，若，求与的度数之比．
40．（2022·重庆巴蜀中学七年级开学考试）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°)
(1)如图1，求∠MON的度数；
(2)若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒
①当时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系；
②当且时，若，则t=______.
专题6.4 动角问题专项训练（40道）
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了动角的综合问题的所有类型！
一．解答题（共40小题）
1．（2022·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)
(1)如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，则∠AOD垂角为 和 ；
(2)如果一个角的垂角等于这个角的补角的 ，求这个角的度数；
(3)如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，和互为垂角．
【答案】(1)∠COD，∠AOE
(2)18°或126°
(3)2s或14s
【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为等量关系列方程求解；
( 3 )根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．
(1)
∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；
故答案为：∠COD，∠AOE；
(2)
设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：
90+x＝( 180﹣x )，
解得：x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是(x﹣90)度，根据题意得：
x﹣90＝(180﹣x)，
解得：x＝126，
∴这个角的度数为18°或126°；
(3)
分三种情况：
①当0＜t＜5时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，
∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝2；
②当5＜t＜10时，∠AOC＝(90﹣9t )°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝﹣10(舍去)；
③当10＜t＜20时，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴( 210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，
解得：t＝14．
综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和新定义以及角的有关计算等知识，解此题的关键是理解题意，能准确从图中找出角之间的关系，并利用方程模型计算出结果．
2．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点D、O、A共线且∠COD＝20°，∠BOC＝80°，射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD．
如图2，将射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转一周，同时将∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，∠BOC停止运动．设射线OD的运动时间为t．
(1)运动开始前，如图1，∠AOM＝ °，∠DON＝ °；
(2)旋转过程中，当t为何值时，射线OB平分∠AON？
(3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得∠MON＝35°？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)40°，50°
(2)当t为10时，射线OB平分∠AON；
(3)存在，符合条件的t的值为或25．
【分析】（1）根据角平分线的定义直接计算即可；
（2）根据∠AOB=∠NOB列方程求解即可；
（3）分情况根据∠MON=35°列方程求解即可．
(1)
解：∵∠COD=20°，∠BOC=80°，
∴∠BOD=20°+80°=100°，
∠AOB=180°-∠BOD=180°-100°=80°，
∵射线OM，ON分别平分∠AOB和∠BOD，
∴∠AOM=∠AOB=40°，∠DON=∠BOD=50°，
故答案为：40，50；
(2)
解：∵射线OD以每秒6°的速度绕点O顺时针旋转，∠BOC以每秒4°的速度绕点O顺时针旋转，
∴∠BOD=100°+4°t-6°t=100°-2°t，
∵∠AOB=180°-80°-20°-4°t=80°-4°t，
∴×（100°-2°t）=80°-4°t，
解得：t=10，
∴当t为10时，射线OB平分∠AON；
(3)
解：存在某一时刻使得∠MON=35°，分以下两种情况：
①OM在OA上方，
此时∠NOB+∠BOM=35°，
即×（100°-2°t）+×（80°-4°t）=35°，
解得t=，
②OM在OA下方，
即×（100°-2°t）+（4°t-80°）=35°，
解得t=25，
综上，符合条件的t的值为或25．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据角的关系列方程求解是解题的关键．
3．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的3倍，则称射线为的“幸福线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
(1)角的三等分线________这个角的“幸福线”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，，射线为的“幸福线”，求的度数；
(3)如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸福线”，求出所有可能的值．
【答案】(1)是；
(2)，，，；
(3)或或．
【分析】（1）若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义；
（2）根据“幸福线”的定义可得当时，当时，当时，当时，然后根据角的和差关系进行求解即可；
（3）由题意可分①当时在与重合之前，则有，，由是的“幸福线”可进行分类求解；②当时，在与重合之后，则有，，由是的“幸福线”可分类进行求解．
（1）
解：若OC为∠AOB的三等分线，则有，符合“幸福线”的定义，所以角的三等分线是这个角的“幸福线”；
故答案为：是．
（2）
解：由题意得：
∵，射线为的“幸福线”，
∴①当时，则有：；
②当时，则有；
③当时，则有；
④当时，则有：；；
综上所述：当射线为的“幸福线”时，∠AOC的度数为，，，；
（3）
解：∵，
∴射线ON与OA重合的时间为（秒），
∴当时在与重合之前，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（舍去），
②，即，，
③，即，；
④，即，（舍去）；
当时，在与重合之后，如图所示：
∴°，°，
是的“幸福线”，则有以下三类情况：
①，即，（不符合题意，舍去），
②，即，（不符合题意，舍去）；
③，即，；
④，即，不存在；
综上：或或．
【点睛】本题主要考查角的三等分点的计算及角的动点问题，熟练掌握角的三等分点的计算及角之间的和差关系是解题的关键．
4．（2022·四川成都·七年级期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
(1)如图1，射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
(2)如图2，点O在直线MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
【答案】(1)不是；是
(2)①或；②160°或172°
【分析】（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．当∠AOC=2∠AOB时，如图，则：90-4t=2×40．解得：t=，当∠AOB=2∠AOC时，如图，则：40=2（90-4t）．解得：t=，综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为或；②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．当∠COM=2∠COD时，如图，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），则：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．当∠COD=2∠COM时，如图，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．
5．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是角，每个小格对应的是角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数．
(2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为，时针的位置为，运动后的分针为，时针为．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？
【答案】(1)
(2)分钟
(3)分钟或分钟或48分钟
【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数；
（2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；
（3）分平分，平分，平分三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．
（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，，即分针与时针所夹的锐角的度数是．
（2）解：设x分钟后分针第一次追上时针．8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，，由题意，，解得，即8：00开始分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．分三种情况：如图①，当平分时，，∴，解得；如图②，当平分时，，∴，解得；如图③，当平分时，，∴，解得；综上，运动分钟或分钟或48分钟后，，，这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．
6．（2022·贵州铜仁·七年级期末）沿河县某初中七年级的数学老师在课外活动中组织学生进行实践探究，用一副三角尺（分别含，，和，，的角）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器刻度线重合，边AP与量角器刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，当边PB与刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t秒．
(1)当时，__________；
(2)若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)85
(2)①当t=时，边PB平分∠CPD；②当t=或t=时，∠BPD=2∠APC．
【分析】（1）当t=5秒时，计算出边BP旋转的角度的大小即可得出结论；
（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，利用角平分线的定义可得∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，利用含t的代数式分别表示出∠MPB和∠BPD的度数，列出关于t的方程，解方程即可求解；
②设时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程得出的角度的大小列出方程即可求得结论．
（1）
解：当t=5秒时，由旋转知，边BP旋转的角度为：10°×5=50°，
∴∠BPD= 180°-（45°+50°）=85°，
故答案为：85；
（2）
解：①如图1所示：
由题意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB=∠BPD=∠CPD=30°，
由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：
10°t+45°+30°+2°t=180°，
解得，t=，
∴当t=时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，存在某一时刻使∠BPD=2∠APC．
∵运动时间为t秒，则∠APM=10°t，∠DPN=2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
此时，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（120°-12°t），
解得：t=，
因为当t=时，运动的情况刚好同解答图的图1，
此时∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；
Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：
此时，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，
∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，
∵∠BPD=2∠APC，
∴135°-12°t=2（12°t-120°），
解得：t=．
当PB在PD的右侧时，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，
则12°t-135°=2（12°t-120°），
解得：t=，
此时PB在PD的左侧，所以和假设情况矛盾，不符合题意，舍去．
综上所述，当t=或t=时，∠BPD=2∠APC．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，设运动的时间为t，用含t的代数式表示出∠APC与∠BPD的值是解本题的关键．
7．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图1, 已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时， 射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后又以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线 重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为t（s）．
(1)当时， 求的度数；
(2)当与重合时，求的值；
(3)如图2，在旋转过程中， 若射线始终平分 ，问：是否存在的值， 使得 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的度数为90°
(2)的值为20或60
(3)存在，的值为15或22.5或45
【分析】（1）根据题意可得：当时， ，，即可求解；
（2）分两种情况：当射线没有到达射线，与重合时，当射线到达射线后返回，与重合时，即可求解；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，即可求解．
(1)
解：当时，
，，
∵，
∴ ；
(2)
解： 当射线没有到达射线，与重合时， ，
根据题意得： ，，
∴ ，
解得： ；
当射线到达射线后返回，与重合时， ，
根据题意得： ， ，
∴，
解得： ；
综上所述，当与重合时， 的值为20或60；
(3)
解：存在，的值为15或22.5或45，使得 ，理由如下：
由（2）得：当时，与第一次重合，当 时，到达射线，当 时，射线与射线 重合，
当时， ，，
∴ ， ，
∵射线平分 ，
∴ ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ，，
∴ ，
∴ ， ，
∵，
∴，
解得： ；
如图，当时， ， ，
∴ ，，
∴ ，
∴，
解得： ；
综上所述，当的值为15或22.5或45时，使得 ．
【点睛】本题主要考查了有关角平线的计算，角的和与差，利用方程思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．
8．（2022·福建·厦门市逸夫中学七年级期末）如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）
(1)当t=2时，∠MON=_______，∠AON=_______；
(2)当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON=60°．试求出t的值；
(3)当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？
【答案】(1)144°，66°
(2)秒或10秒
(3)当0＜t＜时，的值是1；当＜t＜6时，的值不是定值
【分析】（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论；
（2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值；
（3）分两种情况，分别计算∠BON、∠COM和∠MON的度数，代入可得结论．
(1)
由题意得：
当t=2时，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°，
故答案为：144°，66°；
(2)
当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s）
当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）
如图所示，①当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=，
②当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，
由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，
综上，t的值为秒或10秒；
(3)
当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90+12t=180，解得t=，
如图所示，①当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴（定值），
②当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，
∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
，
∴（不是定值）．
综上所述，当0＜t＜时，的值是1；当＜t＜6时，的值不是定值．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
9．（2022·福建·泉州七中七年级期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．
①求t值；
②试说明此时ON平分∠AOC；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；
（3）如图3若∠AOC＝60°，将三角尺从图1的位置开始绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转．当ON与OC重合时，射线OC开始绕点O以每秒20°的速度沿顺时针方向旋转，三角尺按原来的速度和方向继续旋转，当三角板运动到OM边与OA第一次重合时停止运动．当射线OC运动到与OA第一次重合时停止运动．设三角形运动的时间为t．那么在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线？若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①t=3；②见解析；（2）β=α+60°；（3）t=15或t=24或t=54
【分析】（1）①求出∠BOC，利用角平分线的定义求出∠BOM，进而求出∠AON，然后列方程求解；
②求出∠CON=15°即可求解；
（2）用含t的代数式表示出α和β，消去t即可得出结论；
（3）分三种情况列方程求解即可．
【详解】解：（1）①∵∠AOC＝30°，
∴∠COM=60°，∠BOC=150°，
∵OM恰好平分∠BOC，
∴∠BOM=∠BOC=75°，
∴∠AON=180°-90°-75°=15°，
∴5t=15，
∴t=3；
②∵∠AOC=30°，∠AON=15°，
∴∠CON=15°，
∴此时ON平分∠AOC；
（2）由旋转的性质得，∠AON＝α=5t①，∠COM＝β=60°+5t②，
把①代入②，得
β=α+60°；
（3）当ON与OC重合时，60÷5=12秒，
当OC与OA重合时，(360-60)÷20+12=27秒，
当OC平分∠MON，且OC未与OA重合时，则∠CON=45°，
由题意得，60+20(t-12)-5t=45，
解得t=15；
当OM平分∠CON，且OC未转到OA时，则∠CON=180°，
由题意得，60+20(t-12)-5t=180，
解得t=24；
当OM平分∠CON，且OC转到OA时，则∠AOM=90°，
由题意得，∴360-90=5t，
∴t=54，
综上可知，当t=15或t=24或t=54时， ON，OM两条边所在的射线及射线OC，三条射线中的某一条射线是另两条射线的角平分线．
【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，以及一元一次方程的定义，正确识图是解答本题的关键．
10．（2022·江苏盐城·七年级期末）【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．
【解决问题】
（1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD 射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 ；（用含n的代数式表示）
（3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？
【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒
【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断；
（2）根据“友好线”定义即可求解；
（3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可．
【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵∠COA＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠AOD，
∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”．
（2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n，
∴∠BOM＝∠AOB＝n，
∵ON平分∠AOB，
∴∠BON＝∠AOB＝n，
∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n；
（3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”．
当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB，
所以3x＝（180﹣5x﹣3x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”．
当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB，
所以180﹣5x﹣3x＝×3x，
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”．
当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC，
所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x），
解得x＝（符合题意），
即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”．
当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB，
所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180），
解得x＝30（符合题意），
即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”．
综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键．
11．（2022·湖北武汉·七年级期末）定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线”．
（1）如图1，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则∠AOC＝ ．
（2）如图2，射线OB为∠COD的“二倍角线”，且∠DOB＝2∠BOC．射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，问的值是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由；
（3）如图3．已知∠AOB＝120°，射线OC、OD为∠AOB的“二倍角线”，且∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线．OB、OM、ON三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边组成的角的“二倍角线”，直接写出t所有可能的值 ．
【答案】（1）60°或80°或40°．；（2）的值是定值，定值为2；（3）12秒或秒．
【分析】（1）根据“二倍角线”的概念分三种情况讨论，分别求解即可；
（2）根据角平分线的定义得到，然后由∠DOB＝2∠BOC进一步得到，设，根据题意分别表示出和，即可求出的值；
（3）首先根据∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，得出，根据题意分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】解：（1）当时，
；
当时，
∵，
∵，解得：；
当时，
∵，
∵，解得：；
故答案为：60°或80°或40°．
（2）∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，
又∵∠DOB＝2∠BOC，，
∴，
∴设，
∴
∴的值是定值2；
（3）∵∠COB＝2∠AOC．∠AOD＝2∠BOD，
又∵，，
∴，
∴，
∵射线OM、ON分别为∠AOC、∠BOD的平分线，
∴，，
∴，
将∠COD绕点O以10°/秒的速度顺时针转动，运动时间为t秒（0≤t≤14），
∴当时，在内部，
∵，
，
，
∴当时，，解得：，舍去，
当时，，解得：，舍去，
当时，，解得：，舍去
当时，此时在内部，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：应舍去，
当时，此时在内部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，
当 时，此时在内部，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，即，解得：，
当时，即，解得：，应舍去，
当时，即，解得：，应舍去，
综上所述，t的值为12秒或秒．
【点睛】此题考查了新定义角度问题，角平分线有关计算，解题的关键是正确分析题目中角度之间的等量关系，分情况讨论列出方程求解．
12．（2022·天津南开·七年级期末）已知：如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：5．将一等腰直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边ON在射线OB上，另一直角边OM在直线AB的下方．
（1）将图1中的等腰直角三角板绕点O以每秒3°的速度逆时针方向旋转一周，直角边ON旋转后的对应边为ON'，直角边OM旋转后的对应边为OM'．在此过程中，经过t秒后，OM'恰好平分∠BOC，求t的值；
（2）如图2，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当射线OC'落在射线OC的反向延长线上时，射线OC和等腰直角三角板同时停止运动．在此过程中，是否存在某一时刻t，使得OC'//M'N'．若存在，请求出t的值，若不存在，诮说明理由；
（3）如图3，在（1）问的条件下，若等腰直角三角板在转动的同时，射线OC也绕点O以每秒5°的速度顺针方向旋转，射线OC旋转后的对应射线为OC'．当等腰直角三角板停止运动时，射线OC也停止运动．在整个运动过程中．经过l秒后，∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'，请直接写出所有满足条件的t的值．
【答案】（1）55；（2）15或；（3）t=30或或或
【分析】（1）当OM'恰好平分∠BOC时，OM'需要旋转90°＋∠BOC＝165°，进而求解；
（2）第一种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’ N’＝45°，进而求解；第二种情况：当OC'∥M'N'时，∠C’OM’＝∠OM’ N’＝45°，进而求解；
（3）分四种情况：①当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB上方时，②当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB下方时，③当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB上方时，④当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB下时，分别画出图形，即可求解．
【详解】解：（1）设∠AOC＝x，则∠BOC＝5x，x＋5x＝180°，
∴∠AOC＝30°，则∠BOC＝150°．
当OM'恰好平分∠BOC时，
OM'需要旋转90°＋∠BOC＝165°，
165°÷3＝55，
所以，t＝55；
（2）第一种情况：
当OC'∥M'N'时，
∠C’ON’＝∠ON’M’＝45°，
此时t＝（150° 45°）÷（3°＋4°）＝15，
第二种情况：
当OC'∥M'N'时，
∠C’OM’＝∠OM’ N’＝45°，
此时t＝（240°＋45°）÷（3°＋4°）＝；
（3）分四种情况：
①当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB上方时，
则2∠AON’＝∠AOC’，即2(180° 3t)＝（30°＋5t），解得：t＝30，
②当ON’平分∠AOC’，且ON’在直线AB下方时，
则2∠AON’＝∠AOC’，即2(3t-180°)＝（360°-30°-5t），解得：t＝，
③当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB上方时，
则2∠AOM’＝∠AOC’，即2(270°-3t)＝（5t+30°-360°），解得：t＝，
④当OM’平分∠AOC’，且OM’在直线AB下时，
则2∠AOM’＝∠AOC’，即2(3t-270°)＝（720°-30°-5t），解得：t＝
综上所述：∠M'ON'的某一边恰好平分∠AOC'， t=30或或或．
【点睛】本题是角的计算以及一元一次方程的应用，主要考查了图形旋转时角的变化等，分类画出图形求解，是解题的关键．
13．（2022·山西晋中·七年级期末）综合与探究：射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线．
完成下列任务：
（1）如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ．（用含的代数式表示）
（2）如图3，如，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线，，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．请直接写出结果．
【答案】（1），；（2）①存在，当秒或12.5秒时，的度数是；②秒或秒 或秒或15秒
【分析】（1）根据伴随线和角平分线的性质求解即可；
（2）分为若OC与OD在相遇之前、OC与OD在相遇之后两种情况求解即可；
（3）分为（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：当OC是OA的伴随线时，当OC是OD的伴随线时；（Ⅱ）OC、OD相遇之后：当OD是OC的伴随线时，当OD是OA的伴随线时，四种情况求解即可.
【详解】解：（1）如图4所示，，
,
如图4所示：， ,
；
故答案为：，；
（2）射线与重合时，（秒）
①当的度数是时，有两种可能：
若OC与OD在相遇之前，如图5：
则，
∴，
若OC与OD在相遇之后，如图6：
则，
∴；
所以，当秒或12.5秒时，的度数是．
②（Ⅰ）OC、OD未相遇之前：，，
，
当OC是OA的伴随线时，如图7：
，
即：，解得；
当OC是OD的伴随线时，如图8：
即：，解得；
（Ⅱ）OC、OD相遇之后：，，
当OD是OC的伴随线时，9如图：
,
即： ，解得；
当OD是OA的伴随线时，如图10：
,
即：，解得；
综上：当，，，15秒时，、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【点睛】本题考查了提取信息的能力，列代数式，一元一次方程的应用，分类讨论的思想；关键在于根据题意画出图形，建立方程解答．
14．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图所示，OA，OB，OC是以直线EF上一点O为端点的三条射线，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射线OP从OF处开始出发，绕点O逆时针匀速旋转，旋转速度为每秒5度：射线OQ从OC处开始出发，绕点O顺时针匀速旋转，两条射线同时开始旋转（当射线OQ旋转至与射线OF重合时，OP、OQ同时停止运动），旋转时间为t秒.（旋转速度÷旋转角度：旋转时间）
(1)当t＝ 秒，射线OP平分∠AOB时；
(2)若射线OQ的旋转速度为每秒4度时，请求出当∠POQ=60°时，射线OP旋转的时间；
(3)若射线OQ的旋转速度为每秒3度时，是否存在某个时刻，使得射线OQ，OP，OB中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)10；
(2)或秒；
(3)或；
【分析】（1）作出角平分线，求出OP运动到OG时的时间即可．
（2）动点问题需要分类讨论，第一种OP、OQ还没有相遇时，第二种OP、OQ相遇之后，画图利用角度列出等式．
（3）分别一其中一条作为角平分线来分析，画出图像之后列等式求时间．
（1）
解：作∠AOB的角平分线OG
∵∠AOB=60°，
∴∠AOG=∠AOB=30°，
∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，
此时OP的运动时间t=（秒）；
故答案为：10；
（2）
解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，
∴∠FOC=90°
由题意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°
①如图所示：
∴4t+60+5t=90，
∴t=；
②如图所示：
此时 4t+5t-60=90，
∴t=
∵OQ停止运动时间t=，
∴以上两种情况均符合
∴当∠POQ=60°时，OP的旋转时间为或秒；
（3）
解：存在；
①当OQ平分∠BOP时，则∠BOQ=∠POQ，如图：
则，
解得：；
②当OP平分∠BOQ时，则∠BOP=∠POQ，如图：
则，
解得：；
综合上述，或；
【点睛】主要考查角平分线的计算，角度的和差倍分问题，解题的关键是掌握所学的知识，运用分类讨论的思想，利用图象找关系．
15．（2022·浙江杭州·七年级期中）在同一平面内的三条射线、、，①当射线在内时，若满足，则称射线是【】的好线；若满足，则称射线是【】的好线；②当射线在外时，若满足，称射线是【】的皮线．
（1）如图1，，则射线是【】的好线，又是【】的皮线；射线______是【】的好线，又是____的皮线．
（2）如图2，点O在线段上，，求【】的好线与的夹角（写出完整的解答过程）．
（3）如图3，点O在直线上，∠，射线从位置出发以每秒的速度绕着点O逆时针方向旋转，设旋转时间为）秒．
①求当t为何值时，【】的皮线与垂直？
②若有射线从位置与射线同时出发以每秒的速度绕着点O顺时针方向旋转，并与射线同时停止运动，求当t为何值时，、、三条射线中恰好能使得其中一条为其余两条的好线（直接写出答案）．
【答案】（1）OD，【】，（2）120°；（3）①10.5；②t=8.4或或或10.5
【分析】（1）根据好线与皮线的定义，即可得到答案；
（2）设【OC，OD】的好线为OE ，则∠COE=2∠EOD，进而即可求解；
（3）①设【】的皮线为ON，则∠NOB=2∠MON，从而求得OM转过的角度为105°，进而即可求解；②分三种情况：（a）当是好线，则∠NOB=2∠MOB或∠MOB=2∠NOB，（b）当ON是好线，则∠BON=2∠MON或2∠BON=∠MON，（c）当OM是好线，则∠BOM=2∠MON或2∠BOM=∠MON，分别求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，且OD在∠BOC之外，
∴射线OD是【】的好线，又是【】的皮线，
故答案是：OD，【】，
（2）设【OC，OD】的好线为OE ，
∵OE是【OC，OD】的好线，
∴∠COE=2∠EOD，
∵∠BOD=30°，∠AOC=60°，
∴∠COD=90°，
∴∠COE+∠EOD=90°，
∴∠COE=60°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=120°，
∴【】的好线与OA的夹角为120°；
（3）①设【】的皮线为ON，则∠NOB=2∠MON，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOC=180°-60°=120°，
若【】的皮线与垂直，即ON⊥OC，
则∠NOB=∠BOC-90°=30°，
∴∠MOB=∠NOB=15°，
∴OM转过的角度为105°，
∴t=105°÷10°=10.5，即当t=10.5秒时，【】的皮线与垂直；
②分三种情况：
（a）是好线，若∠NOB=2∠MOB，则30°-5t=2(120°-10t)，
解得：t=14，
∵0＜t＜12，
∴t=14舍去，
若∠MOB=2∠NOB，则2(30°-5t)= 120°-10t，此时无解；
（b）ON是好线，若∠BON=2∠MON，则5t-30°=2（120°-10t-5t+30°），
解得：t=，
若2∠BON=∠MON，则2（5t-30°）=120°-10t-5t+30°，
解得：t=8.4；
（c）OM是好线，若∠BOM=2∠MON，则120°-10t =2(5t+10t-120°-30°)，
解得：t=10.5，
若2∠BOM=∠MON，则2（120°－10t）= 5t＋10t－120°－30°，
解得：t=．
综上所述：当t=8.4或或或10.5秒时，、、三条射线中恰好能使得其中一条为其余两条的好线．
【点睛】本题主要考查几何图形中角的和差倍分运算，角平分线的定义以及一元一次方程的应用，理解“好线”与“皮线”的定义，掌握分类讨论思想方法，是解题的关键．
16．（2022·广东汕头·七年级期末）已知，射线OP从OB出发，绕O逆时针以1°/秒的速度旋转，射线OQ从OA出发，绕O顺时针以3°/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为t秒
（1）当秒时，求；
（2）当，求的值；
（3）射线OP，OQ，OB，其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求t的值．
【答案】（1）；（2）当或60时，；（3）当或时，、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线
【分析】（1）分别算出秒时转过的角度，用减去转过的角度即可；
（2）分两种情况进行讨论：相遇前以及相遇后，分别计算即可；
（3）分三种情况进行讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别进行计算即可．
【详解】（1）当时，，
∴．
（2），，
与相遇前，当时，
∵，
∴，
，
与相遇后，时，
，
∴不垂直，
当时，
，
∵，，
∴，
，
综上所述，当或60时，．
（3）当平分时，
，
∴，
，
当平分时，
，
，
，
，
当平分时，
，
，
（不合题意），
综上所述，当或时，
、、其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线．
【点睛】本题考查了角的计算、角的和差，角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键．
17．（2022·湖北武汉·七年级期末）问题背景
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．
(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．
【答案】(1)90°
(2)2022
(3)①；②或
【分析】（1）根据题意，∠DOE=∠DOC+∠COE ，∠DOE =∠AOC，∠COE=∠BOC，结合∠AOC+∠BOC=180°，整体代入计算即可．
（2）根据题意，得到a+b=-1，变形-a-b=1，整体代入计算求值即可．
（3）①设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，则CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，代入已知CE＝3CD中，化简得到CB=3AC，代入计算即可．
②分点E在C点的右侧，点E在C点的左侧，且在点A的右侧，点E在A点的左侧三种情况求解即可．
（1）
解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC =∠AOC，∠COE=∠BOC，
∵∠DOE=∠DOC+∠COE ，
∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE=×180°=90°，
故答案为：90°．
（2）
∵当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，
∴a +b+2021=2020，
∴a+b=-1，
∴-a-b=1，
当x＝﹣1时，
a+bx+2021
= -a-b+2021
=1+2021
=2022．
（3）
①如图2，
设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，
∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，
∵CE＝3CD，
∴BC+3x= 3CA+3x，
∴CB=3AC，
∴AB=CB+AC=4AC，
∴=．
②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，
当点E在C点的右侧时，如图3，
∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=，QE=，
∴PQ=PE-QE=-=，
∵CE＝4PQ，
∴3m-3x=4×，
解得x=，
故AD=，
∴=．
当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=，QE=，
∴PQ=PE+QE=+=，
∵CE＝4PQ，
∴3x-3m=4×，
解得x=，
故AD=，
∴=．
当点E在A点的左侧时，如图5，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，
∴PE=，QE=，
∴PQ=PE+QE=+=，
∵CE＝4PQ，
∴3x-3m=4×，
解得x=，
故AD=，
∴=．
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了角的计算，代数式的值，线段的计算，熟练掌握整体思想，运用方程思想、分类思想求解是解题的关键．
18．（2022·四川·麓山师大一中七年级阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，则______°．
（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由．
（3）将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转；同时，射线也绕着点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，当射线恰好平分时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
【答案】（1）90；（2）；（3）．
【分析】（1）先根据平角定义结合已知条件求出∠AOC和∠BOC的度数，再根据旋转角的定义即可得到结论；
（2）根据余角定义把∠AOM用∠AON表示出来，再把∠CON用∠AON表示出来，求∠AOM与∠CON的差，即可得到结论；
（3）先根据已知条件设OM的旋转角度为15t，OC的旋转角度为5t，再根据OM比OC多旋转180°，列出方程即可得到结论；
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，，
由题意可知，，
∴．
（2）当在内部时，，
又∵，
∴，
即．
（3）射线的旋转速度为，射线的旋转速度为，
则，
由题意可知，当平分时，恰好在前方，
则比多旋转，
则，
解得：，
即此时三角板绕点O的运动时间为．
【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键．
19．（2022·山东临沂·七年级期末）已知，OC为内部的一条射线，．
（1）如图1，若OE平分，OD为内部的一条射线，，求的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以15度/秒的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以5度/秒的速度逆时针旋转至OA结束，运动时间t秒，当时，求t的值．
【答案】（1）35°；（2）3s或7.5s或24s
【分析】（1）根据∠EOD=∠EOB-∠DOB，只要求出∠EOB，∠DOB即可；
（2）分三种情形列出方程即可解决问题．
【详解】解：（1）∵∠AOB=150°，OE平分∠AOB，
∴∠EOB=∠AOB=75°，
∵∠BOC=60°，∠COD=∠BOD，
∴∠BOD=40°，∠COD=20°，
∴∠EOD=∠EOB-∠DOB=75°-40°=35°．
（2）当OE在∠AOC内部时，∵∠EOC=∠FOC，
∴90-15t=60-5t，
解得：t=3．
当OE与OF重合时，15t+5t=150，
解得：t=7.5．
当OE与OB重合时，OF仍在运动，此时∠EOC=60°，
此时OF在∠AOC内部，且∠FOC=60°，
∴t==24，
综上所述，当∠EOC=∠FOC时，t=3s或7.5s或24s．
【点睛】本题考查角的计算、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，平面内一定点A在直线EF的上方，点O为直线EF上一动点，作射线OA、OP、OA'，当点O在直线EF上运动时，始终保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，将射线OA绕点O顺时针旋转60°得到射线OB．
（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OP的左侧，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OP的左侧，且∠AOE＝3∠A'OB时，求的值；
（3）当点O运动到某一时刻时，∠A'OB＝130°，请直接写出∠BOP＝_______度．
【答案】（1）50°；（2）或6；（3）95或145．
【分析】（1）根据OA′平分∠POB, 设∠POA′＝∠A′OB＝x，根据题意列方程即可求解；
（2）分射线OB在∠POA′内部和射线OB在∠POA′外部两种情况分类讨论，分别设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，分别求出x的值，即可求值；
（3）根据题意分类讨论，根据周角定义分别求出∠A'OA，再根据∠AOP＝∠A'OP，结合已知即可求解．
【详解】解：(1)∵OA′平分∠POB，
∴设∠POA′＝∠A′OB＝x，
∵∠AOP＝∠A′OP= x，
∵∠AOB＝60°，
∴x＋2x＝60°，
∴x＝20°，
∴∠BOF＝90°－2x＝50°；
(2)①当点O运动到使点A在射线OP的左侧，射线OB在∠POA′内部时，
∵∠AOE＝3∠A′OB，
∴设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，
∵OP⊥EF，
∴∠AOF＝180°－3x，∠AOP＝90°－3x，
∴，
∵∠AOP＝∠A′OP，
∴∠AOP＝∠A′OP＝，
∴OP⊥EF，
∴＋3x＝90°，
∴x＝，
∴；
②当点O运动到使A在射线OP的左侧，但是射线OB在∠POA′外部时，
∵∠AOE＝3∠A′OB，
设∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，
∴∠AOP＝∠A′OP＝，
∴OP⊥EF，
∴3x＋＝90°，
∴x＝24°，
∴；
综上所述：的值是或6；
(3)∠BOP＝95°或145°；
①如图3，当∠A'OB＝130°时，
由图可得：∠A'OA＝∠A'OB－∠AOB＝130°－60°＝70°，
又∵∠AOP＝∠A'OP，
∴∠AOP＝35°，
∴∠BOP＝60°＋35°＝95°；
②如图4，当∠A'OB＝130°时，
由图可得∠A'OA＝360°－130°－60°＝170°，
又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，
∴∠BOP＝60°＋85°＝145°；
综上所述：∠BOP的度数为95°或145°．
【点睛】本题考查了角平分线的的定义和角的和差计算，根据题意正确画出图形进行分类讨论是解题关键．
21．（2022·福建·莆田华亭第一中学七年级期末） 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F，则∠EAF=______°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
【答案】（1）∠AEB的大小不变，为135°；（2）90；∠ABO为60°或45°．
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【详解】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=(∠OAB+∠ABO)=×90°=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，
∴∠EAF=(∠BAO+∠GAO)=×180°=90°．
故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ-∠EAO=(∠BOQ-∠BAO)=∠ABO，
即∠ABO=2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论：
①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°；
②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°(舍去)；
③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°(舍去)．
∴∠ABO为60°或45°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
22．（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角形板绕点按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度是____°；
（2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_____________°；
（3）在上述直角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，三角板绕点运动时间为__秒，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】(1)根据旋转的性质可知,旋转角为∠MON;
(2)如图3,利用平角的定义,结合已知条件:∠AOC:∠BOC=1：2,求得∠AOC=60°,然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知∠AOM-∠NOC=30°;
(3)需要分类讨论:当OM平分∠BOC时,旋转角是60°;当ON平分∠AOC时,旋转角为240°．
【详解】解:（1）根据旋转的性质可知: 旋转角为∠MON=90°, 故答案为90．
（2）如图3,
∠AOM-∠NOC=30°,理由如下: ∵∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC:∠BOC=1:2,
∴∠AOC+2∠AOC=180°,
∴∠AOC=60°，
∴∠AON+CON=60°,①
∵∠MON=90°,
∴∠AOM+∠AON=90°,②
②-①,得∠AOM-∠CON=30°．
（3）．
理由:如图,
因点为直线上一点,
,
所以,
当恰好为的平分线时,如图所示:
,
因为旋转的角度,
所以此时三角板绕点运动的时间为,
所以当恰好的平分线时,三角板绕点的运动时间为16秒．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质和角的计算,解决本题的关键是运用分类讨论思想,以防漏解．
23．（2022·福建三明·七年级期末）一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动.设三角尺的运动时间为（秒）
（1）当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为_ ;
（2） 秒时，边平分;
（3）若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转，
①当为何值时，边平分;
②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得.若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由.
【答案】（1）115°；（2）26.25；（3）①21秒，②秒或秒
【分析】（1）秒时，边经过量角器刻度对应的度数是，由由旋转知，，进而即可得到答案；
（2）由旋转知，旋转角为度，根据题意，列出关于t的方程，即可求解；
（3）①类似（2）题方法，列出关于t的方程，即可求解；
②分两种情况：当边在边左侧时，当边在边右侧时，用含t的代数式分别表示出与，进而列出方程，即可求解．
【详解】当秒时，由旋转知，，
是等腰直角三角形，
，
即：秒时，边经过量角器刻度对应的度数是，
旋转秒时，边经过量角器刻度对应的度数是，
故答案为：；
由旋转知，旋转角为度，
边平分且，
，解得：，
故答案为:；
①同的方法得：，解得：；
②当边在边左侧时，
由旋转知，，，
，
，解得：，
当边在边右侧时，
由旋转知，，
或，
，
或，
解得：(不合题意舍去)或，
综上所述：秒或秒时，．
【点睛】本题主要考查一元一次方程与角的和差倍分关系的综合，根据等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
24．（2022·福建·福州时代中学七年级期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．
(1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______°
(2)如图②，若，，则______°
(3)如图③，在∠AOB内，若，则______°
(4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数．
【答案】(1)80
(2)80
(3)
(4)或
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，，则；
（2）根据角平分线的定义得到，，而，则，所以；
（3）与（2）一样得到，，则；
（4）反向延长、得到、，然后分类讨论：当、在内部；当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到；当、在内部，可计算得到．
（1）
解：、是的三等分线，
，
射线、分别平分和，
，，
；
故答案为80；
（2）
解：射线、分别平分和，
，，
，
，，
，
；
故答案为80；
（3）
解：射线、分别平分和，
，，
，
，，
，
，
；
故答案为；
（4）
解：反向延长、得到、，如图，
当、在内部，
，
设，则，
，，
；
当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到；
当、在内部，可计算得到．
【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键．
25．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边OM在射线OB上，另一直角边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使边OM在的内部，且恰好平分．问：此时直线ON是否平分？请说明理由．
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第n秒时，直线ON恰好平分，则n的值为______（点接写结果）
(3)若图1中的三角板绕点O旋转至图3，使ON在的内部时，的度数是多少？
【答案】(1)平分，理由见解析
(2)10或40
(3)30°
【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC＝120°可得∠AOC＝60°，则∠BON＝30°，即旋转60°或240°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON＝90°，∠AOC＝60°，所以∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，然后作差即可．
（1）
解：（1）直线ON平分∠AOC．理由：
设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB，
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝∠BON，
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）
解：由（1）得，∠BOM＝60°时，直线ON恰好平分，
即旋转60°时，ON平分∠AOC，
再旋转180°即旋转240°时，ON平分∠AOC，
由题意得，6n＝60°或6n＝240°，
∴n＝10或40；
故答案为：10或40；
（3）
解：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
26．（2022·四川成都·七年级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC=112°，∠MON=α．
(1)如图1，当α=70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；
(2)如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α=80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；
(3)当∠MON在直线AB上方时，若α=90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，请直接写出此时n的值．
【答案】(1)∠NOB=14°；
(2)旋转一共用了26.5s或41.5s；
(3)n为54.4°或144°．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MOB的度数，再根据∠NOB=∠MON-∠MOB可得结论；
（2）需要分两种情况进行讨论，①当点N′在OH的右侧时；②当点N′在OH的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；
（3）根据题意分两种情况，当0°＜n＜90°和90°＜n＜180°时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可．
(1)
解：∵∠BOC=112°，OM平分∠BOC，
∴∠MOB=∠BOC=56°，
∵∠MON=70°，
∴∠NOB=∠MON-∠MOB=14°；
(2)
解：由（1）知∠HOB=∠COB=56°，
设旋转时间为t s，
①当点N′在OH的右侧时，∠HON′=30°，
∴∠N′OB=56°-30°=26°，
∴∠NON′=∠N′OB+∠BON=26°+80°=106°；
∴t=106°÷4°=26.5；
②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′=30°，
∴∠N′OB=56°-30°=26°，
∴∠NON′′=∠N′′OH+∠HOB+∠BON=30°+56°+80°=166°；
∴t=166°÷4°=41.5；
综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；
(3)
解：当0°＜n＜90°时，如图，
∵∠BOF=n，
∴∠AOF=180°-n，
