临沂市高三教学质量检测考试
数学答案
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合A，B，再根据集合的运算得解.
【详解】由，即，因为是R上的单调递增函数，
所以，；
又，解得，
；
.
故选：C.
2. 若复数，则的虚部为（）
A. B. C. 1 D. i
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算求得复数z，即可得，即可得答案.
【详解】由得，
故，则的虚部为-1，
故选：A
3. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
4. 若，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件与必要条件的概念，可直接判断出结果.
【详解】因为，由可得：，因此；即“”是“”的充分条件；
若，，满足，但是不满足，因此由“”不能推出“”，
即“”不是“”的必要条件.
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选A
【点睛】本题主要考查命题的充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值.
【详解】因为角的终边经过点
由三角函数定义可得
根据正切的二倍角
代入可得
故选:D
【点睛】本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,属于基础题.
6. 已知公比不为1的正项等比数列满足，则的最小值为（）
A. 6 B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列性质得到，根据基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由等比数列的性质得，又，
由基本不等式得
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
7. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据余弦函数的单调性可判断的大小关系，利用可得，结合两边取对数可得的大小关系，即可得答案.
【详解】因为，故，即，
又，即，故，
即，即，
故选：D
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分析、、时解析式以及值域，然后作出的图象，结合图象确定出符合条件的的范围，再根据与所求的取值范围的关系求解出的最大值.
【详解】当时，，此时
当时，，此时
当时，，此时，
结合为奇函数，在同一平面直角坐标系中作出的图象如下图所示：
由图象可知，若要恒成立，只需要分析内的图象即可，
因为图象的对称性，不妨考虑时的情况，
当时，，所以，
当时，，所以或，
结合图象，若成立，则有，所以，
又因为若对任意，都有，
则有，所以，所以，
所以的最大值为，
故选：B.
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，以分段函数为媒介，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，难度较大.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】BCD
【解析】
【分析】举例说明判断A；构造函数，利用导数推理判断B；利用零点存在性定理判断CD.
【详解】对于A，当时，，A是假命题；
对于B，令，求导得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，，即，，B是真命题；
对于C，令函数，显然，因此连续函数在上有零点，C是真命题；
对于D，令函数，显然，因此连续函数在上有零点，D是真命题.
故选：BCD
10. 已知函数，则（）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】由正弦型函数的相关性质逐项判断即可.
【详解】因为函数，
对于A，，
，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，当，解得：，
所以当时，在区间上单调递减，而，故C正确；
对于D，的图象向左平移个单位长度可得：
，故D错误；
故选：AC.
11. 已知平面向量，，则（）
A. 若直线一个方向向量为，则
B. 若向量是单位向量，则
C. 若向量满足，则
D. 当时，向量在向量上的投影向量的坐标为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出，由直线的方向向量和平行，即可判断A；由单位向量概念判断B；求出，由向量垂直的坐标表达式判断C；直接用投影向量的公式计算判断D.
【详解】由，可得，
若直线的一个方向向量为，则与共线，
所以，解得，故A正确；
若向量是单位向量，则，解得，故B正确；
若，则，
当时，，解得或，故C错误；
当时，，，
所以向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD
12. 已知函数，则（）
A. 有两个极值点 B. 在上单调递增
C. ，恒成立 D. 方程有2个实数根
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，求出函数导数，判断单调性，即可确定极值点；对于B，根据导数的正负即可判断；对于C，判断时，，求出时的最大值，即可判断；对于D，构造函数，求其导数，判断函数单调性，结合零点存在定理进行判断.
【详解】由函数，得，
当或时，，在上均单调递减，
当时，，在上单调递增，
故为函数极小值点，为函数的极大值点，A正确，
由以上分析可知在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，B错误；
当时，，
当时，结合以上分析可知在上单调递增，在上单调递减，
故，
当时，恒成立，C正确；
设，
显然为的一个实数根；
令，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，而，
即在内即上有唯一一个零点，设为，
又在上单调递增，且，
则在上有唯一一个零点0，即有2个零点，即0和，
综合以上可知有2个零点，即方程有2个实数根，D正确，
故选：ACD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了应用导数只是求解函数的极值点、单调性以及不等式恒成立和函数零点问题，综合性较强；解答的难点在于选项D的判断，解答时要构造函数，利用导数判断单调性，并结合零点存在定理进行判断.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，先求得的值，即可求得的值.
【详解】由题意得,
则,
故答案为：4
14. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．利用上面公式的前三项计算，得到近似值为______．（结果用分数表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用公式的前三项计算，然后用同角三角函数关系式计算.
【详解】由题意，
所以.
故答案为：
15. 在中，点O在所在平面内，且，，则外接圆的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意判断出O为的重心，再由推出，即可得为正三角形，求出其边长，利用正弦定理求得外接圆半径，即可得答案.
【详解】由题意知，即，即
设D为AB边的中点，则，故，
则共线，即CD为AB边上的中线，故O为的重心，
又，则，
即，即，即，
故，结合可知为正三角形，
则由可得，
设的外接圆半径为R，则，
故外接圆的面积为，
故答案为：
16. 某劳动教育基地欲修建一段斜坡，假设斜坡底在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡顶端距离水平面的垂直高度为2.4米，人沿着斜坡每向上走1米，消耗的体能为，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为______，此时______．
【答案】 ①. 0.7## ②.
【解析】
【分析】表示出斜坡总长，即可求出人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能的表达式，求其导数，判断其单调性，可求得极小值点也即最小值点，结合同角三角函数关系即可求得答案.
【详解】由题意知斜坡总长为米，，
则人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能为，
即，
故，
设，
当时，即时，，在上单调递增，
当时，即时，，在上单调递减，
故时，即时，取最小值，
此时，y的最小值为，
即人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗最少体能为0.7，此时，
故答案为：0.7，
【点睛】关键点睛：此题为应用类题目，解答的关键是表示出人从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的体能，然后利用导数，结合余弦函数的单调性判断出函数的极小值点，也即最小值点.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知定义域为的奇函数．
（1）求a；
（2）若，求t的取值范围．
【答案】1.
2.
【解析】
【分析】（1）函数定义域为且为奇函数，则，从而得出；
（2）由为单调递增函数，则为单调递减函数，所以，利用函数的单调性从而求解.
【小问1详解】
由函数定义域为且为奇函数，所以得：，所以：.经检验满足题意.
【小问2详解】
由（1）知：，由在定义域上单调递增，
所以得：为单调递减函数，且为奇函数，
所以：，化简得：，
得：，解得：.
故的取值范围为：.
18. 已知函数，若曲线在点处切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意，由切点在切线上可得，再由导数的几何意义即可求得，从而得到结果；
（2）根据题意，求导得，得到其极值，再由函数解析式求得，，即可得到结果.
【小问1详解】
由题意可得，，切点在切线上，
则，即，且，
而在点处的切线斜率为2，即，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，则，且
令，即，故，
令，即，故或，
所以在单调递减，在单调递增，
当时，有极小值，且，
当时，有极大值，且，
且，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，三条内角平分线相交于点O，的面积为．
（1）求A；
（2）若，求OA．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简已知等式，可得，再利用辅助角公式，即可求得答案；
（2）利用的面积求出内切圆的半径，解直角三角形即可求得答案.
【小问1详解】
又得，
即，
又，
故，
因为，则，
则，而，则，
故，即
【小问2详解】
由题意知O为的内切圆的圆心，设内切圆半径为r，
则，则，
又，则，故.
20. 已知函数在区间上的最大值为2．
（1）求m；
（2）若函数，当时，求的最小值，以及相应x的集合．
【答案】（1）-1 （2），
【解析】
【分析】（1）利用二倍角余弦公式与辅助角公式化简，结合其最小值求得m的值，即得答案；
（2）利用（1）的结果结合诱导公式化简，令，将化为，结合二次函数性质即可求得的最小值，进而求得相应x的集合.
【小问1详解】
由题意知
，
，
，故的最大值为，
故；
【小问2详解】
由（1）知，
故
令，则，其中，
则即为，
当时，即时，，
此时，即，
即x的集合为.
21. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，若的前n项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先证明为等比数列，然后求解出的通项公式即可求解出的通项公式；
（2）根据和先求解出的通项公式，然后采用裂项相消法、公式法、放缩法完成证明.
【小问1详解】
因为，所以，且，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
所以的通项公式为；
【小问2详解】
设的公差为，因为，，
所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以.
22. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）已知有两个极值点，且，证明：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论和，在时，结合二次函数性质判断导数的正负，从而确定函数的单调性；
（2）结合（1）可得以及两极值点的关系式，求出的表达式，构造函数，利用导数判断该函数的单调性，求出其最小值，即可证明不等式.
【小问1详解】
由题意知函数的定义域为，
，
令，
当，即时，，等号仅在个别点处取得，
此时在上单调递增；
当，即或，
若，则方程的两根为，
此时两根均为正数，且，
则或时，，
此时在，上均单调递增；
时，，此时在上单调递减；
若，则恒成立，在上单调递增；
故时，在上单调递增；
时，在，上均单调递增，
在上单调递减；
【小问2详解】
由（1）知，当时，有2个极值点，满足，
又，则，
故
，
令，则，
，
则当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则，
故.
【点睛】难点点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性以及证明不等式问题，综合性强，难度较大，难点在于不等式的证明，解答时要求出的表达式，由此构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出其最小值，从而证明不等式.
1临沂市高三教学质量检测考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 若复数，则的虚部为（）
A. B. C. 1 D. i
3. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）
A. B. C. D.
4. 若，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（）
A. B. C. D.
6. 已知公比不为1正项等比数列满足，则的最小值为（）
A. 6 B. 2 C. D.
7. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，恒成立，当时．若对任意，都有，则m的最大值是（）
A. B. C. 4 D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 已知函数，则（）
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递减
D. 图象向左平移个单位长度得到函数的图象
11. 已知平面向量，，则（）
A. 若直线的一个方向向量为，则
B. 若向量是单位向量，则
C. 若向量满足，则
D. 当时，向量在向量上的投影向量的坐标为
12. 已知函数，则（）
A. 有两个极值点 B. 在上单调递增
C. ，恒成立 D. 方程有2个实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若函数，则______．
14. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．利用上面公式的前三项计算，得到近似值为______．（结果用分数表示）
15. 在中，点O在所在平面内，且，，则外接圆面积为______．
16. 某劳动教育基地欲修建一段斜坡，假设斜坡底在水平面上，斜坡与水平面的夹角为，斜坡顶端距离水平面的垂直高度为2.4米，人沿着斜坡每向上走1米，消耗的体能为，则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的最少体能为______，此时______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知定义域为的奇函数．
（1）求a；
（2）若，求t的取值范围．
18. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为．
（1）求解析式；
（2）求在区间上的最值．
19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，三条内角平分线相交于点O，的面积为．
（1）求A；
（2）若，求OA．
20. 已知函数在区间上的最大值为2．
（1）求m；
（2）若函数，当时，求的最小值，以及相应x的集合．
21. 已知等差数列的前n项和为，，，数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，若的前n项和为，证明：．
22. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）已知有两个极值点，且，证明：．
1
