2023-2024学年八年级数学上册期末真题重组培优卷
考试时间：90分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握所学内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简后等于（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2022·广东佛山·八年级期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·江苏无锡·八年级期末）若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19 B．22 C．30 D．33
5．（3分）（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使与全等，则x的值为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．6或10
6．（3分）（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（3分）（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期末）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
8．（3分）（2022·河北唐山·七年级期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，，是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
9．（3分）（2022·浙江舟山·七年级期末）已知（且），，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）（2022·山东泰安·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·陕西渭南·八年级期末）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为_____________
12．（3分）（2022·湖北武汉·八年级期末）实数，满足，则分式的值是 __．
13．（3分）（2022·福建福州·八年级期末）已知x满足（x﹣2020）2+（3分）（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是____．
14．（3分）（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．
15．（3分）（2022·江苏·连云港市新海初级中学七年级期末）如图，在三角形ABC中，点D 、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分的面积是_______．
16．（3分）（2022·四川成都·七年级期末）已知ABC≌EBD，∠ABC＝50°，连接AD交BC于点G，点F在线段BD上，BF＝BG，∠GAB＝20°，过点C作平行于AB的直线交BD的延长线于Q，连接FE并延长交CQ于点P．若FPQ为等腰三角形，则∠CBE的度数为_____度．
三．解答题（共9小题，满分52分）
17．（6分）（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）因式分解：
(1)3×852﹣3×152；
(2)a3+9ab2﹣6a2b．
18．（6分）（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期末）先化简，再求值
(1)其中．
(2) ÷，其中x＝-1，y＝1．
19．（6分）（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系 为什么
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
20．（8分）（2022·江西上饶·八年级期末）已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
21．（8分）（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，中，、、是平移之后得到的图像，并且的对应点的坐标为．
(1)、两点的坐标分别为______、______；
(2)作出平移之后的图形；
(3)求的面积．
22．（10分）（2022·广西·平果市教研室九年级期末）国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，某社区拟建两类地摊摊位，已知每个类摊位占地面积比类摊位多平方米，建类摊位需元/平方米，类摊位元/平方米，用平方米建类摊位的个数恰好是同样面积建类摊位个数的．
(1)求每个类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)若该社区拟建两类摊位共个，且类摊位的数量不大于类摊位数量的倍，建造总费用不超过元，则总费用最少是多少？
23．（10分）（2022·四川广元·八年级期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点（点不与端点A、重合），过点A作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)在点移动的过程中，若，试求的长；
(3)试探索，在点移动的过程中，的大小是否保持不变？若保持不变，请求出的大小；若有变化，请说明变化情况．
24．（10分）（2022·黑龙江伊春·八年级期末）如图1， 已知中，，，AE是过A的一条直线，且B，C在A，E的异侧，于D，于E，说明：
(1)试说明：．
(2)若直线AE绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变， 问BD与DE、CE的数量关系如何？请直接写出结果，并证明．
(3)若直线AE绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变， 问BD与DE、CE的数量关系如何？请直接写出结果，并证明．
25．（10分）（2022·山东省日照第二中学八年级期末）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数.
参考答案与试题解析
：214945一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·湖南·衡阳市珠晖区英发学校七年级期末）a，b，c是三角形的三边长，化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|﹣|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a+c﹣a﹣b＝b+c﹣a．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
2．（3分）（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】逆用同底数幂乘法的性质和幂的乘方的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方性质得逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（3分）（2022·广东佛山·八年级期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，
，
，
又，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
4．（3分）（2022·江苏无锡·八年级期末）若关于x的分式方程的解为非负数，且关于y的不等式组有3个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．19 B．22 C．30 D．33
【答案】B
【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a的整数解．
【详解】解：解分式方程可得：，且
∵解为非负数，
∴得：，即且，
解不等式组，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵有3个整数解，
∴，3，4，即
利用不等式性质，将其两边先同时减1，再乘以3，可得，
综上所述：a的整数值可以取10、12，
∴其和为22，
故选：B
【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键．
5．（3分）（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段MA上有一点C，使与全等，则x的值为（ ）
A．8 B．8或10 C．10 D．6或10
【答案】C
【分析】分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间．
【详解】解：当 时，，即 ，
解得 ；
当 时， ，
此时 （不合题意，舍去），
综上，．
故答案为：C．
【点睛】本题考查全等三角形的概念性质，关键是要考虑到分两种全等的情况考虑．
6．（3分）（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有2个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
共有6个．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
7．（3分）（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期末）如图，Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分ABC，如果点M，N分别为BD，BC上的动点，那么CMMN的最小值是（ ）
A．4 B．4.8 C．5 D．6
【答案】B
【分析】先作CE⊥AB交BD于点M，再作MN垂直BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点M和N，进而求得CM+MN的最小值．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于点N，
∵BD平分∠ABC，
∴ME=MN，
∴CM+MN=CM+ME=CE．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，CE⊥AB，
∴，
∴10CE=6×8，
∴CE=4.8．
即CM+MN的最小值是4.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、角平分线的性质，找到使CM+MN最小时的动点M和N是解答本题的关键．
8．（3分）（2022·河北唐山·七年级期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，，是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，由，可得a=b，进而判定三角形的形状．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
∴a=b（舍去负值），
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，将等式化为或是解题的关键．
9．（3分）（2022·浙江舟山·七年级期末）已知（且），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数是一个循环，进而可得的值．
【详解】解：∵（且），
∴
∵2022÷3=674
∴
故选：A
【点睛】本题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关运算，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
10．（3分）（2022·山东泰安·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·陕西渭南·八年级期末）一个多边形的每个外角都是60°，则这个多边形边数为_____________
【答案】6
【分析】根据任意多边形的外交和等于360°，多边形的每一个外角都等于36°，多边形边数=360÷外角度数，代入数值计算即可．
【详解】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴这个多边形的边数=360°÷60°=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了多边形的外角和和多边形的边数，解答的关键是掌握多边形的外角和等于360°．
12．（3分）（2022·湖北武汉·八年级期末）实数，满足，则分式的值是 __．
【答案】
【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值．
【详解】解：，
．
．
，．
，．
原式
．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，．
13．（3分）（2022·福建福州·八年级期末）已知x满足（x﹣2020）2+（3分）（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是____．
【答案】4
【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．
【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，
∴2（x﹣2021）2+2＝10，
∴（x﹣2021）2＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
14．（3分）（2022·四川·沐川县教师进修学校七年级期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．
【答案】##度
【分析】利用勾股定理的逆定理先证明 再证明，进而得出答案．
【详解】解：如图所示： 连接
由勾股定理可得：
∴
∴
∴ 而
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，证明是解本题的关键.
15．（3分）（2022·江苏·连云港市新海初级中学七年级期末）如图，在三角形ABC中，点D 、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分的面积是_______．
【答案】
【分析】利用三角形中线将三角形分成等底同高的两个三角形，可得这两个三角形面积相等．由此可得，，，进而可得， ．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用三角形的中线求面积，三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，熟练掌握这一特点是解题的关键．
16．（3分）（2022·四川成都·七年级期末）已知ABC≌EBD，∠ABC＝50°，连接AD交BC于点G，点F在线段BD上，BF＝BG，∠GAB＝20°，过点C作平行于AB的直线交BD的延长线于Q，连接FE并延长交CQ于点P．若FPQ为等腰三角形，则∠CBE的度数为_____度．
【答案】40或10或25
【分析】由“SAS”可证△ABG≌△EBF，可得∠PFQ=70°，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵△ABC≌△EBD，∠ABC=50°，
∴∠ABC=∠DBE=50°，AB=BE，
∵∠GAB=20°，
∴∠AGB=180°-20°-50°=110°，
在△ABG和△EBF中，
∵，
∴△ABG≌△EBF(SAS)，
∴∠AGB=∠EFB=110°，
∴∠PFQ=70°，
∵AB∥CQ，
∴∠BCQ=∠ABC=50°，
当PF=FQ时，
∴∠PQF=∠FPQ=55°，
∴∠CBQ=180°-∠BCQ-∠BQC=75°，
∴∠CBE=75°-50°=25°，
当PQ=QF时，
∴∠QFP=∠QPF=70°，
∴∠PQF=40°，
∴∠CBQ=180°-∠BCQ-∠BQC=90°，
∴∠CBE=90°-50°=40°，
当PF=PQ时，
∴∠PQF=∠PFQ=70°，
∴∠CBQ=180°-∠BCQ-∠BQC=60°，
∴∠CBE=60°-50°=10°，
综上所述：∠CBE的度数为40°或10°或25°，
故答案为：40或10或25．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分52分）
17．（6分）（2022·福建·尤溪县坂面中学八年级期末）因式分解：
(1)3×852﹣3×152；
(2)a3+9ab2﹣6a2b．
【答案】(1)21000
(2)
【分析】（1）原式提取公因式3，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．
（1）
解：原式＝
＝3×（85+15）×（85﹣15）
＝3×100×70
＝21000；
（2）
原式＝
＝．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（6分）（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期末）先化简，再求值
(1)其中．
(2) ÷，其中x＝-1，y＝1．
【答案】(1)，
(2)x+y，
【分析】（1）根据多项式除以单项式运算法则将其化简，再将x与y的值根据零指数幂和负整指数幂化简代入求值即可；
（2）根据提公因式、完全平方公式和平方差公式进行因式分解化简后代入求值即可．
（1）
解：原式＝
＝
＝
＝，
∵，
∴，
原式=
=
=；
（2）
原式＝
＝x+y，
当x＝-1，y＝1，
原式＝-1+1=0．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式和分式的化简求值，解决本题的关键是运用相关的运算法则将其化简．
19．（6分）（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB．
(1)∠1与∠2有怎样的数量关系 为什么
(2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．
【答案】(1)∠1与∠2互余
(2)4°
【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°；
（2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．
【详解】（1）∠1与∠2互余．
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°，
∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠2=∠ABE，
∴∠1+∠2=∠ADC+∠ABC＝90°，
即∠1与∠2互余．
（2）∵∠A=100°，∠1=42°，
∴∠C=80°，∠2=48°，
∴∠ABE=∠CBE=48°，
∴∠BEC=180°-48°-80°=52°，
∴∠CEG=52°-48°=4°．
【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键．
20．（8分）（2022·江西上饶·八年级期末）已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
【答案】（1）的周长；（2），或．
【分析】（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．
【详解】解：（1）的三边长分别为，，，
，即，
的周长，
即：的周长；
（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，
的值为，或．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
21．（8分）（2022·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，中，、、是平移之后得到的图像，并且的对应点的坐标为．
(1)、两点的坐标分别为______、______；
(2)作出平移之后的图形；
(3)求的面积．
【答案】(1)、
(2)见解析
(3)5.5
【分析】（1）利用点和点的坐标特征确定平移方向与距离，然后利用此平移规律确定、坐标；
（2）顺次连接点、、即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积可计算出的面积．
（1）
解：、两点的坐标分别为、；
故答案为、；
（2）
解：如图，为所作；
（3）
解：的面积=．
【点睛】本题主要考查了平移变换，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，然后再顺次连接对应点即可．
22．（10分）（2022·广西·平果市教研室九年级期末）国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，某社区拟建两类地摊摊位，已知每个类摊位占地面积比类摊位多平方米，建类摊位需元/平方米，类摊位元/平方米，用平方米建类摊位的个数恰好是同样面积建类摊位个数的．
(1)求每个类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)若该社区拟建两类摊位共个，且类摊位的数量不大于类摊位数量的倍，建造总费用不超过元，则总费用最少是多少？
【答案】(1)每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位占地面积为平方米
(2)总费用最少是元
【分析】（1）设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米，然后根据题意列出方程求解即可；
（2）设建造个类摊位，则建造个类摊位，根据题意列出不等式组求解，然后得出不同的方案，进一步计算总费用进行比较即可；
【详解】（1）解：设每个类摊位占地面积为平方米，则每个类摊位占地面积为平方米；
由题意可得：
解得：
经检验，是原方程的解；
∴
答：每个类摊位占地面积为平方米，每个类摊位占地面积为平方米
（2）解：设建造个类摊位，则建造个类摊位；
由题意可得：
解得：．
又∵为整数，∴可以取，，；
∴共有种建造方案；
方案1：建造个类摊位，个类摊位；
总费用：（元）；
方案2：建造个类摊位，个类摊位；
总费用：（元）；
方案3：建造个类摊位，个类摊位；
总费用：（元）
答：总费用最少是元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够准确地找到数量关系进行列式求解．
23．（10分）（2022·四川广元·八年级期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点（点不与端点A、重合），过点A作于点，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)在点移动的过程中，若，试求的长；
(3)试探索，在点移动的过程中，的大小是否保持不变？若保持不变，请求出的大小；若有变化，请说明变化情况．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不变，为135°
【分析】（1）根据同角的余角相等证得，根据AAS证明△ACE≌△BCP即可；
（2）由得到，即可利用余角定义求出，证得 ，结合得到．再根据全等三角形的性质求得CP=CE，即可求出答案；
（3）的大小保持不变． 作于点，于点，证明 ，得到，由此推出平分，求出，即可求出=135°．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴；
（3）解：的大小保持不变．理由如下：
作于点，于点，如图．
∵，
∴，．
在和中，
∴，
∴．
又∵，，
∴平分，
∴，
∴，即的大小保持不变，为135°．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，余角的定义，角平分线的判定定理，熟记全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
24．（10分）（2022·黑龙江伊春·八年级期末）如图1， 已知中，，，AE是过A的一条直线，且B，C在A，E的异侧，于D，于E，说明：
(1)试说明：．
(2)若直线AE绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变， 问BD与DE、CE的数量关系如何？请直接写出结果，并证明．
(3)若直线AE绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变， 问BD与DE、CE的数量关系如何？请直接写出结果，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）证明，即可证得，而，即可证得；
（2）证明，即可证得，而，即可证得；
（3）证明，即可证得，而，即可证得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】根据条件证明两个三角形全等是解决本题的关键，注意在图形的变化中找到其中不变的因素．
25．（10分）（2022·山东省日照第二中学八年级期末）已知在中，，过点B引一条射线，D是上一点
【问题解决】
(1)如图1，若，射线在内部，，求证：，小明同学展示的做法是：在上取一点E使得，通过已知的条件，从而求得的度数，请你帮助小明写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图2，已知．
①当射线在内，求的度数
②当射线在下方，如图3所示，请问的度数会变化吗 若不变，请说明理由，若改变，请求出的度数.
【答案】(1)见解析
(2)①②；的度数会变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理得到、是等边三角形，进而得到，根据证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
（2）①在上取一点E，，证明，得到，可求出答案；
②在延长线上取一点E，使得，同理证明，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：如图1，在上取一点E，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：①在上取一点E，，如图所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度数会变化，理由如下：
在延长线上取一点E，使得，如图所示：
同理①的方法可证：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构造全等三角形进行计算和证明是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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