第15章 分式章末题型过关卷
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（ ）
A．2 B． C． D．
2．（3分）（2022·全国·八年级单元测试）计算÷(－)·()2的结果是（ ）
A．－x B．－ C． D．
3．（3分）（2022·全国·八年级专题练习）若分式方程有增根， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2022·山东威海·期中）设，，则，的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）（2022·浙江·杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
6．（3分）（2022·广西贵港·八年级期中）已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
7．（3分）（2022·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．（3分）（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组的解集为y≤－4，且关于x的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．14 C．19 D．21
9．（3分）（2022·山东·济南外国语学校九年级）设，，，则三数，，中（ ）
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
10．（3分）（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数，其中表示时对应的函数值，如，，则+…+…+的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·辽宁大连·八年级期末）已知，则_____．
12．（3分）（2022·浙江舟山·七年级期末）在分式中，当_________时，分式有意义；当___________，分式的值为零．
13．（3分）（2022·辽宁·本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程的解为，则常数a的值________________．
14．（3分）（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，则________．
15．（3分）（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．
16．（3分）（2022·吉林·九年级专题练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝+，那么S的取值范围是__．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）（2022·天津东丽·八年级期末）解分式方程
（1）
（2）
19．（8分）（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
20．（8分）（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案 说明理由．
21．（8分）（2022·福建·福州日升中学八年级期末）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为2，________．
(2)关于x的方程的两个解分别为2，_________．
(3)关于x的方程的两个解分别为，求的值．
22．（8分）（2022·全国·八年级专题练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．
如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为．
（1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
（3）已知分式，，（、、为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．
23．（8分）（2022·江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；
对任何正整数，第个数与第个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：，，
设这列数的第个数为，那么①；②，③，则 正确（填序号）．
（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示 （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；
（3）利用上述规律计算：的值．
第15章 分式章末题型过关卷
参考答案与试题解析
1．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·河北·一模）只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的性质，分子分母的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则为含或的一次单项式，据此判断即可．
【详解】解：∵中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，
∴为含或的一次单项式，故只有C符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键．
2．（3分）（2022·全国·八年级单元测试）计算÷(－)·()2的结果是（ ）
A．－x B．－ C． D．
【答案】A
【分析】分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算．
【详解】原式= ．
故选A．
【点睛】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
3．（3分）（2022·全国·八年级专题练习）若分式方程有增根， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使分母等于0的未知数的值是分式方程的增根，即x=2，将x=2代入化简后的整式方程中即可求出k的值.
【详解】，
去分母得：1+2（x-2）=kx-1，
整理得：2x-2=kx，
∵分式方程有增根，
∴x=2，
将x=2代入2x-2=kx，
2k=2，
k=1，
故选：A.
【点睛】此题考查分式方程的增根，正确理解增根的意义得到未知数的值是解题的关键.
4．（3分）（2022·山东威海·期中）设，，则，的关系是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判断，的关系，可以计算的结果，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，
，
∴，的关系是互为相反数，
故选：．
【点睛】本题主要考查分式的加减混合运算，掌握分式加减法法则是解题的关键．
5．（3分）（2022·浙江·杭州市文澜中学七年级期中）一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ）
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】D
【分析】由题意可得甲单独做每小时完成工程的，乙单独做每小时完成工程的，然后根据工作时间工作总量工作效率列式计算即可．
【详解】解：∵甲单独做每小时完成工程的，乙单独做每小时完成工程的，
∴甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（小时）；
故选：D．
【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键．
6．（3分）（2022·广西贵港·八年级期中）已知，则分式的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
【答案】B
【分析】把已知整理成，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，即，
∴，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，在本题中能理解整体思想并且将整体代入是解题关键．
7．（3分）（2022·甘肃·临泽县第三中学九年级期中）《九章算术》中记载：“今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？”大意是说：兔子先出发100步，然后狗出发，狗跑了250步后，距离兔子还有30步，问：如果狗不停的话，再跑多少步可以追到兔子？若设如果狗不停的话，再跑x步可以追到兔子，则可列方程为（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【答案】D
【分析】根据题意可得狗与兔子的速度比为250：180，设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】解：兔子先出发100步，狗跑了250步后距兔子30步，
∴兔子跑了250-100+30=180（步），
即狗与兔子的速度比为250：180，
设狗再跑x步，可追上兔子，此时兔子跑的步数为：（x-30）步，根据题意得：
＝．
故选：D
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到狗与兔子的速度比为250：180是解题的关键．
8．（3分）（2022·重庆巴蜀中学九年级阶段练习）若关于y的不等式组的解集为y≤－4，且关于x的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．14 C．19 D．21
【答案】C
【分析】先解分式方程得，再由题意可得，且，可求得且而且为3的倍数，；再解不等式组，结合题意可得，则可得所有满足条件的整数有-4， -1， 5， 8， 11，求和即可．
【详解】解：，
，
，
，
方程的解为非负整数，
，为整数，
，而且为3的倍数，
又，
，
，
且，而且为3的倍数，
，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为y≤－4，
∴，
∴
符合条件的整数有-4， -1， 5， 8， 11，
符合条件的所有整数的和为=，
故选：C．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，一元一次不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解集取法，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
9．（3分）（2022·山东·济南外国语学校九年级）设，，，则三数，，中（ ）
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
【答案】C
【分析】首先把三个数相加，得到，由已知可知，，，可得，据此即可判定．
【详解】解：，
，，，
，，，当且仅当时，取等号
，
当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6，这与矛盾，
这三个数中至少有一个不大于-2，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用不等式的取值及反证法，判定命题的真假，难度比较大．
10．（3分）（2022·湖南·衡阳市成章实验中学八年级阶段练习）已知函数，其中表示时对应的函数值，如，，则+…+…+的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件把所求的式子进行化简，再代入相关数值，计算即可．
【详解】解：∵，
则有：
，
，
则原式
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数值的计算，计算的关键是理解已知条件中的关系式，对每个式子进行化简．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·辽宁大连·八年级期末）已知，则_____．
【答案】
【分析】设，则有x=2k，y=3k，z=4k，代入即可求解．
【详解】设，根据题意有，k≠0，
则有x=2k，y=3k，z=4k，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查为了分式的求值，设是解答本题的关键．
12．（3分）（2022·浙江舟山·七年级期末）在分式中，当_________时，分式有意义；当___________，分式的值为零．
【答案】
【分析】要使分式有意义，则需要满足分式的分母不为零，即；要使分式的值为零，则需要满足分式的分子为零，分母不为零，即2x+1=0，．
【详解】解：分式有意义，则，即，
分式的值为零，则，解得
故答案为，
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式的分母不为0时分式有意义，分式的分子为0分母不为0时，分式的值为0．
13．（3分）（2022·辽宁·本溪满族自治县教师进修学校八年级期末）若关于x的分式方程的解为，则常数a的值________________．
【答案】10
【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可．
【详解】解：把x=4代入分式方程，得
，
解得：a=10，
经检验a=10是方程的解，
故答案为：10．
【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为0．
14．（3分）（2022·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习）若关于x的分式方程无解，则________．
【答案】2
【分析】先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a值即可．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
由于此方程未知数的系数是1不为0，故无论a取何值时，都有解，故此情形下无符合题意的a值；
由分式方程无解即有增根，可得2x﹣4＝0，得x=2
把x＝2代入，
解得：a＝2，故此情形下符合题意的a值为2；
综上，若要关于x的分式方程无解，a的值为2．
故答案为： 2．
【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．
15．（3分）（2022·湖南长沙·七年级阶段练习）已知，其中，，，为常数，则______．
【答案】6
【分析】由于，利用这个等式首先把已知等式右边通分化简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于、、、的方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：，且，
当时，①
当时，②
当时，③
∵,
即
∴④
联立解之得
、、，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出关于、、、的方程组即可解决问题．
16．（3分）（2022·吉林·九年级专题练习）设a，b，c，d都是正数，且S＝+，那么S的取值范围是__．
【答案】1＜S＜2
【分析】根据分式的性质，分别将分母扩大、缩小，通过分式加减，计算即可得到结论．
【详解】∵a，b，c，d都是正数
∴S＝+＞+＝＝1
S＝+＜+＝+＝2
∴1＜S＜2
故答案为：1＜S＜2．
【点睛】本题考查了分式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·山东·龙口市教学研究室八年级期中）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2），
【分析】（1）根据分式的减法法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则计算，将分式化简，再把代入化简式计算即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
18．（6分）（2022·天津东丽·八年级期末）解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）无解；（2）x＝﹣
【分析】（1）两边同时乘以x-2化为整式方程，解得x=2后检验即可；
（2）先去分母化为一元一次方程，解方程得到x=-，再检验即可.
【详解】（1）去分母得：1＝x﹣1﹣3x+6，
解得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：﹣3（x+2）＝3（x+2）﹣6+x，
去括号得：﹣3x﹣6＝3x+6﹣6+x，
移项合并得：7x＝﹣6，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点睛】此题考查解分式方程，按照去分母化为整式方程，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程，得到解后必须代入最简公分母中检验，当未知数的值使分母为0，则该解不是分式方程的解，如果不等于0，则该解是原分式方程的解.
19．（8分）（2022·山东·招远市教学研究室八年级期中）关于x的分式方程
(1)若方程的增根为，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
【答案】(1)
(2)或
(3)1或或
【分析】（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，结合题意，通过求解一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据分式方程增根的性质，首先得方程的增根为或，再通过计算即可得到答案；
（3）结合（1）的结论，根据分式方程和一元一次方程的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）∵，
去分母得：，
移项并合并同类项，得：，
当方程的增根为时，，
∴；
（2）当方程有增根时，方程的增根为或，
当时，，
当时，，
解得：，
∴或；
（3）∵
当方程无增根，且时，方程无解，
∴得，
当方程有增根，且时，，方程无解，
当方程有增根，且时，，方程无解，
∴当或或时，方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式方程的性质，从而完成求解.
20．（8分）（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学八年级阶段练习）永州市万达广场筹建之初的一项挖土工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，每施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，付乙工程队工程款1.8万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
(方案一)甲队单独完成这项工程，刚好按规定工期完成；
(方案二)乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天；
(方案三)若由甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工．
(1)请你求出完成这项工程的规定时间；
(2)如果你是工程领导小组的组长，为了节省工程款，同时又能如期完工，你将选择哪一种方案 说明理由．
【答案】(1)30天；
(2)选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【分析】（1）设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为天，然后根据“甲、乙两队合作做5天，剩下的工程由乙队单独做，也正好按规定工期完工”列分式方程求解即可；
（2）根据题意可知有方案一和方案三符合条件，然后分别求出方案一和方案三的工程款，然后比较即可解答．
（1）
解：设完成这项工程的规定时间为 x 天,则甲队单独完成这项工程为x天,乙队单独完成这项工程为天
由题意得：，解得:
经检验: 是原分式方程的解.
答:完成这项工程的规定时间为30天.
（2）
解：如期完工时，只有方案一和方案三符合条件
方案一工程款: (万元)
方案三工程款： (万元)
∵
∴选择方案三．
答:选择方案三,理由为既节省了工程款且又能如期完工．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、列代数式计算等知识点，灵活运用分式方程解决实际问题是解答本题的关键．
21．（8分）（2022·福建·福州日升中学八年级期末）阅读：
对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)方程有两个解，分别为2，________．
(2)关于x的方程的两个解分别为2，_________．
(3)关于x的方程的两个解分别为，求的值．
【答案】(1)4．
(2)．
(3)．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
(1)
解：∵2×4=8，2+4=6，
∴方程的两个解分别为x1=2，x2=4．
故答案为：4．
(2)
解：方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一个根为；
则x1=2，x2=；
故答案为：．
(3)
解：方程整理得： ，
得2x1=n1或2x1=n，
可得x1=，x2=，
则原式=．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（8分）（2022·全国·八年级专题练习）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．
如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为．
（1）已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”；
（2）已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和；
（3）已知分式，，（、、为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值．
【答案】（1）不是，利用见解析；（2）；（3）或或或
【分析】（1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案；
（2）由定义可得：整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案；
（3）由定义可得： 整理可得：从而可得：，再消去，结合因式分解可得结合、、为整数，分类讨论后可得答案．
【详解】解：（1）
不是的“雅中式”．
（2） 关于的“雅中值”是，
为整数，且“雅中式”的值也为整数，
是的因数，
可能是：
的值为：
的值为：
（3） 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，
整理得：
由上式恒成立：
消去可得：
、、为整数
为整数，
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
当时，
此时：
综上：的值为：或或或
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．
23．（8分）（2022·江苏省新海高级中学七年级期中）有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；第二个数是；第三个数是；
对任何正整数，第个数与第个数的和等于
（1）经过探究，我们发现：，，
设这列数的第个数为，那么①；②，③，则 正确（填序号）．
（2）请你观察第个数、第个数、第个数，猜想这列数的第个数可表示 （用含的式子表示），并且证明：第个数与第个数的和等于；
（3）利用上述规律计算：的值．
【答案】（1）②；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）根据题干知道即可得到结果；
（2）根据题干中的规律总结出第 个数表示为，再分别表示出第n个和第n+1个数求和即可；
（3）根据题意发现每一项两分母之差为2，即通分后分子为2，故每一项乘以即可，再提取公因数合并各项计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴；
故填：
（2）第个数表示为：，
证明：第个数表示为：， 第个数表示为：
（3）原式
【点睛】此题考查了有理数运算的规律观察能力，从已知题干中提取规律解题运算是关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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