广东省2023年中考数学模拟考试卷（三）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）﹣12的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．12 D．﹣12
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a+b）2＝a2+b2
C．（﹣3ab2）2＝6a2b4 D．a2 a4＝a6
3．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
B．“篮球队员在罚球线上投篮两次，都未投中”为不可能事件
C．“平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个必然事件
D．“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件
4．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B．
C．（a＞0，b＞0） D．（a≥1）
5．（3分）中国信息通信研究院测算.2020﹣2025年，中国5G商用带动的消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元，其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（ ）
A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108
6．（3分）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（ ）
A．15° B．28° C．29° D．34°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点P是函数y＝（k≠0）图象上的一点，且点P在第一象限，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B．若四边形PBOA的面积为6，则k的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．则△AEF的周长为（ ）
A．9 B．11 C．12 D．13
9．（3分）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．当﹣1＜x＜2时，y＜0
B．a+c＝b
C．当x＞时，y随x的增大而增大
D．若顶点坐标为（，m），则方程ax2+bx+c＝m﹣1有实数根
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：a2﹣ab＝ ．
13．（3分）如图，AB∥CD，∠B＝48°，∠D＝29°，则∠BED＝ °．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
15．（3分）如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为10，则k的值等于 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）计算：3tan30°﹣（﹣）0+（﹣）﹣2+|2﹣|．
（2）解方程：2x2+x﹣1＝0．
17．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝﹣3．
18．（8分）某商店准备购进A、B两种商品，A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同．
（1）A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
19．（9分）某会议期间，记者随机抽取参会的部分代表，对他们某天发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数n
A 0≤n＜3
B 3≤n＜6
c 6≤n＜9
p 9≤n＜12
E 12≤n＜15
F 15≤n＜18
（1）样本容量为 ，并补全直方图；
（2）已知A组发表提议的代表中恰有1位女士，E组发表提议的代表中只有2位男士，现从A组与E组中分别抽一位代表写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位代表恰好都是男士的概率．
20．（9分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，O为AC、BD的中点，AB＝10，AC＝16，BD＝12．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请证明；
（2）点P在AO上，点Q在DO上，且AP＝2OQ．若PQ＝BQ，求AP的长．
21．（9分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x的图象相交于A（2，m），B（n，﹣3）两点．点C是反比例函数y1＝第一象限图象上的一个动点，过点C作x轴的平行线交反比例函数y3＝﹣（x＜0）的图象上一点D，过点C作CE⊥x轴于点E．
（1）根据图象的对称性，可知A点坐标为 ，B点坐标为 ；
（2）求反比例函数y1＝解析式；
（3）求△CDE的面积．
22．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD＝30°，DC＝10，求的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2＝AB EF．
23．（12分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣12的倒数是﹣，
故选：B．
2． 解：A、原式＝2a2，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、原式＝a2+2ab+b2，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、原式＝9a2b4，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、原式＝a6，原变形正确，故本选项符合题意；
故选：D．
3． 解：A、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的可能降雨，不一定是有40%的时间都在降雨，故A选项不符合题意；
B、“篮球队员在罚球线上投篮两次，都未投中”为随机事件，故B选项不符合题意；
C、“平分弦的直径必垂直于这条弦”是一个随机事件，故C选项不符合题意；
D、“在一张纸上随意画两个直角三角形，这两个直角三角形相似”为随机事件，说法正确，故D选项符合题意．
故选：D．
4． 解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、（a＞0，b＞0）中被开方数是分数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
5． 解：10.6万亿＝10600000000000＝1.06×1013．
故选：B．
6． 解：根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，
根据量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2＝28°．
故选：B．
7． 解：∵点P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为6，
∴矩形OAPB的面积S＝|k|＝6，
解得k＝±6．
又∵反比例函数的图象在第一象限，
∴k＝6．
故选：C．
8． 解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵过点D作BC的平行线交AB于点E，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
同理可得DF＝FC，
∴△AEF的周长即为AB+AC＝7+5＝12．
故选：C．
9． 解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
tan∠ABC＝＝，
∴tan∠ADC＝，
故选：C．
10． 解：A、由函数图象知，当﹣1＜x＜2时，函数图象在x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜2时，y＜0，故选项A不符合题意；
B、由图可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故选项B不符合题意；
C、对称轴是直线x＝＝，当x＞时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
D、若顶点坐标为（，m），则直线y＝m﹣1与抛物线无交点，
∴方程ax2+bx+c＝m﹣1无实数根，故选项D符合题意；
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：根据题意得x﹣4≠0，解得x≠4．自变量x的取值范围是x≠4．
故答案为x≠4．
12． 解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
13． 解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠B＝48°，∠DEF＝∠D＝29°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝48°+29°＝77°，
故答案为：77．
14． 解：∵x2﹣x+m＝0的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣1）2﹣4m＞0，
解得：．
故答案为：．
15． 解：连接AC，过点C作CE⊥OA于点E，如图，
∵ABCD是菱形，
∴OC＝OA，OC∥AB．
∴△DOC与△ACO同底等高．
∴S△AOC＝S△OCD＝10．
在Rt△OCE中，
∵tan∠AOC＝，
∴．
∴设CE＝4k，则OE＝3k，
∴OC＝＝5k．
∴OA＝OC＝5k．
∴．
∴．
∴OE×CE＝6．
∴OE×CE＝12．
设C（a，b），则OE＝a，CE＝b．
∴k＝ab＝OE×CE＝12．
故答案为：12．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：（1）原式＝＝5．
（2）（2x﹣1）（x+1）＝0，
∴2x﹣1＝0或x+1＝0，
∴x1＝，x2＝﹣1．
17． 解：原式＝[]
＝
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝2．
18． 解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣20）元，
由题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
50﹣20＝30，
答：A种商品每件的进价是50元，B种商品每件的进价是30元；
（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，
由题意，得，
解得≤a≤18．
∵a为正整数，
∴a＝14、15、16、17、18，
∴商店共有5种进货方案．
19． 解：（1）样本容量为：10÷20%＝50，
则A组的人数为：50×6%＝3（人），C组的人数为：50×30%＝15（人），D组的人数为：50×26%＝13（人），E组的人数为：50×8%＝4（人），
∴F组的人数为：50﹣3﹣10﹣15﹣13﹣4＝5（人），
故答案为：50，
补全直方图如下：
（2）∵A组发表提议的代表中恰有1位女士，E组发表提议的代表中只有2位男士，
∴A组有1位女士、2位男士，E组有2位男士，2位女士，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽的两位代表恰好都是男士的结果有4种，
∴所抽的两位代表恰好都是男士的概率为＝．
20． 解：（1）四边形ABCD是菱形．
∵O为AC、BD的中点，
∴OA＝OC＝AC＝8，OB＝OD＝BD＝6．
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AO2+BO2＝100，AB2＝100．
∴AO2+BO2＝AB2．
∴∠AOB＝90°．
∵四边形ABCD为平行四边形，∠AOB＝90°，
∴四边形ABCD是菱形．
（2）设OQ＝x，则AP＝2x，OP＝8﹣2x，BQ＝6+x．
∵∠POQ＝90°，
∴PQ2＝OP2+OQ2，
又∵PQ＝BQ，
∴PQ2＝BQ2，
∴（6+x）2＝（8﹣2x）2+x2，
解得：．
又∵8＞x＞0，
∴AP＝2x＝11﹣．
21． 解：（1）∵反比例函数y1＝与一次函数y2＝k2x的图象相交于A（2，m），B（n，﹣3）两点．
∴A、B关于原点对称，
∴m＝3，n＝﹣2，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，﹣3），
故答案为（2，3）（﹣2，﹣3）；
（2）把A（2，3）代入y1＝得，k1＝2×3＝6，
∴反比例函数y1解析式为y1＝；
（3）连接CO、DO，
∵CD∥x轴，
∴S△CED＝S△COD，
∵S△COD＝|k1|+×|﹣4|＝+＝5，
∴△CDE的面积为5．
22． （1）解：连接OD．
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵CD＝10，∠BCD＝30°，
∴BC＝＝20，
∴OB＝OD＝10，
∵∠DOB＝2∠BCD＝60°，
∴的长＝＝；
（2）解：结论：DE与⊙O相切．
理由：∵AE＝EC，OB＝OC，
∴OE∥AB，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥CD，
∵OD＝OC，
∴∠DOE＝∠COE，
在△EOD和△EOC中，
，
∴△EOD≌△EOC（SAS），
∴∠EDO＝∠ECO＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE是⊙O的切线．
（3）证明：∵OE⊥CD，
∴DF＝CF，
∵AE＝EC，
∴AD＝2EF，
∵∠CAD＝∠CAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD AB，
∵AC＝2CE，
∴4CE2＝2EF AB，
∴2CE2＝EF AB．
23． 解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3），可得：，
解得：，
故抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
设直线AC解析式为y＝kx+n，将点A（﹣1，0）、C（2，3）代入得：，
解得：，
故直线AC为y＝x+1．
（2）作N点关于直线x＝3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y＝﹣x+，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m＝﹣×3+＝．
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3
解得，x＝0或x＝1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵点F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝或x＝，
即点E的坐标为：（，）或（，）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（，）或（，）．
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