2022-2023学年广州市新都学校七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）已知amb2与是同类项，则m﹣n＝（ ）
A．2 B．﹣1 C．1 D．3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2x3﹣x3＝1 B．3xy﹣xy＝2xy
C．﹣（x﹣y）＝﹣x﹣y D．2a+3b＝5ab
4．（3分）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
5．（3分）下列命题不正确的是（ ）
A．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．对顶角相等
D．从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短
6．（3分）估算的值（ ）
A．在﹣6与﹣5之间 B．在﹣5与﹣4之间
C．在﹣4与﹣3之间 D．在﹣3与﹣2之间
7．（3分）在平面直角坐标系中，第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，则a的值为（ ）
A．﹣8 B．2或﹣8 C．2 D．8
8．（3分）已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
9．（3分）麦当劳甜品店进行促销活动，同一种甜品第一件正价，第二件半价，现购买同一种甜品2件，相当于这两件甜品售价与原价相比共打了（ ）
A．5折 B．5.5折 C．7折 D．7.5折
10．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2023，﹣1） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，1）
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）比较大小： 6， ．（用“＞”或“＜”连接）
12．（3分）将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
13．（3分）如图，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE＝16°，则∠B等于 ．
14．（3分）已知二元一次方程组，则m﹣n的值是 ．
15．（3分）已知，AB⊥CD于点O，OE平分∠AOC，∠BOF＝28°，则∠EOF＝ ．
16．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是 ．
三．解答题（共8小题，满分62分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）已知3（x+1）2＝27，求x的值．
19．（6分）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移后得△DEF，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．
（1）画出△DEF；
（2）连接AD，BE，则线段AD与BE的位置关系是 ，数量关系是 ；
（3）求△DEF的面积．
20．（8分）如图所示，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）试判断BF与DE的位置关系？并说明理由；
（2）如果，DE⊥AC，∠2＝150°，求∠AFG的度数．
21．（8分）已知一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，
（1）求a的值；
（2）求关于x的方程ax3﹣64＝0的解．
22．（8分）已知点A（3a+2，2a﹣4），试分别根据下列条件，求出点A的坐标．
（1）经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行；
（2）点A到两坐标轴的距离相等．
23．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足|a+b|+（a﹣b+6）2＝0，线段AB交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．
（1）求出点A，B的坐标；
（2）如图2，若DB∥AC，∠BAC＝a，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度数；（用含a的代数式表示）．
（3）如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP的面积和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如图1，已知直线AB∥CD，∠CMN＝60°，射线ME从MD出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达MC后立即以相同的速度返回，到达MD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线NF从NA出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达NB后停止运动，此时ME也同时停止运动，其中a，b满足方程组．
（1）求a，b的值；
（2）若NF先运动30秒，然后ME一起运动，设ME运动的时间为t，当运动过程中ME∥NF时，求t的值；
（3）如图2，若ME与NF同时开始转动，在ME第一次到达MC之前，ME与NF交于点P．过点P作PQ⊥ME于点P，交直线AB于点Q，则在运动过程中，若设∠NME的度数为m，请求出∠NPQ的度数（结果用含m的代数式表示）．
答案解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、，故该选项不正确，不符合题意；
B、，故该选项不正确，不符合题意；
C、，故该选项正确，符合题意；
D、，无意义，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2． 解：∵amb2与是同类项，
∴m＝1，n＝2，
∴m﹣n＝1﹣2＝﹣1．
故选：B．
3． 解：A、原式＝x3，故A不符合题意．
B、原式＝2xy，故B符合题意．
C、原式＝﹣x+y，故C不符合题意．
D、2a与3b不是同类项，故D不符合题意．
故选：B．
4． 解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠3＝50°，
∵直线AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∴∠2＝40°．
故选：B．
5． 解：A、在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故原命题错误；
B、两直线平行，内错角相等，正确；
C、对顶角相等，正确；
D、从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短，正确，
故选：A．
6． 解：∵16＜17＜25，
∴，
∴．
故选：B．
7． 解：∵第一象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是5，
∴a+3＝5，
∴a＝2．
故选：C．
8． 解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．
所以，三角形的周长为20．
故选：B．
9． 解：设第一件商品x元，买两件商品共打了y折，根据题意可得：
x+0.5x＝2x×，
解得：y＝7.5．
故相当于这两件甜品售价与原价相比共打了7.5折．
故选：D．
10． 解：2023×÷π＝＝1011.5，
1011×2＝2022，
2022+1＝2023，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：∵＞，
∴＞6；
∵＞＝2，
∴﹣1＞1，
∴．
故答案为：＞，＞．
12． 解：如图：
∵∠1＝20°，∠3＝∠1+30°，
∴∠3＝∠1+30°＝20°+30°＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
13． 解：∵CE平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠DCE＝2×16＝32°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD＝32°．
故答案为：32°．
14． 解：，
①+②得3m﹣3n＝7，
∴m﹣n＝．
故答案为：．
15． 解：①根据题意画图，如图1．
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°．
∵OE平方∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝×90°＝45°．
∵∠BOC＝90°，
∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝90°﹣28°＝62°．
∴EOF＝∠COE+∠COF＝45°+62°＝107°．
②根据题意画图，如图2.
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°．
∵OE平方∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝×90°＝45°．
∵∠BOC＝90°，
∴∠COF＝∠BOC+∠BOF＝90°+28°＝118°．
∴EOF＝∠COE+∠COF＝45°+118°＝163°．
故答案为：107°或163°．
16． 解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，
∵AD⊥PQ，AF⊥AB，
∴∠BAF＝∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，
∴∠BAE＝∠CEA，
∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，
∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，
又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，
∴∠BCE+∠CEA＝180°，
∴AE∥BC，
∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，
∴α＝18°，
∴∠DAE＝18°，
∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，
故答案为：27°．
三．解答题（共8小题，满分62分）
17． 解：原式＝2+3+2﹣+
＝7．
18． 解：由等式的性质可得，（x+1）2＝9，
由平方根的定义可得，x+1＝±3，
即x＝2或x＝﹣4，
答：x＝2或x＝﹣4．
19． 解：（1）如图所示，△DEF即为所求；
（2）由图可知，线段AD与BE的位置关系是平行，数量关系是相等，
故答案为：平行，相等；
（3）S△DEF＝3×3﹣×2×3﹣×1×2﹣×1×3＝．
20． 解：（1）BF∥DE
理由如下：∵∠AGF＝∠ABC（已知）
∴FG∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠FBD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠2+∠FBD＝180°（等量代换）
∴BF∥DE（同旁内角互补两直线平行）
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°（已知）
∴∠1＝30°（等量代换）
∵DE⊥AC（已知）
∴∠DEF＝90°（垂直定义）
∵BF∥DE（已证）
∴∠BFA＝∠DEF＝90°（两直线平行，同位角相等）
∴∠AFG＝90°﹣30°＝60°．
21． 解：（1）∵一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，
∴a+6+2a﹣9＝0，
解得a＝1，
答：a＝1；
（2）当a＝1时，原方程可变为x3﹣64＝0，由立方根的定义可知，
x＝4，
即方程x3﹣64＝0的解为x＝4．
22． 解：（1）∵经过点A（3a+2，2a﹣4），B（3，4）的直线，与x轴平行，
∴点A和点B的纵坐标相同，
∴2a﹣4＝4，
∴a＝4，
∴3a+2＝3×4+2＝14，
∴点A的坐标为（14，4）；
（2）∵点A（3a+2，2a﹣4）到两坐标轴的距离相等，
∴|3a+2|＝|2a﹣4|，
∴3a+2＝2a﹣4或3a+2+2a﹣4＝0，
解得a＝﹣6或a＝0.4，
当a＝﹣6时，3a+2＝3×（﹣6）+2＝﹣16，2a﹣4＝2×（﹣6）﹣4＝﹣16
当a＝0.4时，3a+2＝3×0.4+2＝3.2，2a﹣4＝﹣3.2．
故点A的坐标为（﹣16，﹣16）或（3.2，﹣3.2）．
23． 解：（1）∵|a+b|+（a﹣b+6）2＝0，
∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，
∴a＝﹣3，b＝3，
∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图，过点M作MN∥DB，交y轴于点N，
∴∠DMN＝∠BDM，
又∵DB∥AC，
∴MN∥AC，
∴∠AMN＝∠MAC，
∵DB∥AC，∠DOC＝90°，
∴∠BDO＝90°，
又∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，∠BAC＝a，
∴，∠BDM＝45°，
∴，∠DMN＝45°，
∴；
（3）存在．
连接OB，如图．
设F（0，t），
∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，
∴，
解得，
∴F点坐标为，，
当P点在y轴上时，设P（0，y），
∵S△ABP＝S△APF+S△BPF，
∴×|y﹣|×3+×|y﹣|×3＝，
解得y＝5或y＝﹣2，
∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），
|x+3|×3＝，
解得x＝﹣10或x＝4，
∴此时P点坐标为（﹣10，0）或（4，0），
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）或（4，0）．
24． 解：（1），
①×2得，8a+2b＝34③，
②+③得，a＝4，
将a＝4代入①得，b＝1，
∴；
（2）∵∠CMN＝60°，AB∥CD，
∴∠ANM＝120°，
∵∠ANF＝30°，
∴∠FNM＝90°，
当0＜t＜45时，NF在MN的左侧，
∵ME∥NF，
∴ME在MN的右侧，
∴∠EMD＝∠ANF，
∴4t＝30+t，
∴t＝10；
当45＜t＜90时，NF在MN的左侧，
∵ME∥NF，
∴ME在MN的右侧，
∴360﹣4t＝30+t，
∴t＝66；
当90＜t＜135时，NF在MN的右侧，
∵NF∥ME，
∴ME在MN的左侧，
∴4t﹣360＝30+t，
∴t＝130；
当t＞135时，4t﹣540＝150﹣t，
∴t＝138，
综上所述：t的值为10或66或130或138；
（2）延长QP交CD于点G，
∵∠NME的度数为m，
∴∠PMC＝60°﹣m，
∵∠EMD＝4t，
∴60°﹣m＝180°﹣4t，
∴t＝30°+m，
∵PQ⊥EM，
∴∠GFM＝90°，
∴∠FGD＝30°+m，
∵AB∥CD，
∴∠AQP＝30°+m，
∵∠ANF＝t，
∴∠AQP＝∠ANF+∠QPN，即30°+m＝t+∠QPN，
∴∠QPN＝30°+m﹣t＝m．
