北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，⊙O中，弧AB＝弧AC，∠C＝70°，求∠A的度数．
2．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，在AB上截取AD＝AC，OE⊥CD于E，连接BC．
（1）求证：∠DOE＝∠BCD．
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求CE的长．
3．如图，AD＝BC，AC＝1，∠D＝30°．
（1）求证：AB＝CD；
（2）求⊙O的半径长．
4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，．
（1）求边CD的长；
（2）若△ABE与△ABD关于直线AB对称，连接DE，求线段DE的长．
5．点A是矩形EFBG边EG上的点，以AB为直径的圆交EF于点D和点C，AE＝ED，连接BD，BC，AC．
（1）求证：AC＝BC．
（2）已知，求CD的长．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E．
（1）求证：BC＝EC；
（2）若BC，EC是方程x2﹣（m﹣2）x+m+1＝0的两根，求EC的长．
7．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE＝CE，∠C＝70°，求∠DOE的度数．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．
（1）求证：OD∥BC．
（2）连接AC，若AB＝5，CD＝2，求AC的长．
9．如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．
10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．
（1）求证：∠AKD＝∠CKF；
（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大小．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：H为CE的中点；
（2）若BC＝10，cosC，求AE的长．
12．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠AOC＝58°
（1）求∠ADB的度数；
（2）若OE＝3，OA＝5，求BC的长．
13．在圆⊙O中，AB为弦（不是直径），K为弧AB的中点，C为优弧AB上一点，连接KC交AB于M
（1）如图1，作直径CT，连接KT，求证：∠KTC＝∠KMB；
（2）如图2，作直径AD交KC于N，若∠ADC＝45°，求证：AN＝AM．
14．如图，⊙O半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连结AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：BE∥AM．
（2）过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D．求AH的长．
15．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是上的一点，且，连接BF，求证：BF＝BE．
学习小组中的一位同学进行了如下证明：
如图2，连接AC，CE，BC
∵CD⊥AB，AD＝DE．
∴∠CAE＝∠CEA
∵∠CAE+∠F＝180°，∠CEA+∠CEB＝180°
∴∠F＝∠CEB
……
请完成下列的任务：
（1）完成上面的证明：
（2）如图3，将上述问题中弦AB改为直径AB，若CF∥AB，求证点E是AB的中点．
16．如图，A、B是⊙O上的两个点，连接OA、OB、点C、D是OA、OB上靠近圆心O的三等分点，点E、F是的三等分点，连接DF、CE．
（1）求证：DF＝CE；
（2）连接CD、EF，请你判断CD、EF的位置关系，并说明理由．
17．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
18．如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，CE与DF交于点G．已知AE+AF＝AB．
（1）求证：CE⊥DF；
（2）以点G为圆心，GD为半径的圆与线段DF交于点H，点P为线段BH的中点，联结CP，如图2所示，求证：∠BCP+∠DCE＝∠ECP．
19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，对角线AC为⊙O的直径，E为⊙O外一点，AB平分∠DAE，AD＝AE，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）连接CE，求证：2BE2+AE2＝CE2．
20．如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE⊥AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G．
（1）求证：CF＝CG；
（2）如图2，若AF＝DG，连接OG，求证：OG⊥AB．
参考答案
1．解：∵弧AB＝弧AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
即∠A的度数为40°．
2．（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
∵OE⊥CD，
∴∠OED＝90°，
∴∠DOE+∠ODE＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ODE，
∴∠DOE＝∠BCD；
（2）解：∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∵AB＝6，
∴OC＝3，
∴CEOC3．
3．解：（1）∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD；
（2）如图，连接OA、OC，则OA＝OC，
∵∠D＝30°，
∴∠AOC＝2∠D＝60°，
∴△AOC是正三角形，
∴OA＝OC＝AC＝1，
即⊙O的半径为1．
4．解：（1）如图，∵∠ABC＝90°，
∴AC是直径，
∵AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∴∠ADC＝90°，
∵，
∴AD＝CDAC＝5；
（2）见右图，作△ABE与△ABD关于直线AB对称：
过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥BA交BA的延长线于点N．
∵，
∴∠DBM＝∠DBN，
在△DBM和△DBN中，
，
∴△DBM≌△DBN（AAS），
∴DM＝DN，BM＝BN，
在Rt△DCM和Rt△DAN中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DAN（HL），
∴CM＝AN，
∴BM+BN＝BC﹣CM+AB﹣AN＝14，
∴BM＝BN＝7，
∵∠DBM＝∠DBN＝45°，
∴DM＝BM＝BN＝DN，
∴BD＝7，
∵DB＝EB，∠DBA＝∠EBA＝45°，
∴∠EBD＝90°，
∴DEBD＝14．
5．（1）证明：如图所示，连接AD，
∵四边形EFBG是矩形，
∴∠E＝90°，
∵AE＝DE，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴∠BDC＝45°，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，
∴AC＝BC；
（2）解：∵在Rt△AED中，DE＝AE＝1，∠E＝90°，
∴，
∵在Rt△ABD中，，
∴，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴在Rt△AEC中，由勾股定理得，
∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2．
6．（1）证明：连接AC．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°＝∠ACE．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC＝180°，又∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D．
∵C是的中点，
∴∠EAC＝∠DAC，
∴∠EAC+∠E＝∠DAC+∠D＝90°，
∴∠E＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，
∴BC＝EC；
（2）解：由题意方程x2﹣（m﹣2）x+m+1＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（m﹣2）]2﹣4（m+1）＝0，
∴m＝0或8，
当m＝0时，方程为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1（不符合题意舍去），
当m＝8时，方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3．
∴CE＝3
综上所述，CE＝3．
7．解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，∠BAC＝2∠CAE，
∴∠BAC＝40°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝∠BAC＝40°．
8．解：（1）如图，连接AC，交OD于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC；
（2）如图，连接OC，
由（1）可得，OD⊥AC．
∵AB＝5，
∴OC＝OD＝2.5，
∴设DE＝x，则OE＝2.5﹣x．
在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2，
在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2，
∴4﹣x2＝2.52﹣（2.5﹣x）2．
解得x．
∴CE
∴AC＝2CE．
9．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵∠B＝90°，∠BAC＝30°，AC＝10，
∴BCAC＝5，ABBC＝5，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC
＝55
＝25，
∴矩形ABCD的面积为25．
10．（1）证明：连接AD、AC，
∵∠CKF是圆内接四边形ADCK的外角，
∴∠CKF+∠AKC＝180°，∠AKC+∠ADC＝180°
∴∠CKF＝∠ADC，
∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴，
∴，
∴∠ADC＝∠AKD，
∴∠AKD＝∠CKF；
（2）解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB＝8，
∴OD＝OA＝4，
∵弦CD⊥AB，CD＝4，
∴DE＝CECD＝2，
在Rt△ODE中，OE2，
∴AE＝6，
在Rt△ADE中，tan∠ADE，
∴∠ADE＝60°，
∵∠CKF＝∠ADE＝60°．
11．（1）证明：连接DE，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠AED＝180°，
∵∠AED+∠DEC＝180°，
∴∠B＝∠DEC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴H为CE的中点；
（2）解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CDBC＝5，
在Rt△ADC中，cosC，
∴AC5，
在Rt△CDH中，CH＝CD cosC＝5，
∵H为CE的中点，
∴CE＝2CH＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝3，
∴AE的长为3．
12．解：（1）连接OB，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴，
∵∠AOC＝58°，
∴∠BOA＝∠AOC＝58°，
∴∠ADB∠BOA＝29°；
（2）∵OA⊥BC，BC＝2，OA过圆心O，
∴BE＝EC，
∵OB＝OA＝5，OE＝3，
∴BE4，
∴BC＝2BE＝8．
13．证明：（1）连接AK，如图1，
∵K为弧AB的中点，
∴，
∴，
∵∠KMB＝∠A+∠AKM，
而∠A对，∠AKC对，
∴∠KTC＝∠KMB；
（2）连接OC，如图2，
∵K为弧AB的中点，
∴OK⊥AB，
∴∠K+∠KMB＝90°，
∵OC＝OD，∠D＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCK+∠ONC＝90°，
而OK＝OC，
∴∠K＝∠OCK，
∴∠KMB＝∠ONC，
∵∠KMB＝∠AMN，∠ONC＝∠ANM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN．
14．（1）证明：∵MC是圆的直径，
∴∠MAC＝90°，
∴MA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴BE∥MA；
（2）连接MB，
∵MC是圆的直径，
∴∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴BM∥AD，
∵BE∥MA，
∴四边形AMBH是平行四边形，
∴AH＝MB，
∵圆的半径是2，BC＝3，
∴MC＝4，
∴MB，
∴AH．
15．解：（1），
∴∠CBF＝∠CBE，
又∵BC＝BC，
∴△BCF≌△BCEC（AAS），
∴BF＝BE；
（2）证明：如图，连接AC，CE，BC．
∵CF∥AB，
∴∠BCF＝∠ABC，
∵，
∴∠CBF＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠CBF，
∴，BF＝CF，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CAE＝∠ABF＝60°，
∵CD⊥AB，AD＝DE，
∴∠CAE＝∠CEA＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴AE＝CE，
∵∠CEA＝∠ABF＝60°，
∴CE∥BF，
又∵CF∥AB，BF＝CF，
∴四边形BECF为菱形，
∴CE＝BE，
∴AE＝BE，
∴点E是AB的中点．
16．（1）证明：延长AO交⊙O于M，延长BO交⊙O于N，
∵点E、F是的三等分点，
∴，
∴BF＝AE，，
∵∠BOM＝∠AON，
∴，
∴，
∵圆周角∠EAC对着，圆周角∠FBD对着，
∴∠FBD＝∠EAC，
∵点C、D是OA、OB上靠近圆心O的三等分点，OB＝OA，
∴AC＝BD，
在△BDF和△ACE中，
，
∴△BDF≌△ACE（SAS），
∴DF＝CE；
（2）解：CD∥EF，
理由是：作直线CD，交⊙O于W、Q，连接QF，
∵点C、D是OA、OB上靠近圆心O的三等分点，OB＝OA，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵OW＝OQ，
∴∠W＝∠Q，
∵∠ODC＝∠W+∠BOW，∠OCD＝∠Q+∠AOQ，
∴∠BOW＝∠AOQ，
∴，
∵，
∴，
∵圆周角∠FQW对着，圆周角∠EFQ对着，
∴∠FQW＝∠EFQ，
∴CD∥EF．
17．解：（1）△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠EBC，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形；
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°，
∵AE+AF＝AB，AE+DE＝AD，
∴AF＝DE，
∵△DAF≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠CDG＝90°，
∴∠DCE+∠CDG＝90°，
∴∠DGC＝180°﹣（∠DCE+∠CDG）＝90°，
∴CE⊥DF；
（2）由（1）知CE⊥DH，
∵GD＝GH，
∴CE垂直平分DH，
∴CD＝CH，
∴∠DCE＝∠HCE，
∵CD＝BC，
∴CH＝BC，
∵P为线段BH的中点，
∴∠BCP＝∠HCP，
∴∠BCP+∠DCE＝∠HCP+∠HCE，
∴∠BCP+∠DCE＝∠ECP．
19．（1）解：连接BD，
∵AB平分∠DAE，
∴∠EAB＝∠BAD，
∵AE＝AD，AB＝AB，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADB，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝45°，
∴∠AEB＝∠ACB＝45°；
（2）证明：延长EA交⊙O于F，连接BF，CF，
∵AC是圆的直径，
∴∠AFC＝90°，
∴EF2+CF2＝CE2，
由（1）知∠FEB＝45°，
∵∠BFE＝∠ACB＝45°，
∴△BFE是等腰直角三角形，
∴EF2＝2BE2，
∵BD＝BE，
∴BD＝BF，
∴，
∴，
∴，
∴CF＝AD＝AE，
∴2BE2+AE2＝CE2．
20．证明：（1）连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAG+∠AGC＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵D为弧BC的中点，
∴，
∴∠CAG＝∠FAE，
∴∠AGC＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠AGC＝∠CFG，
∴CF＝CG；
（2）连接AC，CD，
∵∠CFG＝∠CGF，
∴180°﹣∠CFG＝180°﹣∠CGF，
∴∠AFC＝∠CGD，
∵CF＝CG，AF＝CD，
∴△AFC≌△DGC（SAS），
∴AC＝CD，
∴，
∵，
∴，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴GA＝GB，
∵OA＝OB，
∴GO⊥AB．
