怀化市2023年下期期中九年级教学质量抽测试卷
数 学
时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.已知点在双曲线上，则下列各点中，在此双曲线上的点是（）
A. B. C. D.
2.下列方程是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
3.用配方法解方程，配方正确的是（）
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，若，则DE等于（）
A.5 B.4 C.2.5 D.2
5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
6.杭州亚运会吉样物深受大家喜爱，某商户3月份销售吉样物“宸宸”摆件10万个，5月份销售121万个，设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（）
A. B.
C. D.
7.如图，中，，，.将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
8.定义：一元二次方程，若满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；若满足，那么我们称这个方程为“友善”方程.已知关于x的方程既是“和谐”方程，又是“友善”方程，则下列结论中正确的是（）
A.方程有两个相等的实数根 B.方程的两个根互为相反数
C.两根之积为0 D.无实数根
9.在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角项点C的坐标为，顶点A的坐标为，项点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点的坐标为（）
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，.点F是边BC上一动点，过点F作交AC于点D，E为线段DF的中点，当BE平分时，AD的长度为（）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是______.
12.若m是方程的一个根，则代数式______.
13.设，那么______.
14.己知点P是线段AB的黄金分割点，，若，则AP的值为______.
15.若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的面积为______.
16.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为______米.
17.若关于x的一元二次方程的常数项为0.则m的值等于______.
I8.如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是16，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为56，则反比例函数的解析式是______.
三、解答题（8小题，共66分）
19.（6分）解下列方程：
（1） （2）
20.（6分）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上.
（1）以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）；
（2）若，，的面积分别为S、，写出S、的数量关系.
21.（8分）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BG上，，，B.
（1）求证：；
（2）DM与MN有什么数量关系，请说明理由；
（3）DM与MN有什么位置关系，请说明理由.
22.（8分）一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时的身高AM影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向维续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得，已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长.（结果精确到0.1m）
23.（9分）已知关于x的方程.
（1）当m满足什么条件时，方程有实数根？
（2）设方程的两实根分别为、，且，求m的值.
24.（9分）直福购物逐渐走进了人们的生活，某电商在料者上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售、如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品的售价每降低1元，则日销售量可增加2件.
（1）当每件小商品的售价为50元时，日销售量为______件；
（2）若计划每日获利448元，为了尽快减少库存，每件售价应定为多少元？
25.（10分）如图，在中，点E在AB上，，ED和AC相交于点F，过点F作，交AD于点G.
（1）求的值.
（2）若，
①求证：.
②求证：.
26.（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于A，B两点，其中，直线与y轴、x轴分别交于C，D两点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使的值最小，并求满足条件的点P的坐标；
（3）在坐标平面中是否存在点Q，使得以Q，A，B为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
2023年下学期九年级期中测试数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.C 2.A 3A 4.B 5.D 6.A 7C 8.B 9.C 10.B
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 12.3 13. 14. 15.10 16.3 17. 18.
三、解答题（8小题，共66分）
19.（6分）
（1）解： ...............1′
∴ ...............2′
解得， ...............3′
（2）解：，，
∴ ...............1′
∵
∴ .................2′
解得， ...............3′
（配方法类比给分）
20.（6分）（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分）
...............3′
（2）S、的数量关系为：. .............6′
21.（8分）（1）证明：在正方形ABCD中，，
∵
∴
在和中
∴ ..............2′
又∵
∴ ..............3′
（2），理由如下 ...............4′
∵
∴ ................5′
（3），理由如下： ..................6′
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ...................8′
22.（8分）解：设CD长为x米，
∵，，，米，
∴
∵ ∴ ∴米， ...............3′
∵ ∴ ∴ ...............4′
...............5′
解得： ................6′
经检验，是原方程的解 ...............7′
又.
答：路灯的高CD的长约为6.1米 ...............8′
23.（9分）解：（1）依题意得
∴
∴ ..............3′
∴当时，方程有实数根. ..............4′
（2）由韦达定理得， .............5′
∵
∴ ............6′
∴ ............7′
∴， ............8′
∵ ∴ .............9′
24.（9分）（1）40 ............3′
（2）解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为元， ............4′
日销售量为：（件） ............5′
依题意得： ............6′
解得：， ...........7′
又∵商家想尽快销售完该款商品，
∴ ............8′
答：每件售价应定为54元. .........9′
25.（10分）
解：（1）因为在中，，
∴.
∴ ............2′
（2）①证明：∵，可设，则
由（1）知：，∴ ............3′
∴，∴ ∴ ............4′
又∵
∴ ............5′
∴ ............6′
②证明：∵
∴
又∵ ∴
∴ ............7′
又∵
∴ ............8′
∴ ...........9
∴ ............10′
26.（10分）
解：（1）将点代入得， ............1′
∴ ............2′
∴反比例函数的表达式为； ............3′
（2）把代入得，解得，
∴点B的坐标为 ............4′
作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的值最小，
∵点B的坐标为， ∴点的坐标为 ............5′
设直线的函数表达式为，
将点、代入，得
，解得，
∴直线的函数表达式为， ............6′
当时，，解得
∴点P的坐标为； ............7′
（3）P点坐标为，，，，，.（每个0.5分） ............10′
