贺兰重点中学2023-2024学年第一学期高二数学周末练习卷（12）
一、单选题
1．若直线与垂直，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
3．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．古希腊数学家波罗尼斯（约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个园称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹围成的面积为
A． B． C． D．
5．已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为
A．-=1 B．-=1 C．-=1 D．-=1
6．已知P为抛物线上一动点，F为E的焦点，点Q为圆上一动点，若的最小值为3，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，与轴交于点.且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆：.则下列结论正确的是（ ）
A．长轴为6 B．短轴为4
C．焦距为 D．离心率为
10．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．C的渐近线方程为
B．若直线与双曲线C有交点，则
C．点P到C的两条渐近线的距离之积为
D．当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为2
11．若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则曲线为椭圆 B．若曲线为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
12．已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若的最小值为，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为1 B．椭圆C的短轴长为
C．的最小值为 D．过点F的圆E的切线斜率为
三、填空题
13．经过两点的直线的方向向量为，则 ．
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
15．已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ．
16．已知抛物线上一点为焦点.直线交抛物线的准线于点，满足.则 .
四、解答题
17．已知的周长为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若，求的面积．
18．已知圆经过点，，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
19．已知点，圆.
(1)若过点的直线与圆相切，求直线的方程：
(2)若直线与圆相交于两点，弦的长为2，求的值.
20．如图，直三棱柱中，，，为棱AB的中点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
21．已知抛物线（）的焦点为F，的顶点都在抛物线上，满足．
(1)求的值；
(2)设直线AB、直线BC、直线AC的斜率分别为，，，若实数满足：上，求的值．
22．已知椭圆C：（）的焦距为，且过点.
（1）求椭圆方程；
（2）设直线l：（）交椭圆C于A，B两点，且线段的中点M在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点N.
参考答案
1．D
【分析】根据直线垂直的条件求解．
【详解】由题意，∴．
故选：D．
2．B
【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.
【详解】的圆心为，的圆心为，
由于,，
所以与圆外切，
故选：B
3．D
【分析】结合抛物线的准线确定其焦点即可.
【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
4．B
【分析】利用两点之间的距离公式得到、的表达式，代入求得的轨迹方程，进而求圆的面积．
【详解】设，
则，
同理，
而，
，
化简得：，即，
整理得：，
从而的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，
动点的轨迹围成的面积为，
故选：B．
【点睛】本题以“阿波罗尼斯圆”为问题背景，考查圆的另一种定义及阅读理解能力，属于中档题．
5．A
【详解】由题意得，双曲线的焦距为，即，
又双曲线的渐近线方程为，点在的渐近线上，
所以，联立方程组可得，
所以双曲线的方程为．
考点：双曲线的标准方程及简单的几何性质．
6．B
【分析】过过点作抛物线的准线的垂线，为垂足，则，结合圆的性质可得答案.
【详解】可转化为，则圆心为，半径为1.
因为的最小值为3，点Q为圆上一动点，
设抛物线的准线为，则的方程为：
过点作,为垂足，则
如图，则.
由，可得，
故选：B
7．B
【分析】若为左焦点、，根据题设得到轴，结合线段长度的数量关系及椭圆定义得到、，再由点在椭圆上求得，进而有代入方程即可求离心率.
【详解】如下示意图，不妨假设在轴下方，在轴上方，
若，则，且是中点，
若为左焦点，且是中点，则，即轴，
由，，则，
由，易得，
所以，联立整理可得，故代入椭圆方程，
所以.
故选：B
8．B
【详解】设，则由得，即，则，则，则，解得，即抛物线的方程为．
．
考点：直线与抛物线的位置关系．
9．ABD
【分析】根据椭圆方程确定长短轴、焦距和离心率即可.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴为6，短轴为4，焦距为，离心率为.
所以A、B、D对，C错.
故选：ABD
10．AC
【分析】由双曲线的渐近线方程可判断A，通过对比直线与双曲线的渐近线斜率之间的关系可求解B，结合点到直线的距离公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，结合双曲线方程化简可得定值，则D可判断.
【详解】双曲线，则，
对于A，C的渐近线方程为，A正确；
对于B，由双曲线的渐近线方程为可知，
若直线与双曲线C有交点，则，B错误；
对于C，设点，则，
点P到C的两条渐近线的距离之积为，C正确；
对于D，易得，，设，则，
所以直线PA，PB的斜率之积为，D错误．
故选：AC.
11．BD
【分析】根据的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可.
【详解】对于A, 当时，此时曲线为圆，故A错，
对于B,若曲线为双曲线，则，即或， 故B对，
对于C, 若曲线为圆，则即，故曲线可能是圆，故C错，
对于D, 曲线表示焦点在轴上的椭圆,则，解得，故D对.
故选：BD.
12．BD
【分析】求出的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得的值，进一步求出的值，可判断选项AB；利用椭圆的定义结合圆的几何性质可判断C选项；设出切线方程，利用点到直线的距离公式求出切线的方程，可判断D选项.
【详解】对于A，因为椭圆的长轴长与圆的直径长相等，所以，即，
设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知，
所以，
所以，解得或，
因为，所以，即椭圆的焦距为，故A错误；
对于B，由，所以椭圆的短轴长为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，若过点的直线的斜率不存在，则直线方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意；
设过点的切线方程为，即，则，解得，故D正确.
故选：BD.
13．2
【分析】方向向量与平行，由此可得．
【详解】由已知，是直线的方向向量，则，
故答案为：2.
14．///
【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径
又因为
所以圆与圆相离，所以有4条公切线.
画图为：
易得或是圆和的公切线
设另两条公切线方程为：
圆到直线的距离为
圆到直线的距离为
所以
所以或
或
当时
所以，切线方程为
当时
所以
所以
所以或
当时，切线方程为
当时，切线方程为
故答案为：或或或
15．
【分析】首先设点，求过点的直线方程，并判断直线过定点，再利用几何关系求最大值.
【详解】设，
过点引圆的两条切线，切点分别为，
则切点在以为直径的圆上，
圆心，半径，则圆的方程是，
整理为：，
又点在圆上，
两圆方程相减得到，
即直线的方程是，因为，
代入得，则直线恒过定点，
所以点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：首先本题求以为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.
16．
【分析】由向量的平行的坐标表示求出得抛物线标准方程，再代入点坐标可得.
【详解】由题意，准线方程为，
，则，解得，即抛物线方程为，
，，
故答案为：.
17．(1)
(2)7
【分析】（1）结合椭圆定义可得的轨迹方程.
（2）利用及椭圆定义可列出方程，求解，即可算出的面积．
【详解】（1）的周长为14且，
根据椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，以8为长轴长的椭圆，
即，故顶点的轨迹方程为，
又为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为．
（2）①．
点在椭圆上，且为焦点，
，
故②．
由①②可得，，
故．
的面积为7．
18．(1)
(2)或
【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.
（2）根据已知条件求得满足的方程联立即可求得的坐标.
【详解】（1）∵圆心在直线上，
设圆心，
已知圆经过点，，则由，
得
解得，所以圆心为，
半径，
所以圆的方程为；
（2）设，
∵在圆上，∴，
又，，
由可得：，
化简得，
联立
解得或.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）由题设易知在圆上，进而可得直线斜率为，应用点斜式写出直线方程；
（2）由题设求出到的距离，结合已知及几何法求弦长列方程求参数值即可.
【详解】（1）由于，即在圆上，而圆心，则，
所以过点的切线斜率为，
故直线的方程为.
（2）由，圆心，半径为，
则到的距离，又弦的长为2，
所以，可得.
20．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，证明出CM，ME，BM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，从而得到，进而证明出平面；
（2）求出平面的法向量，从而利用空间向量求解线面角的正弦值.
【详解】（1）连接CM，因为，为棱AB的中点，
所以CM⊥AB，
过点M作，
因为三棱柱为直三棱柱，
所以⊥平面ABC，
因为平面ABC，
所以ME⊥BM，ME⊥CM，
故以M为坐标原点，MB，MC，ME所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以BM=AM=1，
由勾股定理得：，
所以，
则，设平面的法向量为，
则，
解得：，令，则，
故，
所以，
所以，平面，故平面；
（2）则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量和可知，再利用抛物线定义即可得解；
（2）根据及斜率公式化简即可得解.
【详解】（1）设，，
因为，
所以，，
即，
由抛物线定义知，，
，，
所以.
（2）由（1）知，．
∵，
同理，
∴，
，解得.
22．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据题意椭圆过点，结合，求出a，b即可得结果；
（2）联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式化简，进而用k表示出中点M的坐标，进而表示出的中垂线方程即可得结果.
【详解】（1）椭圆过点，即，
又，得，所以，，即椭圆方程为；
（2）由，得，
设，，
则，设的中点M为，得，
即，所以.
所以的中垂线方程为，即，故的中垂线恒过点.
