怀仁重点中学高二年级2023~2024学年上学期期中考试
数学试题
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为（ ）
A．9 B． C．3 D．
3．已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是空间的一个基底，，，若，则（ ）
A．0 B． C．6 D．5
5．已知圆经过点，，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段（为坐标原点）长度的最大值为（ ）
A． B．10 C． D．
6．已知，是椭圆：上的两点，点是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（ ）
A． B． C．18cm D．
8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知方程表示的曲线为，则（ ）
A．当时，曲线表示椭圆
B．存在，使得表示圆
C．当或时，曲线表示双曲线
D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为
10．已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ）
A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上
C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上
11．过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为，若的最小值为8，则（ ）
A．的坐标为
B．若，则
C．的中点到的准线的最小距离为4
D．当时，为的一个四等分点
12．已知椭圆：过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．的方程为
C．若，则
D．若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．试写出一个点的坐标：________，使之与点，三点共线（与，不重合）．
14．已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为________．
15．已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为________．
16．已知，分别是双曲线：的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为4；
（2）双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点．
18．（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，底面是正方形，，分别在棱，上且，．
（1）证明：平面;
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，直线经过抛物线：的焦点，且与相交于，两点，直线交的准线于点．
（1）若，求直线的方程;
（2）证明：直线平行于轴．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线交于，两点，．
（1）若，的周长为18，求的值；
（2）若，求的离心率．
21．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，．
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为 若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点 若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
怀仁重点中学高二年级2023~2024学年上学期期中考试·数学试题
参考答案、提示及评分细则
1．B 由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，
又因为，，所以，解得．故选B．
2．D 由是上一点，得：，解得，所以．故选D．
3．A 由题意知，的过第一象限的渐近线斜率为，与原点连线的斜率为0，故斜率的取值范围为．故选A．
4．C ，因为，所以存在实数，使得，
所以，
所以
解得所以．故选C．
5．D 线段中点的坐标为，，
所以线段的中垂线的斜率为，
所以线段的中垂线的方程为，又圆心在直线上，
所以解得
所以圆心为，，．故选D．
6．A 设，，则的中点坐标为，
所以，，将，的坐标代入椭圆的方程
作差可得，
所以，所以直线的方程为，即．故选A．
7．B 该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点．设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，
所以．又喉部（中间最细处）的直径为8cm，所以，，
所以双曲线的方程为．
由题意可知，，代入双曲线方程，得，，
所以该塔筒的高为．故选B．
8．C 取的中点为，连接，，，因为，为的中点，
所以，又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，又底面是矩形，
所以，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，
由，，，得，
所以，，，
则，设，
则，，
，，
因此点到直线的距离
当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为．故选C．
9．BC 因为时，曲线表示圆，故A错误，B正确;
由，解得或，即当或时，曲线表示双曲线，故C正确；
对于D项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
解得，设椭圆的焦距为，
此时，所以其焦距为，与的取值有关，故D错误．故选BC．
10．ABD 若，则，
即，所以，故点在棱上，故A正确;
若，则，所以，故点在线段上，故B正确;
若，则，故为的中点，故C错误;
若，则，，三点共线，即点在上，故D正确．故选ABD．
11．BCD 由题意知，故，所以，，故A错误;
设直线为，与抛物线方程联立，得，
所以，，
所以，
解得，即的斜率为，
所以，或，所以，故B正确；
的中点到准线的距离，当时，最小，其最小值为4，故C正确；
当时，直线的方程为，联立抛物线得，所以，，
所以，则为的一个四等分点，故D正确．故选BCD．
12．AC 设，，则，
即．
因为，在椭圆上，
所，，
两式相减，得，
即，
又，所以，即，
所以，离心率，故A正确；
因为椭圆过点，
所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为，故B错误；
若，则直线的方程为，
由得，
所以，，，故C正确；
若，则直线的方程为．假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，
所以，，因为，关于直线对称，
所以且点在直线上，即．
又，在椭圆上，
所以，，两式相减，
得，即，
所以，即．
联立
解得
即．又，
所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称．故选AC．
13．（满足即可）设，由，，三点共线，得，即，故，，，
即，，，不妨令，则，，，故此时点的坐标为．
14．5 过作准线的垂线，垂足为，则，当，，三点共线时，最小，其最小值为．
15． 圆的标准方程为，圆心为，半径．
在中，，
所以，设，则，
所以当最小时，的值最大，
此时最小，又的最小值为点到直线的距离，即，所以．
16． 由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，由轴，可知轴，所以可设，又在渐近线上，
所以，所以，因为的离心率的取值范围是，
所以，，
又，所以．
17．解：（1）已知双曲线的焦点在轴上，
所以可设的标准方程为，
又的渐近线方程为，所以，即， 2分
由的两顶点之间的距离为4，得，所以，． 4分
故双曲线的标准方程为． 5分
（2）因为与双曲线有共同的渐近线，
所以可设为，， 7分
因为过点，则，解得， 9分
故双曲线的标准方程为． 10分
18．（1）证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，
因为，所以且， 2分
由正方形，，得且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以， 4分
又平面，平面，
所以平面． 6分
（2）解：若，则可设，所以．
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，， 8分
设平面的法向量为，则
由
得
令，得平面的一个法向量为， 10分
设直线与平面所成角的大小为，
则
即直线与平面所成角的正弦值为． 12分
19．（1）解：抛物线：的焦点为，准线方程为，
设，，
由抛物线定义，得，所以， 2分
当直线的斜率不存在时，，不符合要求，
故直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，得，则，解得， 4分
所以直线的方程为或 6分
（2）证明：设，，则直线的方程为，
令，可得， 8分
设直线的方程为，代入方程，得，所以， 10分
所以，所以直线平行于轴． 12分
20．解：（1）由，，得，．
因为的周长为18，所以由椭圆定义可得， 2分
解得． 3分
又，，
所以，
所以 6分
（2）设，则，．
由椭圆定义可得，．
在中，由余弦定理可得，
即
化简可得，又，，故，
所以，，
所以，所以，
所以
即，解得，
所以的离心率． 12分
21．解：（1）由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，
所以，， 1分
设平面的一个法向量，
则\
即
令，则，，
所以 3分
设平面的一个法向量，
则
即
令，则，，所以， 5分
设平面和平面所成锐二面角为，
则
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 6分
（2）假设存在，又，
则，，
因为直线与所成角的余弦值为，
所以，
因为，所以，即存在点为棱的中点时满足条件． 8分
故，，
设平面的一个法向量，
则
即
令，则，，
所以， 10分
所以点到平面的距离为 12分
22．解：（1）依题意，得
又，解得（负值舍去）
所以椭圆方程为． 3分
（2）因为，，
所以，，
又为线段的中点，所以，因此． 4分
根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，，，
联立消去，
得，
根据韦达定理可得，． 6分
因为，
所以
8分
所以，
整理得，解得或． 10分
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为 12分
