天津市重点中学2023-2024年度第一学期第二次学情调查
高二数学试卷
I卷（共32分）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回.
一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.
1.若两直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A.-3 B.3 C. D.
2.过点的直线在两坐标轴上.的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A. B.
C.或 D.或
3.方程所表示的圆的最大面积为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在平行六面体中，，为中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A.5 B.6 C. D.
6.已知椭圆为椭圆的对称中心，为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，轴，与椭圆的另一个交点为点为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知双曲线的离心率为，以坐标原点为圆心，双曲线的虚半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，若四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足.动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
II卷（共68分）
二 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9.已知直线经过两点，则该直线的倾斜角为__________.
10.直线与直线平行，则这两条平行线间的距离为__________.
11.已知圆，直线，直线被圆截得的弦长为__________.
12.已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为__________.
13.已知双曲线的右焦点为分别为双曲线的左 右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一 二象限分别交于两点，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为__________.
14.“数学在晚旁，月也在晚旁.”是时候为《晚旁》写一句诗 做一枚徽标了.“晩旁”徽标是借两个圆设计而成，其状如月（如图1）.已知，其中.如图为圆与的交点，若弦将圆分为长度之比为的两段弧，则组成“月亮”的两段弧长之比为__________.（请写出长度较小的弧与长度较长的弧的长度之比，即该比值小于1.）
三 解答题：本大题共3小题，共44分.解签应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，点在线段上，且.
（1）求与所成的角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
16.（本小题满分15分）
已知椭圆过点，且长轴长等于4.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆的两个焦点，圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.
17.（本小题满分15分）
已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过做椭圆的切线，交直线于点.
①求证：；
②求三角形面积的最小值
