第3章 概率 章节练习
一、单选题
1．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．已知事件A，B满足，，，则的值是（ ）
A．0.7 B．0.42 C．0.5 D．0.6
3．北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．一口袋里有大小形状完全相同的10个小球，其中红球与白球各2个，黑球与黄球各3个，从中随机取3次，每次取3个小球，且每次取完后就放回，则这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为
A． B． C． D．
6．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．> B．
C． D．
7．已知，且，则下列说法不正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．甲、乙两人进行比赛，假设每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，且各局比赛互不影响．若采取“5局3胜制”，则概率最大的比赛结果是（ ）
A．乙赢得比赛 B．甲赢得比赛
C．甲赢得比赛 D．甲赢得比赛
二、多选题
9．甲口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙口袋中有3个红球，2个白球和3个黑球，先从甲口袋中随机取出2球放入乙口袋，记“从甲袋中取出的两球中含有个红球”的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．是两两互斥的事件
10．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（ ）
，，）
A． B．
C． D．
11．若，则，．已知，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
12．设随机变量，，则下列说法正确的是（ ）
A．，服从二项分布
B．
C．当且仅当时，取最大值
D．使成立的实数对共有11对
三、填空题
13．某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，旦每个人的选择相互之间没有影响，任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是 ．
14．最近网上比较火的“挖呀挖黄老师”的歌词中“种什么样的种子开什么样的花”，假设种小小的种子开小小的花的概率为0.9，种大大的种子开大大的花的概率为0.8．现袋子中有10颗种子，其中有6颗小小的种子和4颗大大的种子，每颗种子只能开小小的花或大大的花，那么取出一颗种子开出小小的花的概率为 ．
15．设表示事件发生的概率，若，则 .
16．围棋起源于中国，古代称“弈”，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（没有平局），比赛结束.假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则甲以获得冠军的概率为 .
四、解答题
17．用、、、个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次.
(1)求所有满足条件的六位数的个数；
(2)记数字用到的次数为，求的分布列和数学期望.
18．袋中有大小、形状完全相同的2个红球，4个白球.采用放回摸球，从袋中摸出一个球，定义T变换为：若摸出的球是白球，把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来倍，（纵坐标不变）；若摸出的是红球，将函数图象上所有的点向下平移1个单位.函数经过1次T变换后的函数记为，经过2次T变换后的函数记为，…，经过n次T变换后的函数记为.现对函数进行连续的T变换.
(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求；
(2)记，求随机变量的分布列及数学期望.
19．某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为，，．
(1)求组员甲恰好分配到一项任务的概率；
(2)求组员甲至少分配到一项任务的概率；
(3)设甲、乙两人分配到的任务数分别为项和项，求．
20．在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前两道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.
(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；
(2)设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.
21．一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金．
(1)设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A发生的概率P（A）．；
(2)如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．
①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？
②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？
22．自中国共产党第十九届中央委员会第五次全体会议提出“坚持创新在我国现代化建设全局中的核心地位”的发展战略以来，某公司一直致力于创新研发，并计划拿出100万对，两种芯片进行创新研发，根据市场调研及经验得到研发芯片后一年内的收益率与概率如下表所示：
收益率 10% 20% 30%
概率 0.2 0.5 0.2 0.1
研发芯片的收益（万元）与投资额（万元）满足函数关系．
(1)若对研发芯片投资60万，芯片投资40万，求总收益不低于18万元的概率；
(2)若研发芯片收益不低于投资额的10%，则称芯片“研发成功”，否则为“研发失败”，若要使总收益的数学期望值不低于10.5万元，能否保证芯片“研发成功”，请说明理由．（参考数据：）
参考答案：
1．B
【分析】由题设，应用全概率公式可直接求得该同学第2天去餐厅用餐的概率.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
由题意得：，，，
由全概率公式，得：，
因此，该同学第天去餐厅用餐的概率为.
故选：B.
2．D
【分析】由条件概率的计算公式，代入计算即可.
【详解】.
故选：D.
3．B
【分析】设出事件，求出两次都抽到卡片中奖的概率和第一次抽到卡片中奖的概率，利用条件概率公式计算出答案.
【详解】若事件为“第一次抽到卡片中奖”，事件为“第二次抽到卡片中奖”，则，，故．
故选：B．
4．B
【分析】前四场中有一场输，第五场赢，前四场输分客场输和主场输两种情况进行求解，再相加即可.
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是，
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是，
综上所述，甲队以获胜的概率是．
故选：B.
5．C
【分析】由已知，根据题意，先计算每次所取的3个小球颜色各不相同的概率，然后设所取的3个小球颜色各不相同的次数服从二项分布，直接计算即可.
【详解】每次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：，
由已知，所取的3个小球颜色各不相同的次数服从二项分布，
∴这3次取球中，恰有2次所取的3个小球颜色各不相同的概率为：
.
故选：C.
6．D
【分析】利用正态分布曲线的性质，判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可.
【详解】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
∴μ1＜μ2＝μ3，故B、C错误；
又σ越小数据越集中，图象越瘦长，
∴σ1＝σ2＜σ3，故A错误，D正确．
故选：D．
7．A
【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断A、B，利用根据二项分布概率公式即可计算判断C、D.
【详解】因为，
由时，，所以，所以，
故选项A错误，选项B正确，
又，，，故选项C、D正确.
故选：A.
8．C
【分析】根据二项分布的概率公式一一计算比较大小即可.
【详解】若乙赢得比赛，即乙前四场赢两场，第五场赢，
故其概率为：；
同理若甲赢得比赛，其概率为：；
若甲赢得比赛，即甲前三场都赢，其概率为：；
若甲赢得比赛，即甲前三场赢两场，第四场赢，其概率为：，
综上甲赢得比赛，其概率最大.
故选：C
9．CD
【分析】根据题意可知选项D正确；对于选项AB：结合已知条件，首先求出，，，进而可求出，根据条件概率公式进而求出；对于选项C：根据独立事件的性质即可求解.
【详解】由题意可知，，，是两两互斥事件，故D正确，
，，，
，故A错误；
，故B错误；
因为，，；
所以，从而事件与事件相互独立，故C正确.
故选：CD.
10．AC
【分析】根据正态曲线的对称性及参考数据可得答案.
【详解】∵随机变量X服从正态分布，
正态曲线关于直线对称，且，，从而A正确，B错误，
根据题意可得，，，
∴，故C正确；
与不关于直线对称，故D错误．
故选：AC．
11．AC
【分析】由正态分布的对称性求出，再由原则求解即可.
【详解】因为，且，
所以，解得．
．
故选：AC．
12．ABD
【分析】对于A，由二项分布的定义判断，对于B，计算判断，对于C，设最大，则，解不等式组判断，对于D，通过计算判断.
【详解】对于A，因为随机变量，，所以，服从二项分布，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，
设最大，则，解得，
因为，所以当或时，取最大值，所以C错误，
对于D，因为随机变量，所以,
, ,
, ,
, ,
, ,
因为，所以,
, ,
, ,
, ,
, ,
所以使成立的实数对有，共11对，所以D正确，
故选：ABD
13．0.9/910/90%
【分析】利用对立事件的概率的求法即得.
【详解】设事件A为“参加过家政培训”，事件B为“参加过医院陪护工培训”，
则P（A）＝60%＝0.6，P（B）＝75%＝0.75，
任选1名女农民工，她参加过培训的对立事件是她既没有参加过家政培训，也没有参加过医院陪护工培训，
∴任选1名女农民工她参加过培训的概率是：
P＝1－(1－P(A))(1－P(B))
＝1－(1－0.6)(1－0.75)
＝0.9．
故答案为：0.9．
14．/
【分析】利用古典概型的概率计算公式和条件概率的性质，结合全概率公式即可求解；
【详解】记事件分别为种小小的种子、种大大的种子，事件为取出一颗种子开出小小的花，则，且互斥，
由题意可知，,,
所以,
由全概率公式知.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意分别求出、进而利用即可求出结果.
【详解】因为，
，
则
故答案为：.
16．
【分析】四局比赛甲以获得冠军，则前三局甲胜两局，败一局，第四局甲胜，进一步计算概率即可.
【详解】若四局比赛甲以获得冠军，则前三局甲胜两局，败一局，第四局甲胜，
概率为：.
故答案为：.
17．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分两种情况讨论：①一个数字用了次，其余三个数字都只用了次；②两个数字用了次，其余两个数字用了次.利用组合计数原理、倍缩法以及分类加法计数原来可求得满足条件的六位数的个数；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.
【详解】（1）解：用、、、四个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次，分成两种情况：
①一个数字用了次，其余三个数字都只用了次，满足条件的六位数的个数为个；
②两个数字用了次，其余两个数字用了次，满足条件的六位数的个数为.
所有满足条件的六位数的个数为个.
（2）解：记数字用到的次数为，可能的取值为、、，
，
，，
所以，的分布列如下表所示：
.
18．(1)
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）根据函数图象的变换求解析式即可；
（2）求出3次变换后的可能的解析式，得出随机变量取值，求对应的概率可得分布列，求出期望.
【详解】（1）第一次从袋子中摸出的是白球，把函数变换为；
第二次从袋子中摸出的是红球，把函数变换为；
所以.
（2）经过3次T变换后有3种情况，
若摸出的3个球都是白球，则，；
若摸出的3个球为2个白球1个红球，则，；
若摸出的3个球为1个白球2个红球，则，；
若摸出的3个球都是红球，则，.
所以随机变量X的取值为，
因为一次摸球取得为红球的概率为，取得白球的概率为，
所以，，
，.
所以求随机变量的分布列为
所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件的加法直接计算；
（2）根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件的加法直接计算组员甲没有分配到任务的概率，再根据对立事件的概率公式求解；
（3）根据独立事件概率的乘法公式及互斥事件的加法直接计算.
【详解】（1）设事件为甲分配到第项任务，则事件为乙分配到第项任务，，，，
依题意，事件，两两相互独立，
设事件为甲恰好分配到一项任务，则，
因为，，互斥，
所以
；
（2）记事件为甲一项任务都没有被分配，则，
所以，
所以组员甲至少分配到一项任务的概率为；
（3）依题意满足，即，或，，
所以所求事件为，
因为，，，互斥，
所以
.
20．(1)
(2)分布列见解析，12.5
【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可．
（2）先写出X的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列即可．
【详解】（1）记该同学前两道题答对道为事件，第三道答对为事件，第四道答对为事件，
则
.
（2）的取值可能为0，5，10，15，20，
，
，
，
，
，
则的分布列为：
0 5 10 15 20
.
该同学填空题得分的均值是12.5分.
21．(1)0.5；
(2)①小明应该先猜A；②当a至少为时，值得小明同学继续猜谜．
【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；
（2）①设选择先猜A得到的奖金为元，选择先猜B得到的奖金为元，分别求得随机变量和的取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式求得，即可得到结论；
②设小明谜语得到的奖金为元，得到随机变量的取值，列出分布列，求得，列出不等式，求得的范围，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，是否猜对两道谜语之间是相互独立，结合相互独立事件的概率公式，
可得两道谜语中小明恰好答对一道的概率为.
（2）解：①有两种顺序；先猜A；先猜B，
设选择先猜A谜语得到的奖金为元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元，
则随机变量的可能取值为：0，10，30，
可得，，
，
所以随机变量的的分布列为：
X 0 10 30
P 0.2 0.4 0.4
所以期望；
又由随机变量的可能取值为：0，20，30，
可得，，，
随机变量的分布列为：
Y 0 20 30
P 0.5 0.1 0.4
所以期望为，
衣蛾，所以小明应该先猜A；
②设小明终极谜语得到的奖金为元，则随机变量的可能取值为：0，90，
则的分布列为：
Z 0 90
P 1-a a
则期望为，
若，即，解得 ，
即当至少为时，值得小明同学继续猜谜．
22．(1)0.3；
(2)能，详见解析.
【分析】（1）由题可得对芯片投资的收益，进而可得投资芯片的收益率不低于，结合条件可得；
（2）若对芯片投资万元，则可得，然后可得投资芯片获得收益的分布列，进而可得投资总收益的数学期望值，结合条件列出不等式，即可判断.
【详解】（1）设“总收益不低于18万元”为事件M，
对芯片投资40万的收益为（万元），
要使总收益不低于18万元，则投资芯片的收益不低于12万元，即收益率不低于，
由表可知，
即总收益不低于18万元的概率为0.3；
（2）若对芯片投资万元，则，
要保证芯片“研发成功”，需满足，
解得或（舍去），
故，
对研发芯片投资万元，则投资芯片获得收益的分布列为
收益
概率 0.2 0.5 0.2 0.1
对研发芯片投资收益的数学期望为
，
则投资总收益的数学期望值为，
由，可得（负值舍去），
满足，
所以能保证芯片“研发成功”.
