专题21.7 一元二次方程解法-配方法（专项练习）
一、单选题
类型一、一元二次方程的解法---配方法
1．一元二次方程x2﹣6x+2＝0经过配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4 B．（x+3）2＝7 C．（x﹣3）2＝4 D．（x﹣3）2＝7
2．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2＋4x＝3 D．x2＋2x＝5
3．若把方程化为的形式，则的值是（ ）
A．5 B．2 C． D．
4．下列代数式的值可以为负数的是（ ）
A． B． C． D．
5．对于任意实数x，多项式x－6x+10的值是一个（ ）
A．负数 B．非正数 C．正数 D．无法确定正负的数
6．代数式x2﹣4x+5的值（ ）
A．恒为正 B．恒为负 C．可能为0 D．不能确定
类型二、配方法的应用
7．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（ ）
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
8．已知代数式x2﹣5x+7，当x＝m时，代数式有最小值q．则m和q的值分别是（ ）
A．5和3 B．5和 C．﹣和 D．和
9．若，则（ ）
A．12 B．14.5 C．16 D．
10．在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点
C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点
11．已知点为平面直角坐标系中一点，若为原点，则线段的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
12．无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
二、填空题
类型一、一元二次方程的解法---配方法
13．如果方程x2＋4x＋n＝0可以配方成（x＋m）2﹣3＝0，那么（n﹣m）2020＝______．
14．将方程配方成的形式为______．
15．方程x2+a＝0的一个解是x＝﹣1，另一个解是______．
16．对方程进行配方，得，其中______．
17．下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是________．
18．方程的根是___________．
类型二、配方法的应用
19．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是_________．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝0的形式，那么于m+n的值是___________
21．代数式的最小值是_______．
22．已知，那么的值是______．
23．当x＝___二次根式有最小值，最小值为 ___．
24．如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为__________．
三、解答题
25．用配方法解下列关于x的方程
（1） （2）
26．用配方法解下列方程：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）．
27．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．
解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝（y＋2）2＋4
∵（y＋2）2≥0，
∴（y＋2）2＋4≥4
∴y2＋4y＋8的最小值是4．
（1）求代数式x2＋2x＋4的最小值；
（2）求代数式4－x2＋2x的最大值；
（3）如图，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
28．阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．
示例：当时，求的最小值．
解：，当，即时，的最小值为6．
（1）尝试：当时，求的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用配方法的步骤配方即可解答．
【详解】
解：移项，得：x2﹣6x＝﹣2，
配方，得：x2﹣6x+9＝﹣2+9，即（x﹣3）2＝7，
故选：D．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解答的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据配方法的一般步骤逐项判定即可．
【详解】
解：A、因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
B、将该方程的二次项系数化为1，得x2-2x=，此方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
C、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项符合题意；
D、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题词的关键．
3．A
【解析】
【分析】
根据配方法求解即可．
【详解】
解：将配方得，
，
则，
故选A．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
各式化简得到结果，利用非负数的性质判断即可．
【详解】
解：A、|3-x|≥0，不符合题意；
B、当x=时，原式=＜0，符合题意；
C、≥0，不符合题意；
D、原式=（3x-1）2≥0，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
把多项式进行配方，即可判断.
【详解】
∵x－6x+10= x－6x+9+1= (x-3)+1＞0.
∴多项式x－6x+10的值是一个正数，
故选C.
【点睛】
此题主要考查多项式的值，解题的关键是熟知配方法的应用.
6．A
【解析】
【分析】
直接利用配方法将原式变形，进而得出答案．
【详解】
解：，
，
，
代数式的值恒为正．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，解题的关键是正确配方．
7．B
【解析】
【分析】
根据配方法可求出a与b的值，然后根据等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】
解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0
解得a＝1，b＝4
∵3＜c＜5
∵△ABC是等腰三角形
∴c＝4
故△ABC的周长为：1+4+4＝9
故选：B．
【点睛】
本题考查配方法，解题的关键是熟练运用配方法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
8．D
【解析】
【分析】
利用配方法得到：x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，利用偶数次幂的非负性作答．
【详解】
解：∵x2﹣5x+7＝（x﹣）2+7﹣＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，q有最小值，
∴m和q的值分别是和，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，偶数次幂的非负性．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．
9．B
【解析】
【分析】
将已知等式变形后，利用非负数的性质和完全平方式求出关于a的等式和b的值，代入所求式子中计算可解．
【详解】
将已知等式整理：
∴a-4a+1=0，2b-1=0
整理得：a+=4，b=，
即a+=( a+)-2=16-2=14，
则14.5．
故选：B．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．D
【解析】
【分析】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则=，可得P(2，)时，最小，进而即可得到答案．
【详解】
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则=
==，
∴当x=2，y=时，即：P(2，)时，最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为：，
AC边上中线所在直线表达式为：，
又∵P(2，)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是三条中线的交点，
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．
11．B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出两点的距离OP=配方得，当时，OP最小即可．
【详解】
，
OP=，
，
，
∴，OP最小，
故选择：B．
【点睛】
本题考查勾股定理求两点距离问题，掌握勾股定理两点距离公式，会用配方法求最值是解题关键．
12．B
【解析】
【分析】
首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根据偶次方的非负性质，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根据无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
【详解】
解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+
∵﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+，
∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，
∴m+＜0，
解得m＜﹣．
故选：B．
【点睛】
本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键．
13．1
【解析】
【分析】
先把方程进行配方，即可求出n、m的值，再最后求值即可．
【详解】
解：把方程x2＋4x＋n＝0进行配方，
得：；
由已知可得：，化简，
∴；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查配方法，掌握完全平方公式的合并化简是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
先将-9移到等号右边变成，然后等号左右两边同时除以2得到，最后等号左右两边同时加上1，再把左边变成完全平方的形式即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的配方，掌握如何配方是解题关键．
15．x＝1
【解析】
【分析】
先将x＝﹣1代入方程求出a的值，再利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：根据题意，将x＝﹣1代入方程x2+a＝0，得：1+a＝0，
解得a＝﹣1，则方程为x2﹣1＝0，
∴x2＝1，
∴x1＝1，x2＝﹣1，
故答案为：x＝1．
【点睛】
本题主要考查含参一元二次方程的求解问题，解决问题的关键是正确理解一元二次方程解的概念．
16．
【解析】
【分析】
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．
【详解】
解：由题意得：m=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
17．④①③②
【解析】
【分析】
根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行求解即可．
【详解】
解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【点睛】
本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．
18．
【解析】
【分析】
根据题意得出配方得出，开方得出：，即可求解得出根．
【详解】
解：∵．
∴配方得出，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了运用配方法求解二次方程的根的问题，难度很小，很容易做出，本题属于基础题．
19．
【解析】
【分析】
根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解．
【详解】
解：∵，p=3，c=2，
∴，
∴a+b=4，
∴a=4 b，
∴
∴当b=2时，S有最大值为．
【点睛】
本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．
20．30
【解析】
【分析】
把方程x2-10x+m=0移项后配方，即可得出（x-5）2=25-m，得出25-m=0，n=5．求出m=25．
【详解】
解：x2-10x+m=0，
移项，得x2-10x=-m，
配方，得x2-10x+25=-m+25，
（x-5）2=25-m，
∵关于x的一元二次方程x2-10x+m=0可以通过配方写成（x-n）2=0的形式，
∴25-m=0，n=5，
∴m=25，
∴
故答案为：30．
【点睛】
本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
21．##0.25
【解析】
【分析】
利用配方法得到：．利用非负数的性质作答．
【详解】
解：因为≥0，
所以当x=1时，代数式的最小值是，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．
22．-5
【解析】
【分析】
先利用配方法把所求的代数式配方，然后代值计算即可．
【详解】
解：∵，
∴
，
故答案为：-5．
【点睛】
本题主要考查了配方法的使用和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握配方法．
23． -1
【解析】
【分析】
把配方得：，即可解决．
【详解】
∵
∴
当x=-1时，有最小值，从而有最小值，且最小值为
故答案为：-1，
【点睛】
本题考查了配方法及求最小值，关键是配方．
24．
【解析】
【分析】
设，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面积等于矩形的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解．
【详解】
设，则，
，∴当时，的最大值为
∴的最大值为：．
【点睛】
本题考查矩形中平行四边形面积的最大值，关键是设未知数，建立代数关系，运用配方法求最值．
25．（1），；（2），
【解析】
【分析】
（1）根据配方法，先把常数项移到等式右边，再两边同时加上36，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果；
（2）根据配方法，先把二次项系数化为1，然后把常数项移到等式右边，再两边同时加上1，等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果．
【详解】
（1）
，；
（2）
，．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法——配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的方法．
26．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【解析】
【分析】
根据配方的方法，正确、认真配方，注意二次项系数，即可得出正确答案．
【详解】
解：（1）3x2 5x=2
x2-x=
x2-x+=+
（x-）2=
x-=±
x1=+=2
x2=-=-
（2）x2+8x=9
x2+8x +16=9+16
（x+4）2=25
x+4=±5
x1=5-4=1
x2=-5-4=-9
（3）x2+12x 15=0
x2+12x+36=15+36
（x+6）2=51
x+6=±
x1=-6＋
x2=-6－
（4）x2 x 4=0
x2-4 x+4=16+4
（x-2）2=20
x-2=±2
x1=2＋2
x2=2－2
（5）2x2+12x+10=0
x2+6x+9=-5+9
（x+3）2=4
x+3=±2
x1=2-3=-1
x2=-2-3=-5
（6）x2+px+q=0
x2+px+=-q+
(x+)2=
x+=±
x+=±
x=
【点睛】
本题考察了用配方法解一元二次方程，做题的关键是将二次项系数化1，正确配方，认真即可．
27．（1）3；（2）5；（3）当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【解析】
【分析】
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；
（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值；
（3）根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值以及的值即可．
【详解】
解：（1）x2＋2x＋4＝x2＋2x＋1＋3＝（x＋1）2＋3
∵（x＋1）2≥0，
∴（x＋1）2＋3≥3
∴x2＋2x＋4的最小值是3．
（2）4－x2＋2x＝－x2＋2x＋4＝－（x2－2x－4）＝－（x2－2x＋1－5）2＝－（x－1）2＋5
∵（x－1）2≥0，
∴－（x－1）2≤0
∴－（x－1）2＋5≤5
∴4－x2＋2x的最大值是5．
（3）设花园的面积为S（m2），根据题意，得
S＝AB·BC
＝x（20－2x）
＝－2x2＋20x
＝－2（x2－10x）
＝－2（x2－10x＋25－25）
＝－2（x－5）2＋50
∵－2（x－5）2≤0
∴－2（x－5）2＋50≤50
∴当x取5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】
此题考查了配方法的应用，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式．
28．（1）3；（2）10，2.5．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）首先根据，可得，然后应用配方法，即可求出答案．
（2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及最少年平均费用为多少万元即可．
试题解析：（1）=≥=3，∴当，即x=1时，y的最小值为3；
（2）年平均费用==≥=2+0.5=2.5，∴当，即n=10时，最少年平均费用为2.5万元．
考点：1．配方法的应用；2．阅读型；3．最值问题；4．综合题．
