湖南省2024届高三九校联盟第一次联考
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则满足条件的实数的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（ ）
A.且 B.
C. D.或
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ）
A.6年 B.7年 C.8年 D.9年
5.设函数，若函数与的图象关于直线对称，则当时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.0
6.将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
7.在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与分别在第一 二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B.数据的第60百分位数为9
C.若样本数据的平均数为2，则的平均数为8
D.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
10.已知，则（ ）
A.与均有公共点的直线斜率最大为
B.与均有公共点的圆的半径最大为4
C.向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆
D.向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
11.已知函数，则（ ）
A.的图象关于直线轴对称
B.的图象关于点中心对称
C.的所有零点为
D.是以为周期的函数
12.英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B.数列是递减数列
C.数列是等比数列 D.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，若为偶函数，则__________.
14.已知第一象限内的点在直线上，则的最大值是__________.
15.把个位 十位 百位上的数依次成等差数列（公差小于0）的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有__________个.
16.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，用它们拼接成一个三棱柱或四棱柱.若在所有可能的情形中表面积最小的一个是四棱柱，则的取值范围是__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求的大小；
（2）若，直线分别交于两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱柱的底面是正方形，平面.
（1）求点到平面的距离；
（2）若是线段上一点，平面与平面夹角的余弦值为时，求的值.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前项积为，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，求的前项和.
20.（本小题满分12分）
从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛.要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响.
（1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为.已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率；
（2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于.
（1）若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点；
（2）若点在曲线上，求四边形的面积的范围.
22.（本小题满分12分）
已知，直线是在处的切线，直线是在处的切线，若两直线夹角的正切值为2，且当时，直线恒在函数图象的下方.
（1）求的值；
（2）设，若是在上的一个极值点，求证：是函数在上的唯一极大值点，且.
湖南省2024届高三九校联盟第一次联考
数学参考答案
一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B D C D
1.D 【解析】，而，若时，，满足条件；若时，，要使，只需，或，所以或，所以满足条件的实数有3个，故选D.
2.C 【解析】由复数是纯虚数，得解得.故选C.
3.A 【解析】因为，即，两边平方可得，解得.故选A.
4.B 【解析】设第年的维修保养费为万元，数列的前项和为，该机的年平均耗费为，据题意，数列是首项为12，公差为4的等差数列.则.当且仅当，即时取最小值38.所以这台冰激凌机的使用年限是7年，故选.
5.B 【解析】在的图象上任取一点，它关于的对称点为.故点在的图象上，从而.当时，，由在上单调递减可知，在区间上的最大值为，故选B.
6.D 【解析】由题意知正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线，故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，取正方形一组对边中点，作出轴截面，利用相似或者等面积可算出内切球半径，故内切球体积为，故选D.
7.C 【解析】.，故选C.
8.D 【解析】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于是，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选D.
二 多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BC AD AC ACD
9.BC 【解析】对于，易知，而，所以，A错误；对于，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B正确；对于，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，错误.
10.AD 【解析】由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线，由相似比可知其与轴交于，进而可求得其斜率为，选项正确.与均有公共点的圆的半径可以任意大（无最大值），选项B错误.向引切线，切线长相等的点的轨迹是直线，选项错误.设的圆心分别为，点对切线的夹角等于点对切线的夹角，于是由相似三角形知，可得到点的轨迹是一个圆，选项D正确.
11.AC 【解析】因为，故A正确.因为，，故的图象不关于点中心对称，B错误.由，得，即，故的所有零点为.C正确.因为，故不恒成立，故D错误.
12.ACD 【解析】，所以在点处的切线方程为：，令0，得，故A正确.，故，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，所以，D正确.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 【解析】，
因为为偶函数，则恒成立，从而恒成立，即恒成立，所以.
14. 【解析】由题意，，则.
15.20 【解析】公差为-1时，有共8个；公差为-2时，共6个；公差为-3时，共4个；公差为-4时，951，840共2个.所以一共有个.
16. 【解析】共有如下6种拼图方式，在图2图6中，图4表面积最小.
据题意，，则，解得.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）方法一：由已知，
即，
，
又.
方法二：，
即.
（2），
，
.
在中，，
当且仅当时上式等号成立，
的最小值为.
18.【解析】（1）连接交于点.
因为平面，所以，
又，所以平面.
又平面，所以平面平面.
因为平面，所以，
又，所以.
在Rt中，，所以.
又为的中点，所以且，
又平面平面，所以平面.
故点到平面的距离为.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
由（1）知，平面的一个法向量，
设，
设为平面的一个法向量，
由得
取，
设平面与平面的夹角为，
则有，
解得，即.
19.【解析】（1）由已知，故有，从而，
且，所以，
从而是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，所以.
所以
.
当时，.
当时，.
当时，.
这时.
所以时，，
综上，
20.【解析】（1）记事件“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试合格”，由题意知，
，
，
又事件互斥，则，
即，
所以在居民甲第一项测试“合格”的条件下，他第一个项目选择了的概率为：
，
即已知居民甲第一项测试“合格”，他第一项测试选择的项目是的概率是.
（2）由居民乙获一等奖的概率为，可知.
则.
令.
当时，；当时，.
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以.所以的最小值为.
21.【解析】（1）设，直线，
联立可得.
在轴两侧，，
，
点处的切线方程为，
同理点处的切线方程为，
由可得
又在直线上，.
直线过定点.
（2）由（1）可得在曲线上，
.
由（1）可知，
，
，
令在单调递增，
四边形的面积的范围为.
22.【解析】，直线的斜率，
，直线的斜率，直线的方程为，
又两直线夹角的正切值为2，故，
令，
当在上单调递减，故，不满足题意；
当在上单调递增，故，满足题意.
故.
（2）由（1）知，故.
，
当时，，
故在上单调递减，
当时，令，
，
，故在上单调递减，
，
，由零点存在性定理知：在上有唯一零点，
即在上有唯一零点，该零点即为，
时，，即，
时，，即，
又时，，故在单调递增，在单调递减，
，
，
故是函数在上的唯一的极大值点，且.
