2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）有下列五个数：，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1），无理数的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（3分）有一个数值转换器，原理如图：
当输入的x＝64时，输出的y等于（ ）
A．2 B．8 C． D．
4．（3分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
5．（3分）估计+1的值，应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（3分）如图①是某市的旅游示意图，小红在旅游示意图上画了方格，如图②．如果用（3，2）表示中心广场的位置，那么影月湖的位置表示为（ ）
A．（3，﹣3） B．（0，0） C．（5，2） D．（3，5）
7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）将直线y＝2x﹣1向上平移3个单位长度后，得到直线y＝kx+b，下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（ ）
A．直线经过一、二、四象限
B．直线与y轴交于点（0，2）
C．直线经过点（﹣1，﹣3）
D．函数y随x的增大而减小
9．（3分）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
二、填空题（共5小题，每小题3分）
11．（3分）9的立方根是 ．
12．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．（3分）规定用符号[m]来表示一个实数m的整数部分，如[3.14]＝3；[0.618]＝0．按此规定[+1]的值为 ．
14．（3分）如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B．蚂蚁要爬行的最短路程是 cm．
15．（3分）如图，矩形AOBC的边OA、OB在直角坐标系的正半轴上，点E、F分别在AC、BC边上，将△CEF沿EF翻折，使点C落在OB上的点P处，若点C的坐标为（13，5），则点P的横坐标m的取值范围是 ．
三、解答题（7小题，共55分）
16．（7分）计算：
（1）（）×；
（2）（1）0（﹣1）2023．
17．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．
（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；
（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．
18．（8分）为了加强公民的节水意识，某市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过12立方米时，按照每立方米3元收费；超过12立方米时，超出部分每立方米按4元收费．设每月用水量为x立方米，应缴水费为y元．
（1）当0≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为 ；
（2）根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值，其中，a＝ ，b＝ ，并在平面直角坐标系中，根据下表中的数值描点，画出该函数的图象；
x 0 3 6 9 12
y a 9 b 27 36
（3）当x＞12时，y与x之间的函数关系式为 ；若某户某月缴纳水费52元，则该户这个月的用水量是 立方米．
19．（8分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
20．（8分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）作出△ABC关于x轴的对称图形△A'B'C'；（不用写作法）
（3）求△A'B'C'的面积．
21．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，FC＝DE＝b，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab，
S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
22．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
2023-2024学年河南省郑州市金水区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选：B．
2．（3分）有下列五个数：，，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1），无理数的个数有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）是无理数，
故选：C．
3．（3分）有一个数值转换器，原理如图：
当输入的x＝64时，输出的y等于（ ）
A．2 B．8 C． D．
【解答】解：当x＝64时，，是有理数，进行下一步运算；
当x＝8时，，是无理数，输出；
故选：D．
4．（3分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【解答】解：A、b2＝c2﹣a2，a2+b2＝c2，故能组成直角三角形，不符合题意；
B、32+42＝52，故能组成直角三角形，不符合题意；
C、∠C＝∠A﹣∠B，∠A＝∠B+∠C，故能组成直角三角形，不符合题意；
D、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠C＝180°×＝75°，故不能组成直角三角形，符合题意．
故选：D．
5．（3分）估计+1的值，应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【解答】解：∵≈2.236，
∴+1≈3.236，
故选：C．
6．（3分）如图①是某市的旅游示意图，小红在旅游示意图上画了方格，如图②．如果用（3，2）表示中心广场的位置，那么影月湖的位置表示为（ ）
A．（3，﹣3） B．（0，0） C．（5，2） D．（3，5）
【解答】解：如图所示：映月湖的位置表示为（3，﹣3）．
故选：A．
7．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（3分）将直线y＝2x﹣1向上平移3个单位长度后，得到直线y＝kx+b，下列关于直线y＝kx+b的说法正确的是（ ）
A．直线经过一、二、四象限
B．直线与y轴交于点（0，2）
C．直线经过点（﹣1，﹣3）
D．函数y随x的增大而减小
【解答】解：将直线y＝2x﹣1向上平移3个单位长度后得到直线y＝2x﹣1+3，即y＝2x+2，
A、直线y＝2x+2经过第一、二、三象限，故不符合题意；
B、直线与y轴交于点（0，2），故符合题意；
C、直线不经过点（﹣1，﹣3），故不符合题意；
D、函数y随x的增大而增大，故不符合题意．
故选：B．
9．（3分）如图，数轴上点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点P，则点P表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P，
∴AP＝AC＝，
∴点P表示的数是﹣1+；
故选：A．
10．（3分）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分）
11．（3分）9的立方根是 ．
【解答】解：∵（）3＝9，
∴9的立方根是 ．
故答案为 ．
12．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴4x﹣8≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
13．（3分）规定用符号[m]来表示一个实数m的整数部分，如[3.14]＝3；[0.618]＝0．按此规定[+1]的值为 2 ．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴2＜＜3，
∴[+1]＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B．蚂蚁要爬行的最短路程是 20 cm．
【解答】解：如图1所示：
AB＝＝20（cm），
如图2所示：
AB＝＝4（cm）．
故爬行的最短路程是20cm，
故答案为：20．
15．（3分）如图，矩形AOBC的边OA、OB在直角坐标系的正半轴上，点E、F分别在AC、BC边上，将△CEF沿EF翻折，使点C落在OB上的点P处，若点C的坐标为（13，5），则点P的横坐标m的取值范围是 8≤m≤12 ．
【解答】解：∵四边形AOBC为矩形，C（13，5）
∴OB＝AC＝13，OA＝BC＝5，
当F与B重合时，则OP＝m取得最小值，如图1，
由折叠性质可得，CE＝PE，
又∠EPB＝∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEP为矩形，
又CE＝PE，
故四边形BCEP为正方形，
∴BP＝BC＝5，
∴OP＝m＝13﹣5＝8；
当点E与点A重合时，则OP＝m取得最大值，如图2，
由折叠性质可得：AP＝AC＝13，
在直角三角形OAP中，由勾股定理可得：
OP＝m＝＝＝12，
故m的取值范围是8≤m≤12，
故答案为：8≤m≤12．
三、解答题（7小题，共55分）
16．（7分）计算：
（1）（）×；
（2）（1）0（﹣1）2023．
【解答】解：（1）（﹣）×
＝（2﹣）×
＝6﹣1
＝5；
（2）（﹣1）0+|﹣2|﹣+（﹣1）2023．
＝1+2﹣3﹣1
＝﹣1．
17．（8分）如图，方格纸上每个小正方形的面积为1个单位．
（1）在方格纸上，请你以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积，解释你的计算方法；
（2）请你在图上画出一个面积为5个单位的正方形．
【解答】解：（1）正方形ABCD如图所示．
根据网格和勾股定理可知：AB2＝22+62＝40（个单位），
∴正方形ABCD的面积为40个单位；
（2）面积为5个单位的正方形如图所示．
18．（8分）为了加强公民的节水意识，某市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过12立方米时，按照每立方米3元收费；超过12立方米时，超出部分每立方米按4元收费．设每月用水量为x立方米，应缴水费为y元．
（1）当0≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为 y＝3x ；
（2）根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值，其中，a＝ 0 ，b＝ 18 ，并在平面直角坐标系中，根据下表中的数值描点，画出该函数的图象；
x 0 3 6 9 12
y a 9 b 27 36
（3）当x＞12时，y与x之间的函数关系式为 y＝4x﹣12 ；若某户某月缴纳水费52元，则该户这个月的用水量是 16 立方米．
【解答】解：（1）∵规定每户每月用水不超过12立方米的按每立方米3元收费，
∴当0≤x≤12时，y与x之间的函数关系式是：y＝3x；
故答案为：y＝3x；
（2）当x＝0时，y＝a＝0；
当x＝6时，y＝b＝18；
描点、连线，该函数的图象如图；
；
故答案为：0，18；
（3）∵每户每月用水不超过12立方米的按每立方米3元收费，超过的部分按每立方米4元收费，
∴当x＞12时，y与x之间的函数关系式是：y＝12×3+4（x﹣12）＝4x﹣12；
当y＝52时，52＝4x﹣12，
解得x＝16，
即某户某月缴纳水费52元，则该户这个月的用水量是16立方米，
故答案为：y＝4x﹣12，16．
19．（8分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m．
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【解答】解：（1）由题意可知：AC+BC＝8米，
∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
又∵AB＝4米，
∴AC＝3（米），BC＝5（米），
故旗杆距地面3米处折断；
（2）如图，
∵D点距地面AD＝3﹣1.25＝1.75（米），
∴B'D＝8﹣1.75＝6.25（米），
∴AB′＝（米），
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
20．（8分）如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：
（1）在图中建立正确的平面直角坐标系；
（2）作出△ABC关于x轴的对称图形△A'B'C'；（不用写作法）
（3）求△A'B'C'的面积．
【解答】解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示；
（2）所作△A'B'C'如图所示；
（3）△A'B'C'的面积＝4×4﹣×4×2﹣1×2﹣×3×4＝5．
21．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小明利用图①证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，FC＝DE＝b，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab，
S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
【解答】证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE，交DE的延长线于F，则BF＝b﹣a，
∵S四边形ABED＝S△ABE+S△ADE＝ab，S四边形ABED＝S△ADB+S△DEB＝a（b﹣a），
∴a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．
22．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；
（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4（cm）；
（2）由题意知BP＝tcm，
①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；
②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，
AP2＝32+（t﹣4）2，
在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，
即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，
解得：t＝，
故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；
（3）①当AB＝BP时，t＝5；
②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；
③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
所以t2＝32+（4﹣t）2，
解得：t＝，
综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．
