5.1数列基础 练习
一、单选题
1．已知数列，则是它的第（ ）项.
A．21 B．22 C．23 D．24
2．已知数列的通项公式为，则数列各项中最大项是（ ）
A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项
3．斐波那契数列指的是这样一个数列：，，当时，.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知数列、，，，其中为不大于x的最大整数.若，，，有且仅有4个不同的，使得，则m一共有（ ）个不同的取值.
A．120 B．126 C．210 D．252
5．已知函数，若数列满足，，则
A． B． C． D．
6．在数列中，，，，则（ ）
A． B．15 C． D．10
7．已知数列1，1，2，3，5，8，13，21，（ ），55括号中应填（ ）
A．23 B．33 C．34 D．44
8．已知数列…，则是这个数列的（ ）
A．第项 B．第项 C．第项 D．第项
二、多选题
9．已知，记数列{}的前项和为Sn，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．对任意 D．对任意m
10．数列的通项公式为则（ ）
A． B． C． D．
11．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列．则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层(即第一层)有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设“三角垛”从第一层到第层的各层的球数构成一个数列，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知数列的前n项和为，则= .
14．已知数列的前项和，且，则 .
15．已知数列的前n项和为，，则 .
16．已知数列满足，则的最小值为 .
四、解答题
17．已知各项均不为0的数列的前n项和为，且对任意正整数n，有．
(1)求的值及数列的通项公式；
(2)对一切正整数m，设，求数列的前n项和．
18．已知数列满足，求数列的通项公式．
19．已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，数列{}的前n项和为Tn，若，求m.
20．根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
（1），，，；
（2），，，；
（3）0，，0，．
21．已知数列的前项和为，满足，且．
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
22．已知正项数列的前项和满足=,
(1)求数列的通项公式;
(2)设=是数列的前项和,证明:对于任意都有.
参考答案：
1．C
【分析】根据前面各项的形式，将每一项都化成整数的算术平方根的形式，观察被开方数的规律，可得数列的通项公式，从而得出答案.
【详解】解：原数列可化为，
则数列的通项公式为，
令，解得，
所以是它的第23项.
故选：C.
2．C
【分析】由给定条件知数列首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答.
【详解】依题意得，设数列的最大项为，于是有，
从而得，整理得：，解得，而，则，
所以数列各项中最大项是第15项.
故选：C
3．C
【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断.
【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…
，，，，，均为5的倍数，故有6个同学．
故选：C．
4．C
【分析】将表示为，其中，且不全为0，，分析与的取值的关系，由此确定满足条件的的取值的个数.
【详解】设，其中，且不全为0，，
若，则，，
，，
若，则，，
，，
所以若则，，若，则，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
若，，则，，
，，，，
所以时，，时，，
同理可以证明时，，，，
因为有且仅有4个不同的，使得，即中有且仅有4个变量取值为1，其余变量取值为0，又从中任选4个变量有种取法，
故满足条件的的个数为，即210个，
故选：C.
5．D
【分析】由题中条件可求出数列的前几项，结合递推关系可知数列从第三项起构成周期数列，则，即可得到答案．
【详解】由题意，，，则，，，，，
故数列从第三项起构成周期数列，周期为3，故.
故选D.
【点睛】本题考查了数列的递推关系，考查了周期数列，考查了分段函数，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于基础题．
6．B
【分析】依题意对化简，采用累乘法得到，从而得到
【详解】因为，所以，即，得.
所以.
因为，所以.
故选：B.
7．C
【分析】根据题意，分析数列的特点，由此分析可得答案
【详解】根据题意，数列1，1，2，3，5，8，13，21满足，
又由，故括号中应填34，
故选：C
8．C
【分析】先根据数列得到通项公式，再由解得n即可.
【详解】数列…，即，故通项公式为，
由，解得，即是这个数列的第项.
故选：C.
9．ACD
【分析】首先由递推公式列出数列的前几项即可找到数列的周期性，再一一判断即可；
【详解】解：因为且，所以，，，，，，，所以，即是以为周期的数列，且，因为，所以，故A正确；
，故B错误；
因为，，，，，，，，所以对任意，，故C正确；
因为，，，因为，所以，故D正确；
故选：ACD
10．BC
【分析】直接求出即得解.
【详解】解：由通项公式得，，所以.
故选：BC.
11．ACD
【分析】由递推公式，利用累加法得到AB选项，计算出前6项，从而判断CD选项.
【详解】当时，由可得，，…，．
又由，，可得，即，
累加可得，
， 故A正确；
又，，，…，，
累加可得
，故B错误；
∵，，，
所以，，，，
所以C正确；
又，
所以D正确；
故选：ACD．
12．AD
【分析】由题意有，写出、判断A、B；根据递推式判断C、D的正误.
【详解】由题设，，故，，A正确，B错误；
又，，显然，C错误；
，D正确.
故选：AD
13．
【分析】根据题中，利用 和 的关系式 来求解，注意时要检验是否符合时的表达式.
【详解】当时，；
当时，因为，
所以
所以；
所以；
所以当时，是以2为公比的等比数列；
所以，
当时，
所以，
故答案为：
14．
【分析】由，得到关于的方程，得到的值.
【详解】因为，
所以，
所以，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系求数列中的项，属于简单题.
15．
【分析】由，得，先令，求出，再由可求出，从而可得结果
【详解】解：由，得，
令，则，即，
，
所以，
故答案为：29
【点睛】此题考查数列的前项和与通项的关系的应用，属于基础题
16．
【详解】试题分析：利用叠加法得，所以，由于，，所以的最小值为
考点：叠加法求数列通项，基本不等式求最值
17．(1)；
(2)
【分析】（1）根据，得到即为常数列，且常数为1，从而求出的通项公式；
（2）在第一问的基础上，求出，裂项相消法求和即可.
【详解】（1）已知各项均不为0的数列的前n项和为，
中，令得：
①，
当时，
②，
则①－②得：
，即，
即为常数列，且常数为1，
；
（2）设，
．
18．
【分析】由题，再结合已知作差即可得，再检验时的情况即可得答案.
【详解】因为①
所以②，
①-②得出．
又时，得，满足，
所以
19．(1)
(2)
【分析】（1）由前项和与通项的关系，当时，得，两式作差得,再验证首项是否满足上式；
（2）将代入得，裂项相消法可得，再解方程得.
【详解】（1）因为①，
则当时，则，
当时，得②，
则①②得，则，又满足上式，
所以数列{}的通项公式为
（2）
所以
化简得：
，解得.
20．（1），；（2），；（3），．
【分析】（1）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；
（2）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可；
（3）根据数列的前四项特征，写出符合条件的通项公式即可．
【详解】（1），，，，
观察每一项的分子是连续的奇数，分母是，
，；
（2），，，，
观察每一项的组成是1加或减一个分数的形式，
分数的分子是连续的奇数，分母是连续偶数的平方，
，；
（3），，0，，
该数列可化为，，，；
，．
21．（Ⅰ）；；．（Ⅱ）见证明
【分析】（Ⅰ）分别令直接求解出，，的值．
（Ⅱ）根据，，的值，猜想出数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【详解】（Ⅰ）当n＝2时，
同理，可以求出；．
（Ⅱ）猜想数列的通项公式为．
下面用数学归纳法进行证明：
1.当时，，猜想成立．
2.假设当时，成立，
则当时，由，得
由，得
两式作差得：
即
，所以猜想成立．
综上所述，对一切正的自然数都有
【点睛】用数学归纳法证明数列有关问题是很常见的题型．关键是假设当时，命题成立，来证明当命题也成立，对于本题来说，已知求，是本题的关键．
22．（1）；（2）见解析.
【详解】试题分析：(1)解关于的方程=求出,再求出(2)===,利用裂项相消法求出和即可解答.
试题解析：
(1)解关于的方程=
可得或(舍去),
==
.
(2)===,
由裂项相消法可得=
，
.
点睛：本题主要考查由求数列的通项公式,以及裂项相消法求和，注意求通项时=；
