2023-2024学年苏科版九年级数学《5.5用二次函数解决问题》提优训练2（极值问题）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则降价（ ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
2．2022年9月29日国产大飞机C919从上海浦东机场第四跑道起飞，并于9时54分安全着陆，这标志着我国具备了按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ ）
A．243秒 B．486秒 C．18秒 D．36秒
4．定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
5．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）
A． B． C． D．
第5题图 第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
6．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（ ）
A．-2 B． C． D．0
8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最大的是( )
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
9、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
10、我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
二．填空题(30分)
11、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
12、如图小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
13、n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 ．
14、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大．
15、某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价 元时，可获得最大利润 元．
16、据了解，某蔬菜种植基地2021年的蔬菜产量为100万吨，2023年的蔬菜产量为y万吨，如果2021年至2022年蔬菜产量的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为 ．
17、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有 （只需填写序号）
18.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为______m2.
第18题图 第19题图 第20题图
19、“GGB”是一款数学应用软件，用“GGB”绘制的函数y＝﹣x2（x﹣4）和y＝﹣x+4的图象如图所示．若x＝a，x＝b分别为方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1和﹣x+4＝﹣1的一个解，则根据图象可知a b．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
20、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为_____________时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
三．解答题（60分）
21．（8分）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．
（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．
22．（8分）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
23、（8分）为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
24、（12分）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
25、（12分）某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
26、（12分）若抛物线M：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线m：y＝ax+b满足（a+b）2＝4ac，则称抛物线M与直线m具有“至青”关系．此时，直线m叫做抛物线M的“至善线”，抛物线M叫做直线m的“青一线”．
（1）下列各组抛物线与直线中，不具有“至青”关系的是 （只填序号）；
①y＝3x2+2x+2与y＝3x+2； ②y＝x2﹣x与y＝x﹣1； ③y＝x2+1与y＝x+1
（2）若抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”与反比例函数的图象只有一个交点，求c的值；
（3）已知“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与它的“至善线”交于点P，与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点，记△ABP的面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
教师样卷
一．选择题(30分）
1. 将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ A ）
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 20元
解：设应降价x元，则(20+x)(100﹣x﹣70)＝﹣x2+10x+600＝﹣(x﹣5)2+625，∵﹣1＜0
∴当x＝5元时，二次函数有最大值．∴为了获得最大利润，则应降价5元．故选A．
2．2022年9月29日国产大飞机C919从上海浦东机场第四跑道起飞，并于9时54分安全着陆，这标志着我国具备了按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为（ C ）
A．243秒 B．486秒 C．18秒 D．36秒
4．定义：，若函数，则该函数的最大值为（ C ）
A．0 B．2 C．3 D．4
5．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为若平行于墙的一边长不小于则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ C ）
A． B． C． D．
解：设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20－2x）m，这个苗圃园的面积为ym2由题意可得y=x（20－2x）=-2（x－5）2＋50，且8≤20－2x≤15解得：2.5≤x≤6
∵-2＜0，二次函数图象的对称轴为直线x=5∴当x=5时，y取最大值，最大值为50 ；
当x=2.5时，y取最小值，最小值为37.5 ；故答案为：C．
第5题图 第6题图 第7题图 第9题图 第10题图
6．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ A ）
A． B． C． D．
解：由题意得A（4，0），把A（4，0）代入解得，∴，∴水流喷出的最大高度为，故答案为：A
7.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A，B，顶点M在矩形的边上移动.若，点B的横坐标的最大值为2.5，则点A的横坐标最小值为（ C ）
A．-2 B． C． D．0
解：当运动到点上的时候，的横坐标的最大值为2.5，此时B点坐标为，此时点坐标为，，，故此时点坐标为：，当点运动到点时，的横坐标最小，此时的坐标为：，∴点坐标为故答案为：C.
8．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最大的是( B )
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
解：利用抛物线的轴对称性，当x＝＝10.5时，炮弹达到最大高度，与对称轴最接近的应是第10秒，故选B.
9、一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ C ）
A．1.5 m B．2m C．2.25 m D．2.5 m
解：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示坐标系：∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．∵篮球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+3.5．当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝﹣1.25+3.5＝2.25（m），该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m．故选：C．
10、我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ D ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故A正确，不符合题意；令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x＝1，∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意；由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意；由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，符合题意，故选：D．
二．填空题(30分)
11、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
，解得，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为：121．
12、如图小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足关系式h＝﹣（t﹣6）2+5，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 5 米．
解：∵h＝﹣（t﹣6）2+5为开口向下的抛物线，∴当t＝6时，h最大＝5．故答案为：5．
13、n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 m＝n2﹣n． ．
解：m＝n（n﹣1）＝n2﹣n，故答案为：m＝n2﹣n．
14、某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 11 元时，才能使每天所获销售利润最大．
解：设销售单价定为x元（x≥9），每天所获利润为y元，则y＝[20﹣4（x﹣9）] （x﹣8）
＝﹣4x2+88x﹣448＝﹣4（x﹣11）2+36，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为11．
15、某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价 15 元时，可获得最大利润 1250 元．
解：设每件裙子应降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得利润w＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250．
所以当裙子降价15元时，可以获得最大利润为1250元，
故答案为：15，1250．
16、据了解，某蔬菜种植基地2021年的蔬菜产量为100万吨，2023年的蔬菜产量为y万吨，如果2021年至2022年蔬菜产量的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为 y＝100（1+x）2． ．
解：y＝100（1+x）2．故答案为：y＝100（1+x）2．
17、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．其中正确的结论有①②④ ．（只需填写序号）
解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]； ①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．答案为：①②④．
18.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为75m2.
解：设垂直于墙的材料长为x(m)，则平行于墙的材料长为27＋3－3x＝(30－3x)m，故总面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故饲养室的最大面积为75 m2.
第18题图 第19题图 第20题图
19、“GGB”是一款数学应用软件，用“GGB”绘制的函数y＝﹣x2（x﹣4）和y＝﹣x+4的图象如图所示．若x＝a，x＝b分别为方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1和﹣x+4＝﹣1的一个解，则根据图象可知a ＜ b．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
解：∵方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1的解为函数图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标，﹣x+4＝﹣1的一个解为一次函数y＝﹣x+4与直线y＝﹣1交点的横坐标，如图所示：由图象可知：a＜b．
故答案为：＜．
20、定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为_____或________时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；∴直线l：y＝x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，综上d的值为或时，存在美丽抛物线．
三．解答题（60分）
21．（8分）如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地花圃ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围）．
（1）若矩形场地面积为160平方米，求矩形场地的长和宽．
（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．
解：（1）设AD=BC=x米，AB+AD+BC=34+2=36（米）， ∴AB=（36-2x）米．∴S=x（36-2x）=-2x2+36x．∵0＜36-2x≤18，∴9≤x＜18．当S=160时，-2x2+36x=160，解得：x1=10，x2=8（不合题意，舍去）．BC=10(米)，AB=36-20=16（米）
答：当矩形场地的面积为160平方米时，BC的长为10米，AB的长为16米．
（2）解：∵S= -2x2+36x= ． ∵-2<0∴当x>9时，S随x的增大而减小
又9≤x＜18∴当x=9时，S有最大值，为162平方米，即：矩形场地的长和宽为18和9时，矩形场地的面积最大，最大面积为162平方米．
22．（8分）某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙商品箱数的倍．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进一批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前提下，平均每天可售出100箱．若调整价格，每降价1元，平均每天可多售出20箱，那么当降价多少元时，该超市获得的利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x 5）元，根据题意得：，解得：x＝15，经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x 5＝15 5＝10（元）答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w＝（15 a）（100＋20a）＝ 20a2＋200a＋1500＝ 20（a 5）2＋2000，∵ 20＜0，∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
23、（8分）为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，解得，∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，∵﹣0.002＜0，∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，∴n＝940，∴m，n的值分别为0.1，940．
24、（12分）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+c则有，解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．
（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大，
设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD＝ DG OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．
（3）存在．如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．
25、（12分）某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）在y＝中，令x＝60，得，∴B（60，2），∴当30≤x≤60时，设y＝kx+b，图象过（60，2）和（30，5）∴，解得：∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x﹣210，当60＜x≤80时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）×﹣50＝﹣+70，
综上所述：W＝；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，当x＝50时，W取最大值为40（万元），当60＜x≤80时，W＝+70，∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元），综上所述，当x＝50或x＝80 时，获得的利润最大，最大利润是40万元，答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
26、（12分）若抛物线M：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线m：y＝ax+b满足（a+b）2＝4ac，则称抛物线M与直线m具有“至青”关系．此时，直线m叫做抛物线M的“至善线”，抛物线M叫做直线m的“青一线”．
（1）下列各组抛物线与直线中，不具有“至青”关系的是 （只填序号）；
①y＝3x2+2x+2与y＝3x+2； ②y＝x2﹣x与y＝x﹣1； ③y＝x2+1与y＝x+1
（2）若抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”与反比例函数的图象只有一个交点，求c的值；
（3）已知“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与它的“至善线”交于点P，与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点，记△ABP的面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
解：（1）①中a＝3，b＝2，c＝2，∴（a+b）2＝25，4ac＝24，∵25≠24，∴①符合题意；
②中a＝1，b＝﹣1，c＝0，∴（a+b）2＝0，4ac＝0，∵0＝0，∴②不符合题意；
③中a＝1，b＝0，c＝1，∴（a+b）2＝1，4ac＝0，∵0≠1，∴③符合题意；答案为：①③；
（2）∵抛物线y＝ax2+x+c的“至善线”为直线y＝ax+1，∴（1+a）2＝4ac，即c＝．
∵直线y＝ax+1与反比例函数的图象只有一个交点，∴联立直线y＝ax+1与反比例函数的方程只有一个解，令ax+1＝﹣，整理得ax2+x+4c＝0，把c＝代入得，ax2+x+＝0，∴12﹣4a ＝0，解得a＝﹣或a＝﹣．∴c＝﹣或c＝﹣．
（3）是定值，理由如下：根据题意画出如下图象，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，
∵“青一线”y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝ax+2a+b交于A、B两点，∴令ax2+bx+c＝ax+2a+b，
整理得ax2+（b﹣a）x+（c﹣2a﹣b）＝0，∴xA﹣xB＝﹣，xA xB＝．
∴|xA﹣xB|＝＝．∵（a+b）2＝4ac，∴|xA﹣xB|＝2，∵y＝ax+2a+b可以看作由y＝ax+b向上移动2a个单位得到，∴PQ＝2a，
∴S＝PQ |xA﹣xB|＝2a，∴＝2，∴的值是定值，该定值为2．
