2023-2024学年河南省许昌市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，“心心相触，爱达未来”是本次亚运会的主题口号，在下列运动图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（4，﹣2）
4．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或50°
5．（3分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA＝OB＝8cm．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是（ ）
A．10cm B．13cm C．15cm D．17cm
6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，添加下列条件仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BE＝CF
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段：
如图，取BC的中点D，连接AD，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（@），∴∠B＝∠C（★）．
关于以上证明过程，下列选项错误的是（ ）
A．依据@表示SSS
B．依据★表示全等三角形的对应角相等
C．图中辅助线也可以是作∠BAC的平分线AD，全等的依据是ASA
D．图中辅助线还可以是作AD⊥BC于点D，全等的依据是HL
8．（3分）如图所示，AD和BE是△ABC的两条中线，相交于点O，设△AOB和四边形CDOE的面积分别为S1、S2，则S1和S2的关系为（ ）
A．S2＞S1 B．S2＜S1
C．S2＝S1 D．以上答案都不对
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
10．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ．
12．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 （填序号）
13．（3分）三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为 °．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 ．
15．（3分）如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，动点P、Q分别同时从点A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），当t＝ 时，△PBQ是直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
17．（9分）已知，如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A，求证：DE＝BC．
18．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
20．（9分）已知，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．试说明：（1）PE＝PF；（2）PB＝PC．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2）．△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G．
（1）请在图中作出△EFG，并写出点E，F，G的坐标；
（2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC边上一点，其关于x轴的对称点为M'（1﹣n，2m），求m，n的值．
22．（10分）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．
23．（11分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】（1）图1中AC与BM的数量关系是 ，位置关系是 ；
【初步应用】（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围；
【探究提升】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
2023-2024学年河南省许昌市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）第19届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，“心心相触，爱达未来”是本次亚运会的主题口号，在下列运动图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知，是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．
2．（3分）一个多边形外角和是内角和的．则这个多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意列得方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°，
解得：n＝12，
即这个多边形的边数为12，
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和及外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
3．（3分）平面直角坐标系中，点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（4，﹣2）
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标的关系进行解答即可．
【解答】解：关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数，
所以点P（﹣2，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣4），
故选：B．
【点评】本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．
4．（3分）等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数为（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．80°或50°
【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，分别从：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，去分析，即可求得答案．
【解答】解：①若100°的外角的邻角是等腰三角形顶角，
则它的顶角的度数为：180°﹣100°＝80°；
②若100°的外角的邻角是等腰三角形底角，
则它的底角的度数为：180°﹣100°＝80°；
∴它的顶角为：180°﹣80°﹣80°＝20°；
∴它的顶角的度数为：80°或20°．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
5．（3分）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA＝OB＝8cm．使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆，则圆的半径AB不可能是（ ）
A．10cm B．13cm C．15cm D．17cm
【分析】根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行判定即可得出答案．
【解答】解：根据题意可得，
8﹣8＜AB＜8+8，
即0＜AB＜16．
所以圆规的半径不可能是17．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系进行求解是解决本题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AB∥DE，添加下列条件仍无法证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．BE＝CF
【分析】由平行可得到∠B＝∠DEC，又AB＝DE，结合全等三角形的判定方法可得出答案．
【解答】解：
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
∵AB＝DE，
∴当AC∥DF时，可知∠ACB＝∠F，可用AAS证明；
当∠A＝∠D时，可用ASA证明；
当AC＝DF时，此时满足的条件是SSA，故不能证明；
当BE＝CF时，可得BC＝EF，可用ASA来证明；
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，现要证明“等边对等角”这一结论．以下是小明解答该问题的思路片段：
如图，取BC的中点D，连接AD，∴BD＝CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（@），∴∠B＝∠C（★）．
关于以上证明过程，下列选项错误的是（ ）
A．依据@表示SSS
B．依据★表示全等三角形的对应角相等
C．图中辅助线也可以是作∠BAC的平分线AD，全等的依据是ASA
D．图中辅助线还可以是作AD⊥BC于点D，全等的依据是HL
【分析】根据全等三角形的判定方法及性质判断A、B；根据题意可得∠BAD＝∠CAD，由AD＝BD，AB＝AC，可判断C；根据题意可得∠ADB＝∠ADC＝90°，由AD＝AD，AB＝AC，可判断D．
【解答】解：A．结论正确，不符合题意；
B．结论正确，不符合题意；
C．作∠BAC的平分线AD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝BD，AB＝AC，可用SAS判定△ABD≌△ACD，故结论错误，符合题意；
D．作AD⊥BC于点D，可得∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD＝AD，AB＝AC，可用HL判定△ABD≌△ACD，故结论正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了利用三角形全等的不同方法证明“等边对等角”，掌握判定方法及性质是解题的关键．
8．（3分）如图所示，AD和BE是△ABC的两条中线，相交于点O，设△AOB和四边形CDOE的面积分别为S1、S2，则S1和S2的关系为（ ）
A．S2＞S1 B．S2＜S1
C．S2＝S1 D．以上答案都不对
【分析】根据三角形中线的性质列出等式，得出答案．
【解答】解：如图，
∵AD和BE是△ABC的两条中线，
∴△ABD面积＝△ACD面积，△BCE面积＝△ABE面积，
即S1+S4＝S2+S3①，S2+S4＝S1+S3②，
①﹣②得：S1﹣S2＝S2﹣S1，
∴S1＝S2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，难度适中．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
10．（3分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）2023年10月1日，杭州亚运会射击项目进入最后一个比赛日，中国射击队最终以16枚金牌的成绩结束本届亚运会，以较大优势占据射击项目金牌榜头名．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形的稳定性直接写出答案即可．
【解答】解：射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，说明三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，了解三角形的稳定性是解答本题的关键，难度不大．
12．（3分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ①②③ （填序号）
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形进行分析判断．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠C＝180°，∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，则该三角形是直角三角形；
③∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，∠C＝90°．则该三角形是直角三角形；
④∠A＝∠B＝∠C，则该三角形是等边三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③．
【点评】此题要能够结合已知条件和三角形的内角和定理求得角的度数，根据直角三角形的定义进行判定．
13．（3分）三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3的度数为 180 °．
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠1+∠GAH+∠2+∠EBF+∠3+∠MCN＝360°，∠MCN+∠EBF+∠GAH＝180°，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由三角形外角和可得：∠1+∠GAH+∠2+∠EBF+∠3+∠MCN＝360°，
∵三个全等三角形，
∴∠MCN+∠EBF+∠GAH＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为 5 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝2，
∴△ABD的面积＝AB DE＝×5×2＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC是边长为5cm的等边三角形，动点P、Q分别同时从点A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），当t＝ 或 时，△PBQ是直角三角形．
【分析】分两种情况：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
【解答】解：设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP＝t cm，BQ＝t cm，
在△ABC中，AB＝BC＝5cm，∠B＝60°，
∴BP＝（5﹣t）cm，
在△PBQ中，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝t cm，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP，
即t＝（5﹣t），
∴t＝，
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ，
∴5﹣t＝t，
∴t＝．
∴当t＝或t＝时，△PBQ是直角三角形．
故答案为：或．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
【分析】根据正多边形的一个内角与一个外角的和为180°，一个外角等于与它相邻的内角的，列出方程组，从而求得外角的度数，最后根据任意正多边形的外角和是360°求解即可．
【解答】解：设这个多边形的一个内角为x，则外角为x．
根据题意得：x+，x＝180°．
解得：x＝108°，
x＝72°，
360°÷72°＝5．
答：这个多边形的边数为5．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程组是解题的关键．
17．（9分）已知，如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A，求证：DE＝BC．
【分析】证出∠C＝∠EDB，证明△EBD≌△BAC（ASA），由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDB，
在△EBD和△BAC中，
，
∴△EBD≌△BAC（ASA），
∴DE＝BC．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，证明△EBD≌△BAC是解题的关键．
18．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM＝2BM．
【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM＝BM，再求出∠B＝30°，∠CAM＝90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM＝AM＝CA即CM＝2BM．
【解答】证法1：如答图所示，连接AM，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM＝AM，∴∠BAM＝∠B＝30°，
∴∠MAC＝90°，
∴CM＝2AM，
∴CM＝2BM．
证法二：如答图所示，过A
作AD∥MN交BC于点D．
∵MN是AB的垂直平分线，
∴N是AB的中点．
∵AD∥MN，
∴M是BD的中点，即BM＝MD．
∵AC＝AB，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵∠BAD＝∠BNM＝90°，
∴AD＝BD＝BM＝MD，
又∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD＝DC，BM＝MD＝DC，
∴CM＝2BM．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
19．（9分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列方程计算即可得解．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF，
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即×（16+12）×DE＝28，
解得DE＝2（cm）．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．
20．（9分）已知，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．试说明：（1）PE＝PF；（2）PB＝PC．
【分析】（1）首先根据等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线相互重合，得出AD平分∠BAC，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可证出PE＝PF；
（2）首先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AD是BC的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质即可证出PB＝PC．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC，
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE＝PF；
（2）∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD垂直BC，
即AD垂直平分BC，
又∵P是AD上任意一点，
∴PB＝PC．
【点评】本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线的性质及线段垂直平分线的性质．属于基础知识，学生应熟练掌握．本题如果运用全等三角形的判定和性质做，就稍显麻烦．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2）．△ABC与△EFG关于x轴对称，点A，B，C的对称点分别为E，F，G．
（1）请在图中作出△EFG，并写出点E，F，G的坐标；
（2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC边上一点，其关于x轴的对称点为M'（1﹣n，2m），求m，n的值．
【分析】（1）根据对称的性质即可作出△EFG，并写出点E，F，G的坐标；
（2）根据关于x轴的对称点横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求m，n的值．
【解答】解：（1）如图，△EFG即为所求，点E，F，G的坐标分别为（2，﹣2），（1，3），（4，2）；
（2）由题意可得，
，
解得．
∴m，n的值分别为3，﹣4．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．（10分）如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部且CA＝CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）如果AO＝10，BO＝4，求OD的长．
【分析】（1）证明Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），得CD＝CE．再由角平分线的判定即可得出结论；OC平分∠MON；
（2）证Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），得OD＝OE，设BE＝AD＝x．则OE＝OD＝4+x，再由AO＝OD+AD＝4+2x＝10，得x＝3．即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDA＝∠CEB＝90°．
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴CD＝CE．
又∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：在Rt△ODC与Rt△OEC中，
∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），
∴OD＝OE，
设BE＝AD＝x．
∵BO＝4，
∴OE＝OD＝4+x，
∵AD＝BE＝x，
∴AO＝OD+AD＝4+2x＝10，
∴x＝3，
∴OD＝4+3＝7．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，证明Rt△ACD≌Rt△BCE和Rt△ODC≌Rt△OEC是解题的关键．
23．（11分）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM．
【探究发现】（1）图1中AC与BM的数量关系是 AC＝BM ，位置关系是 AC∥BM ；
【初步应用】（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围；
【探究提升】（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由．
【分析】（1）证△ADC≌△MDB（SAS），得AC＝BM，∠CAD＝∠M，再由平行线的判定即可得出AC∥BM，
（2）延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），得BM＝AC＝8，再由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴AC＝BM，∠CAD＝∠M，
∴AC∥BM，
故答案为：AC＝BM，AC∥BM；
（2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝8，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴12﹣8＜AM＜12+8，
即4＜2AD＜20，
∴2＜AD＜10，
即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10；
（3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下：
如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）可知，AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵AE⊥AB、AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，∠BAM＝∠E，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∴EF＝2AD，
∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE，
∴∠APE＝∠BAE＝90°，
∴EF⊥AD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
