余姚中学2023学年第一学期期中考试高二数学答案
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，斜率为的直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据斜率的定义，由直线的斜率，即可求出倾斜角.
【详解】设所求直线的倾斜角为，其中，
因为该直线的斜率为，
所以，则.
故选：B.
2. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算求解即得.
【详解】依题意，
.
故选：B
3. 已知向量，是平面的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】若平面，则，，，，故必要性满足；
反之，若与平行，则，，并不能保证，故充分性不满足；
所以且是的必要不充分条件.
故选：B
4. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果.
【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种，
若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5；
若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法；
所以所求概率为.
故选：A
5. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）
A. 1.8cm B. 2.5cm C. 3.2cm D. 3.9cm
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，利用点到直线距离公式进行求解
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
6. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数的图象，可得
当时，，则，则单调递增；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递减；
当时，，则，则单调递增；
则单调递增区间为，；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
7. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）
A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案．
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：，
方差为，
可以出现点数6，故C错误；
对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差，
则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确．
故选：D．
8. 过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圆C的圆心和半径,由切线的性质和四边形的面积求法,结合勾股定理和点到直线的距离公式,计算可得所求最小值.
【详解】由圆的方程可得：，则圆心为：，半径
又
为圆的切线，则
又
当四边形的面积的取最小值时，最小
又垂直于直线时，最小
四边形面积的最小值为：
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆和圆的交点为A，B，则（）
A. 两圆的圆心距
B. 直线AB的方程为
C. 圆上存在两点P和Q使得
D. 圆上的点到直线AB的最大距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；将两圆方程作差即得公共弦AB的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.
【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，A不正确；
对于B，将两圆方程作差可得，
即得公共弦AB的方程为，故B正确；
对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，
对于圆上的任意两点、，，C不正确；
对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D正确.
故选：BD.
10. 抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（）
A. A与互斥 B. A与对立
C. 与相互独立 D. 与相互独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】先用列举法写出一次试验的基本事件，再根据条件写出事件包含的基本事件即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果.
【详解】由题意得，
，
，
包含36个样本点.
对于选项A：由，得，
所以，，，，
共包含30个样本点，
且，共包含6个样本点，
因为，所以A与不互斥，故A错误；
对于选项B：因为，，
共包含18个样本点，
且，共包含6个样本点，
因为，所以A与对立，故B正确；
对于选项C：因为，
所以，故与相互独立，故C正确；
对于选项D：因为，所以，
故与相互独立，故正确.
故选：BCD.
11. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）
A. 该平台女性主播占比的估计值为0.4
B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D. 从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，结合图1和图2求出三个年龄段中女性人数；B选项，在A选项基础上，求出相应的概率；C选项，求出三个年龄段主播的比例，从而得到中年主播应抽取的人数；D选项，设出事件，利用条件概率公式求出答案.
【详解】A选项，由图1可以看出选取300人中其他人群人数为，
青年人人数为，中年人人数为，
由图2可以看出青年人中女性人数为，中年人中女性人数为，
其他人群中，女性人数为，
故该平台女性主播占比的估计值为，A正确；
B选项，中年人中男性人数为，
故从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为，B错误；
C选项，三个年龄段人数比例为青年主播，中年主播和其他人群主播比例为，
故用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取名，C正确；
D选项，从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是青年人为事件，随机选取一位做为幸运主播，设幸运主播是女性主播为事件，
则，，，D错误.
故选：AC
12. 如图，棱长为6的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）
A. 当时，∥平面
B. 当时，若∥平面，则的最大值为
C. 当时，若，则点的轨迹长度为
D. 过A、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
【答案】ABC
【解析】
【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；分别取、中点、，连接、、、、，找出点P的轨迹，结合图形求出的最大值，可判断B选项；作出截面，分析截面的形状，可判断D选项.
【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
对于A选项：当时，则，
因为，，
设平面的法向量为，则，
取，则，可得，
所以，则，
因为平面，所以当时，∥平面，故A正确；
对于B选项：当时，为中点，
分别取、中点、，连接、、、、，
因为、分别为、的中点，所以∥，
又因为∥且，则四边形为平行四边形，可得∥，
所以∥，
且平面，平面，所以∥平面，
同理可得，∥平面，
因为，、平面，所以平面∥平面，
当点为的边上一点（异于点）时，则平面，则∥平面，
故点的轨迹为的边（除去点），则，
同理可得，结合图形可得，故B正确；
对于选项C：当时，、分别为、的中点，如图所示：
此时点、、，，
当点在平面内运动时，设点，其中，，
则，
因为，则，解得，
设点的轨迹分别交棱、于点、，则、，
当点在平面内运动时，设点，其中，，
则，则，
设点的轨迹交棱于点，则，设点的轨迹交棱于点，
因为平面∥平面，平面平面，
平面平面，所以∥，
同理可得∥，所以四边形为平行四边形，
且，，
因此点的轨迹的长度即为平行四边形的周长，故C正确；
对于D选项：设截面交棱于点，连接、，由题意可知，截面与平面重合，
因为平面∥平面，平面平面，
平面平面，所以∥，同理可得∥，
所以四边形平行四边形，
因为，其中，则，，
且，即与不可能垂直，
所以平行四边形不可能为矩形，即过A、、三点的截面不可能是矩形，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若直线与直线平行，则______．
【答案】或1
【解析】
【分析】根据直线平行得到，解得答案并验证即可.
【详解】直线与直线平行，则，
解得或，
当或时，验证两条直线不重合，
故答案为：或1.
14. 点，，，若在线段上，且满足，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合题意，利用,建立方程组解出即可.
【详解】设的坐标为，则，
，
因为在线段上，且满足，
所以,即，
解得：，所以点的坐标为．
故答案为：.
15. 已知函数，其中是自然对数的底数.设直线与曲线与分别交于两点，若对任意，均有成立，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】把直线分别与曲线与的交点代入函数中，则由得，构造新函数，使，均有成立问题转化为即可.
【详解】，且直线与曲线与分别交于两点，
则，
，
，
当时，令，
则，
由函数和（差）的单调性知在区间上单调递增且有，
故当时，，当时，，
函数在区间单调递减，在单调递增，
当时，函数有极小值也是最小值，最小值为.
对任意，均有成立，化为.
故答案为：
【点睛】本题的关键在于从直线与两曲线的交点中解出，再构造新函数，把问题转化为求此函数的最值.
16. 已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，将原点代入该切线方程求得，构造函数，利用导数求得函数的单调性，得到切线方程为，再设过原点的切线为，联立方程组，结合，求得切线为，设直线与的夹角为，结合，即可求解.
【详解】当时，，可得，所以在上单调递增，
当时，，作出函数的大致图象，如图所示，
设过原点的直线与函数的图象相切的直线方程为，
其中切点坐标为，则切线方程为，
将原点代入该切线方程可得，即，
构造函数，其中，则，
所以函数在上单调递减，且，
可得，所以，切线方程为，
又由函数，设过原点的切线方程为，
联立方程组，整理得，
令，解得或（舍去），即切线方程为
设直线与的夹角为，直线的倾斜角为，
则，可得，
结合图象可知，当均在的图象上时，
，可得，所以.
故答案为：.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
四、解答题（本大题共5小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）0.030
（2）84 （3）两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37
【解析】
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
（2）利用频率分布直方图及百分位数公式即可求得第75百分位数；
（3）将总体平均数代入总体方差公式即可求得总方差．
【小问1详解】
由每组小矩形的面积之和为1，
则，
解得．
【小问2详解】
结合（1）可得，
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
设第75百分位数为，
则，解得，
故第75百分位数为84．
【小问3详解】
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故两组成绩的总平均数为，
设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；
成绩在中20人的分数分别为，，，…，，
则由题意可得，，，
即，，
所以，
所以两组市民成绩的总平均数是59，总方差是37．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）向量法求解平面与平面夹角的余弦值即可.
（3）设是线段上一点，则存在使得，利用线面平行的向量证法证明线面平行即可.
【小问1详解】
在中，．
所以，即；
又因为，
在平面中，面，面，，
所以平面；
【小问2详解】
因为平面平面，
平面平面，
平面，
所以平面，所以，
由（1）已证，且已知，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
，
因为为中点，
所以，
由知，
，
设平面的法向量为，
则即，令，则，
于是，
又因为由（1）已证平面，
所以平面的法向量为，
所以，
平面与平面夹角的余弦值；
小问3详解】
设是线段上一点，则存在使得，
因为，
所以，
因为平面，
所以平面当且仅当，
即，
即，解得，
因为，所以线段上不存在使得平面．
19. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】(1)以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系.根据条件求出直线的方程，设出点坐标，代点到直线的距离公式即可求出所求；
(2)由(1)及题意设出直线的方程后，即可求得点的横坐标，与点的纵坐标，由
求得后，即可求解.
【详解】(1)以为坐标原点, 所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系
由题意可设点，且直线的斜率为，并经过点，
故直线的方程为：，
又因点到的距离为，所以，解得或(舍去)
所以点坐标为.
(2)由题意可知直线的斜率一定存在，故设其直线方程为：，
与直线的方程：，联立后解得:，
对直线方程：，令，得，
所以，解得，
所以直线方程为：，即:.
【点睛】本题以直线方程的相关知识为背景，旨在考查学生分析和解决问题的能力，属于中档题.
20. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：当时，，使得．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数与极值的关系求解；
（2）利用导数与单调性最值得关系证明不等式能成立问题.
【小问1详解】
易知，,
当时，，函数在上单调递减；
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
综上，当时，函数在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【小问2详解】
由（1）可知，当时，在处取得最小值，
若，使得，只需，
令，由，
可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，，
所以，，使得．
21. 已知椭圆：过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）设的斜率为，得到的方程为，的方程为，根据题意，得到，联立方程组，结合，得到，将代入上式，得出的不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆过点，且离心率为，
可得，解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，
设的斜率为，则的斜率为，
则直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
因为与圆相切于点，所以，化简得，
由，整理得，
所以，化简得，，
由，可得，
代入上式化简得，，解得，
又因为，可得，得，
所以的取值范围是．
【点睛】方法策略：解答圆锥曲线最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.
22. 已知函数，其中且．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；
（3）若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．
【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；
（2）答案见解析； （3）且.
【解析】
【分析】（1）直接利用导数求函数的单调区间；
（2）记，利用导数得在和上均单调递增．记，对分讨论，结合零点定理求函数的“不动点”的个数；
（3）记，利用（1）得出的单调性和值域，然后分和两种情况，结合（2）中不动点的范围对进行分析即可
【小问1详解】
当时，，定义域为R．
，令，得．
当时，；当时，．
所以的单调增区间为，单调减区间为．
【小问2详解】
函数的不动点即为方程的根，即方程的根．
显然，不是方程的根，所以．
记，因为（当且仅当取等号），所以在和上均单调递增．
由，记．
①当时，
（ⅰ）当时，，
（可设
当，当，
在单调递减，在单调递增，所以），
存在，使得，即存在唯一使得；
（ⅱ）当时，，
（设
当，当，
在单调递增，在单调递减，
所以），存在，使得，即存在唯一使得．
②当时，
（ⅰ）当时，无零点；
（ⅱ）当时，因为，，存在，使得，即存在唯一使得．
综上所述，
当时，函数有两个“不动点”，；当时，函数有一个“不动点”．
【小问3详解】
记，由（1）知，
当时，函数单调递增，且；
当时，函数单调递增，且；
当时，函数单调递减，且当趋向于无穷时，的增长速率远远大于一次函数的增长速率，则．
当，由（2）知
（其中）．
由，代入得．
因为，所以此时只有一个解；
因为，所以此时有两个解，
故共有三个解，不满足题意；
当，由（2）知
由，代入得，
当时，只有一个解，不满足题意，此时；
时，共有两个解，满足题意，
综上所述，当且时方程有两个不同实数根．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用导数分析函数的零点问题，常用的方法：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接分析函数的图象得解）；（3）方程+图象法（令得到，分析的图象得解）.
1余姚中学2023学年第一学期期中考试高二数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在平面直角坐标系中，斜率为的直线倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，是平面两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（）
A. B. C. D.
5. 美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（）
A. 1.8cm B. 2.5cm C. 3.2cm D. 3.9cm
6. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（）
A. B.
C. D.
7. 四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）
A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2
C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4
8. 过直线上一点作圆：的切线，切点为，，则四边形的面积的最小值为（）
A. B. C. 3 D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知圆和圆的交点为A，B，则（）
A. 两圆的圆心距
B. 直线AB方程为
C. 圆上存在两点P和Q使得
D. 圆上的点到直线AB的最大距离为
10. 抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件“关于的方程无实根”，事件“”，事件“”，事件“”则（）
A. A与互斥 B. A与对立
C. 与相互独立 D. 与相互独立
11. 某短视频平台以讲故事，赞家乡，聊美食，展才艺等形式展示了丰富多彩的新时代农村生活，吸引了众多粉丝，该平台通过直播带货把家乡的农产品推销到全国各地，从而推进了“新时代乡村振兴”．从平台的所有主播中，随机选取300人进行调查，其中青年人，中年人，其他人群三个年龄段的比例饼状图如图1所示，各年龄段主播的性别百分比等高堆积条形图如图2所示，则下列说法正确的有（）
A. 该平台女性主播占比的估计值为0.4
B. 从所调查的主播中，随机抽取一位参加短视频剪辑培训，则被抽到的主播是中年男性的概率为0.7
C. 按年龄段把所调查的主播分为三层，用分层抽样法抽取20名主播担当平台监管，若样本量按比例分配，则中年主播应抽取6名
D. 从所调查的主播中，随机选取一位做为幸运主播，已知该幸运主播是青年人的条件下，又是女性的概率为0.6
12. 如图，棱长为6的正方体中，点、满足，，其中、，点是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（）
A. 当时，∥平面
B. 当时，若∥平面，则的最大值为
C. 当时，若，则点的轨迹长度为
D. 过A、、三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若直线与直线平行，则______．
14. 点，，，若在线段上，且满足，则点的坐标为______．
15. 已知函数，其中是自然对数的底数.设直线与曲线与分别交于两点，若对任意，均有成立，则的取值范围为___________.
16. 已知函数，点是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共5小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛；从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是51，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，为中点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面，说明理由？
19. 如图，公路围成的是一块顶角为的角形耕地，其中，在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园.
（1）以为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出点的坐标；
（2）三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路所在直线方程.
20. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）证明：当时，，使得．
21. 已知椭圆：过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆和圆：．过点作直线和，且两直线的斜率之积等于1，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点、，求的取值范围．
22. 已知函数，其中且．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”求函数的“不动点”的个数；
（3）若关于x的方程有两个相异的实数根，求a的取值范围．
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