9.3平行四边形的性质与判定
一．解答题
1．数学课上，陈老师布置了一道题目：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的高，如果AB+BD＝AC+CD，那么AB＝AC吗？
悦悦的思考：
①如图，延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．
②由AD是EF的垂直平分线，易证∠E＝∠F．
③由∠E＝∠F，易证∠ABC＝∠ACB．
④得到AB＝AC．
如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB+AD＝CD+CB．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
2． ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，O为AE中点，连接BO并延长交AD于F，连接EF．
（1）判断四边形ABEF的形状并说明理由；
（2）若AB＝2，∠D＝60°，当△BFC为直角三角形时，求△BFC的周长．
3．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝4，求平行四边形ABCD的周长．
4．图，点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
（3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．
7．如图，四边形ABCD中AC、BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠E＝∠F，AD＝BC．
（1）求证：O是线段AC的中点：
（2）连接AF、EC，证明四边形AFCE是平行四边形．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
求证：（1）AE＝CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ ；DP＝ ；BQ＝ ；CQ＝ ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
11．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．
（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．
12．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC，CD＝BD，求AD的长．
13．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．
（1）求证：四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．
14．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
15．已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
16．如图，E为 ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE交BC于点F，连接AC、BE．
（1）如图1，求证：AF＝EF；
（2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段．
17．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝ ；
（2）当t＝ 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝12，BF＝13，求BD的长．
19．如图，在△AFC中，∠FAC＝45°，FE⊥AC于点E，在EF上取一点B，连接AB、BC，使得AB＝FC，过点A作AD⊥AF，且AD＝BC，连接CD．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，若AB平分∠FAC，延长FE交CD于点H，请直接写出与∠ABE相等的角．
20．如图，在 ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）若EG平分∠HEF，请判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
21．已知，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝AF．
（1）如图1，当EC＝4，AE＝8时，求 ABCD的对角线BD的长；
（2）如图2，若点M为CD的中点，连接EM，AM．求证：AM＝EM．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与D相交于点O点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是什么样的四边形？试说明理由．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝AC，点H为边AB的中点，点E在CH的延长线上，且AE⊥BE．点F在线段AE上，且BF⊥CE，垂足为G．
（1）若BF＝AF，且EF＝3，BE＝4，求AD的长；
（2）求证：BF+2EH＝CE．
24．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠DAC＝60°，点E是BC边上一点，连接AE，AE＝AB，点F是对角线AC边上一动点，连接EF．
（1）如图1，若点F与对角线交点O重合，已知BE＝4，OC：EC＝5：3，求AC的长度；
（2）如图2，若EC＝FC，点G是AC边上一点，连接BG、EG，已知∠AEG＝60°，∠AGB+∠BCD＝180°，求证：BG+EG＝DC．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在DC的延长线上，连接BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2，求GF的长．
26．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．
（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；
（2）如图2，若∠ACB＝45°，求证：AF+FOEG．
27．如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．
（2）若AD＝15cm，AE＝12cm，AB＝20cm，过点C作CH⊥AB，求CH的长．
28．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）证明：四边形ACGD是平行四边形；
（2）线段BE和线段CD有什么数量关系，请说明理由；
（3）已知BC，求EF的长度（结果用含根号的式子表示）．
答案
一．解答题
1．如图①，
解：AB＝AC，理由如下：延长DB至点E，使BE＝BA，延长DC至点F，使CF＝CA，连接AE、AF．
则∠BAE＝∠E，∠CAF＝∠F，
∵AB+BD＝AC+CD，
∴BE+BD＝CF+CD，
即DE＝DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AE＝AF，
∴∠E＝∠F，
∴∠E＝∠F＝∠BAE＝∠CAF，
∵∠ABC＝∠E+∠BAE，∠ACB＝∠F+∠CAF，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
如图②，
证明：在DA的延长线上取点M，使AM＝AB，在BC的延长线上取点N，使CN＝CD，连接BM、DN，
则∠M＝∠ABM，∠N＝∠CDN，
∵AB+AD＝CD+CB，且 AM＝AB，CN＝CD，
∴AM+AD＝CN+CB，
即DM＝BN，
又∵AD∥BC，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴MB＝ND，∠M＝∠N，
∴∠ABM＝∠CDN，
在△ABM和△CDN中，，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM＝CN，
∵DM＝BN，
∴DM﹣AM＝BN﹣CN，
即AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2．（1）四边形ABEF是菱形；
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠FAO＝∠BEO，
∵∠AOF＝∠EOB，OA＝OE，
∴△AOF≌△EOB，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE，
∵∠FAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BA＝BE，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）∵∠BAE＝∠B＝60°，
∴∠CBF不可能为直角；
当∠BCF＝90°时，BF＝2OB，CF，BC＝3，此时△BFC的周长为；
当∠BFC＝90°时，BC＝4，CF＝2，BF，此时△BFC的周长为；
所以△BFC的周长为或．
3．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB．
∴∠AFB＝∠FAB．
∴AB＝BF，
∴BF＝CD；
（2）解：由（1）知：AB＝BF，
又∵∠BFA＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，
∵BE⊥AF，
∴点E是AF的中点．
在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝4，
∴EF＝4，BF＝8，
∴AB＝BF＝8，
∵四边形BACD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，
∴CE＝EF，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE＝EF＝CF＝4，
∴BC＝8﹣4＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为8+8+4+4＝24．
4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
5．（1）∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB，
∵BC﹣AB＝2，
∴DE＝2；
（3）∵∠AOB是△ADO的外角，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA，
∵∠AOB＝2∠ADB，
∠OAD＝∠ODA，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩．
6．证明：（1）∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，在
△FCE和△BOE中，，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
7．证明：（1）∵∠E＝∠F，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分；
即O是线段AC的中点．
（2）∵AD∥BC，
∴∠EAC＝∠FCA，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA）．
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠ADE＝∠CBF．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°．
∵在△ADE与△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF．
（2）∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°．
∴AE∥CF．
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
9．（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠B＝∠ECF
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE．
（2）结论：CH⊥DG．理由如下：
∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∵AB＝CD，
∴DC＝CF，
∵H为DG的中点，
∴CH∥FG
∵DG⊥AE，
∴CH⊥DG．
10．（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
11．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
又∵ED平分∠AEC，
∴∠ADE＝∠CED＝45°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴AE＝BC；
（2）△ABF是等腰直角三角形，
证明：∵CF⊥DE，
∴∠CFE＝90°，
又∵∠CEF＝45°，
∴∠ECF＝45°，
∴∠FEC＝∠FCE＝∠AEF，
∴EF＝CF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（SAS），
∴AF＝BF，∠AFE＝∠BFC，
∴∠AFE﹣∠BFE＝∠BFC﹣∠BFE，
即∠AFB＝∠EFC＝90°，
∴△ABF是等腰直角三角形．
12．（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．
13．（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，
由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，
∴MO∥AN，NO∥AM，
∴四边形AMON是平行四边形；
（2）解：∵AC＝6，BD＝4，
∴AO＝3，BO＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴AB，
∴OM＝AM＝MB，
∴NO＝AN，
四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．
14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AGAD＝2，
∴DG2，
∴BD2．
15．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BEOB，DFOD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝FC，
∵EG＝AE，
∴EG＝FC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD＝4S△ABO，
∵EG＝AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO＝S△BGO，
∴S四边形ABGO＝2S△ABOS四边形ABCD，
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴BG∥AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S四边形BGCO＝2S△BGO＝2S△ABOS四边形ABCD，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴GO∥AB，GO＝AB，
∵AB∥CD，
∴GO∥CD，GO＝CD，
∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S四边形CDOG＝2S△CDO＝2S△ABOS四边形ABCD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EFBD＝OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥EF，CG＝OD，
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S四边形EFCG＝S四边形CDOGS四边形ABCD，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
16．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
又∵DC＝CE，
∴AB＝CE．
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF．
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵AF＝CF，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF∥CE，CE＝2OF，
∵AB＝CD＝CE，
∴AB＝CD＝CE＝2OF，
∵AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC∥BE，
∵OF∥CE，
∴四边形OGEC为平行四边形，
∴OG＝CE＝2OF，
故图中长度是OF二倍的线段有AB，CD，CE，OG．
17．（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∴PD＝DC﹣PC＝12﹣2t，
∴，
解得t．
综上所述：t＝2s或t＝3s或ts时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF5，
∴OE＝OF，
在Rt△BEO中，OB，
∴BD＝2OB．
19．（1）证明：∵FE⊥AC，
∴∠FEA＝∠FEC＝90°，
∵∠FAC＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AFE＝∠FAE＝45°，
在Rt△AEB和Rt△FEC中，，
∴Rt△AEB≌Rt△FEC（HL），
∴BE＝CE，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∵AD⊥AF，
∴∠FAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BCE＝∠CAD，
∴BC∥AD，
又∵BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：与∠ABE相等的角有：∠CHB、∠BCH、∠BAD、∠FCA、∠CFA；理由如下：
由（1）得：Rt△AEB≌Rt△FEC，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAE＝∠CFE，∠BCH＝∠BAD，AB∥CD，
∴∠CHB＝∠ABE，∠BAE＝∠DCA，
∵AB平分∠FAC，
∴∠BAC＝∠BAF，
在△ABC和△ABF中，，
∴△ABC≌△ABF（AAS），
∴BC＝BF，AC＝AF，
∴∠BCF＝∠BFC，∠FCA＝∠CFA＝45°+∠CFE，
∵∠ABE＝∠AFE+∠BAF，
∴∠BCH＝∠BAD＝∠FCA＝∠CFA＝∠BAE．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
在△AEH与△CGF中，，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理：△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）解：四边形EFGH是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形EFGH为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴EFGH是菱形．
21．（1）连接AC，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，
∵EC＝4，AE＝8，AE⊥BC，
∴，
设AB＝BC＝x，则BE＝BC﹣EC＝x﹣4，
在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，则82+（x﹣4）2＝x2，
解得，x＝10，即AB＝BC＝10，
∴，
∴，
解得，BD＝8；
（2）如图，延长AM、EC交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠FCM，∠DAM＝∠F，
∵点M为CD的中点，
∴DM＝CM，
在△ADM和△FCM中，，
∴△ADM≌△FCM（AAS），
∴AM＝FM，
∴EM是Rt△AEF斜边AF上的中线，
∴，
即AM＝EM．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BEOB，DFOD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
23．（1）∵AE⊥BE．EF＝3，BE＝4，
∴BF，
∵BF＝AF，
∴AF＝5，
∴AE＝3+5＝8，
∴AB，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4；
（2）在CH上截取HM＝HE，连接BM和AM，如图，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵点H为边AB的中点，
∴EH＝AH＝BH＝MH，
∴四边形AEBM是矩形，
∴∠EAM＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAM，
∵BF⊥CE，
∴∠EGB＝90°，
∴∠EBG+∠BEG＝90°，
∵∠EBG+∠BFE＝90°，
∴∠BEG＝∠BFE，
∵矩形AEBM中，BE∥AM，
∴∠BEG＝∠AMH，
∴∠BFE＝∠AMH，
∴∠AFB＝∠AMC，
∵AB＝AC，
∴△ABF≌△ACM（AAS），
∴BF＝CM，
∵CM+EM＝CE，EM＝EH+MH＝2EH，
∴BF+2EH＝CE．
24．（1）过点A作AH⊥BE于点H，如图1，
∵AB＝AE，
∴BH＝EH，
∵OC：EC＝5：3，
∴不妨设OC＝5x，则EC＝3x，AC＝10x，
∴CH＝CE+EH＝3x+2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ACH＝∠DAC＝60°，
∴∠CAH＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2CH，
∴10x＝2（3x+2），
解得，x＝1，
∴AC＝10；
（2）延长EG至点M，使得EM＝AE，连接AM，如图2，
∵∠AEG＝60°，
∴△AEM为等边三角形，
∴AE＝AM，∠M＝60°，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，AB＝AM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠AGB+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝∠AGB，
∵∠ABG＝180°﹣∠AGB﹣∠BAG，
∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAG，
∴∠ABG＝∠ACB＝60°，
∴∠ABG＝∠M＝60°，
∵∠AEG＝∠ACB＝60°，
∴∠AEB+∠CEG＝∠CEG+∠CGE＝120°，
∴∠AEB＝∠CGE，
∵∠AGB＝∠ABE＝∠AEB，∠AGM＝∠CGE，
∴∠AGB＝∠AGM，
∵AG＝AG，
∴△ABG≌△AMG（AAS），
∴BG＝MG，
∴BG+EG＝MG+EG＝EM，
∵AE＝EM，
∴AE＝BG+EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CE，
∵AB＝AE，
∴BG+EG＝DC．
25．（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC，
∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝2，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF，
在△ABF和△DEF中，，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF＝6，AB＝DE，
∵AB＝CD，
∴AB＝CD＝DECEBC，
∵FG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
即（）2﹣AG2＝62﹣（AG）2，
解得：AG，
∴GF．
26．（1）连接BD，
∵平行四边形ABCD，
∴BD过点O，
∴S△OBCBC OE5×3
∴平行四边形ABCD的面积＝4S△OBC＝30；
（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEG+∠OEC＝∠GEC+∠CEH＝90°，
∴∠OEG＝∠CEH，
∵∠ACB＝45°，
∴∠COE＝45°，
∴OE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
又FG⊥AB，
∴FG⊥CD，
∴∠EOG+∠ECG＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠ECH+∠ECG＝180°，
∴∠EOG＝∠ECH，
∴△OEG≌△CEH（ASA），
∴OG＝CH，EG＝EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCG，
∵∠AOF＝∠COG，
∴△OAF≌△OCG（ASA），
∴AF＝CG，OF＝OG，
∵CG+CH＝GH，
∴AF+OF＝GH，
∵∠GEH＝90°，EG＝EH，
∴GH，
∴AF+OFEG．
27．（1）证明：如图，连接AC交BD于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AO＝CO，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
在△AOE和△COF中，，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴EO＝FO，
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE16，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE9，
∴BD＝16+9＝25，
∴S ABCD＝2S△ABD＝225×12＝AB×CH＝20CH，
∴CH＝15．
28．（1）证明：∵△ABC和△ABD都是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，BDABBC＝2BC＝2AC，
∴AC∥BD，
又∵G为BD的中点，
∴BD＝2DG，
∴AC＝DG，
∵AC∥DG，
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）解：BE＝CD，理由如下，
∵△AEC和△ABD都是等腰直角三角形
∴AE＝AC，AB＝AD，
∠EAB＝∠EAC+∠CAB＝90°+45°＝135°，
∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+45°＝135°，
∴∠EAB＝∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
（3）解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEB＝∠ACD，
又∵∠EAF＝90°，
∴∠EFC＝∠DFB＝90°，
∴△DBF是直角三角形，
∵BC，
∴BD＝2，
根据勾股定理得CD，
∴，
∴ BF，
∴BF，
所以EF＝BE﹣BF＝CD﹣BF．
