24.3 正多边形和圆
一、选择题
1．已知点O是△ABC的外心，∠BOC= 80°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．100° C．40°或140° D．40或100°
2．如图所示，四边形ABCD内接于，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=63°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．63° B．126° C．116° D．117°
4．已知PA，PB是☉O的切线，C为圆上不同与A，B的一点，若∠P=40°，则∠ACB的度数为 ( )
A．70° B．110° C．70°或110° D．不确定
5．如图， 在正五边形中， 是对角线， 交于点， 则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，点为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，2，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
7．如图所示，正五边形ABCDE内接于为BC的中点，为DE的中点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是60°，则该正多边形边数是 .
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长为8π，则正六边形的边长为 ．
11．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数为 ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是 ．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 度.
三、解答题
14．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=100°.若点E在AD 上，求∠E的度数.
15．如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，DE平分∠CDF．求证：AB=AC．
16．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
17．如图，六边形ABCDEF是的内接正六边形.
（1）求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分.
（2）设的面积为，六边形ABCDEF的面积为，求的值.
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．C
5．D
6．B
7．B
8．A
9．六
10．4
11．十二
12．60°
13．45
14．解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=80°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠E=180°-∠ABD=130°.
15．证明：∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE=∠EDF．
∵∠EDF=∠ADB，
∴∠CDE=∠ADB．
∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC
16．（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
17．（1）解：连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A的三条对角线四等分；
（2）解：过点O作OG⊥DE于G，连接OE，
设圆O的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=r，
∴OG==r，
∴正六边形ABCDEF的面积==，
圆O的面积=，
∴==.
