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第二节 与圆有关的位置关系
基础题
1. (2022六盘水)如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是( )
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行
第1题图
2. ⊙O的半径为6，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，3)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在⊙O内
B. 点P在⊙O上
C. 点P在⊙O外
D. 点P在⊙O上或⊙O外
3. (2023重庆A卷)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是( )
第3题图
A. 3 B. 2 C. D. 6
4. (2023眉山)如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为( )
A. 25° B. 35° C. 40° D. 45°
第4题图
5. (人教九上P99探究改编)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AB，PO，OA，OB，PO交⊙O于点C，交AB于点D.若AD＝2，CD＝2，则⊙O的半径为( )
第5题图
A. 3 B. 2 C. 4 D. 4
6. (人教九上P100例题改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与△ABC的三边相切于点D，E，F，则AD的长为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
第6题图
7. (2023嘉兴)如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是________．
第7题图
8. (2023邵阳)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为________．
第8题图
9. (2023北京)如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为__________________________．
第9题图
10. (2023河南)如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA.若OA＝5，PA＝12，则CA的长为_______________．
第10题图
11. (2023福建)如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥B C.
(1)求证：AO∥BE；
(2)求证：AO平分∠BAC.
第11题图
12. (2023云南)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上异于B，C的点．⊙O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA·AC＝DC·AB.设△ABE的面积为S1，△ACD面积为S2.
(1)判断直线EA与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若BC＝BE，S2＝mS1，求常数m的值．
第12题图
拔高题
13. (2023徐州)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，＝2.连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB＝68°，则∠DEB＝________°.
第13题图
14. 如图，在 ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则 ABCD的周长为________．
第14题图
15. (2023仙桃)如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD是边AC上的中线，过点C作AB的平行线交BD的延长线于点E，BE交⊙O于点F，连接AE，F C.
(1)求证：AE为⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，BC＝6，求FC的长．
第15题图
第二节 与圆有关的位置关系
1. B
2. A 【解析】∵圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，3)，∴OP＝＝5，∵5＜6，∴点P在⊙O内．
3. C 【解析】如解图，连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OBC＝90°，在Rt△OAB中，∠A＝30°，AB＝2，tan 30°＝，∴OB＝AB·tan 30°＝AB＝2，在Rt△OBC中，OC＝＝＝.
第3题解图
4. C 【解析】如解图，连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∠OCD＝25°，∴∠CDB＝25°，∴∠BOC＝2∠BDC＝50°，∴∠A＝40°.
第4题解图
5. C 【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠BPO，∵AB是⊙O的弦，∴OP垂直平分AB，∴∠ADO＝90°，在Rt△AOD中，AD＝2，OD＝OA－CD＝OA－2，∴由勾股定理得，OA2＝OD2＋AD2，即OA2＝(OA－2)2＋12，解得OA＝4，即⊙O的半径为4.
6. B 【解析】如解图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，设OD＝OE＝OF＝r，∵⊙O与Rt△ABC的三边相切于点D，E，F，∴OE⊥AC，OF⊥BC，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC，∴13r＋12r＋5r＝12×5，解得r＝2，∵四边形OECF为正方形，⊙O的半径为2，BC＝5，∴CE＝CF＝2，BD＝BF＝3，∴AD＝AB－BD＝13－3＝10.
第6题解图
7. 65° 【解析】如解图，连接CO，BO，∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，∴∠ACO＝∠ABO＝90°，∵∠A＝50°，∴∠COB＝360°－90°－90°－50°＝130°，∵＝，∴∠D＝∠BOC＝65°.
第7题解图
8. 50° 【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∵∠ABC＝65°，∴∠OBA＝90°－65°＝25°，∵OB＝OA，∴∠A＝∠OBA＝25°，∴∠BOD＝∠A＋∠OBA＝50°.
9. 【解析】∵OA是⊙O的半径，OA⊥BC，BC＝2，∴CD＝BC＝1.∵∠AOC＝45°，∴∠OCD＝90°－∠AOC＝45°，∴OD＝CD＝1，CO＝＝，∴OA＝.∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°－∠AOC＝45°，∴AE＝OA＝.
10. 【解析】∵PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO＝90°，∵CB＝CA，∴CB是⊙O的切线，∴∠CBP＝90°，在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP＝＝＝13，∴BP＝OP－OB＝OP－OA＝13－5＝8，∵tan P＝＝，即＝，解得CB＝，∴CA＝.
11. 证明：(1)∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥OA，
即∠OAF＝90°，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠OAF＝∠CBE，
∵AF∥BC，
∴∠BAF＝∠ABC，
∴∠OAF－∠BAF＝∠CBE－∠ABC，
即∠OAB＝∠ABE，
∴AO∥BE；
(2)∵∠ABE 与∠ACE 都是所对的圆周角，
∴∠ABE＝∠ACE，
∵OA＝OC，
∴∠ACE＝∠OAC，
∴∠ABE＝∠OAC，
由(1)知，∠OAB＝∠ABE，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AO平分∠BAC.
12. 解：(1)直线EA与⊙O相切．
证明：如解图，连接OA.
∵∠BAC是直径BC所对的圆周角，
∴∠BAC＝90°，
∵直线EA⊥CD，
∴∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠D.
∵DA·AC＝DC·AB,
∴＝ ，
∴△ABC∽△DAC，
∴∠BCA＝∠ACD，
∵OA＝OC，∴∠BCA＝∠OAC，
∴∠OAC＝∠ACD，∴OA∥CD，
∴∠OAE＝∠D＝90°，
∴OA⊥EA.
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线EA与⊙O相切；
第12题解图
(2)∵BC＝BE，∴S△EAC＝2S△ABE＝2S1，S△ABC＝S△EAB＝S1，∴＝2，∵OA⊥DE，∴∠OAB＋∠BAE＝∠OAE＝90°，∵∠BAC＝90°，∠OBA＝∠OBA，∴∠OBA＋∠ECA＝90°，∴∠EAB＝∠ECA，∵∠E＝∠E，∴△EAB∽△ECA，∴＝＝2，∴＝，又∵∠BAC＝90°，∴＝＝，∴＝，∵△BAC∽△ADC，∴m＝＝＝＝.
13. 66 【解析】∵BF为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝22°，∵＝2，∴∠ADC＝2∠BAF＝44°，∵∠DEB为△AED的外角，∴∠DEB＝∠ADC＋∠BAF＝66°.
14. 24＋6 【解析】如解图，连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EOD＋∠OEC＝180°，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四边形OECF为矩形，∴FC＝OE，∵AD为直径，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，∵OC＝AB，CF⊥AD，∴OF＝OD＝3，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2＋FC2＝32＋62＝45，∴AB＝OC＝3，∴ ABCD的周长为12＋12＋3＋3＝24＋6.
第14题解图
15. (1)证明：如解图①，连接AO并延长交BC于点G，易知AG⊥BC，
第15题解图①
∵BD是边AC上的中线，
∴AD＝CD，∵AB∥CE，
∴∠ABD＝∠CED，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED(AAS)，
∴AB＝CE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC，
∵AB＝AC，∴∠AGC＝90°，
∴∠EAG＝90°，
∵OA为⊙O的半径，
∴AE为⊙O的切线；
(2)解：如解图②，过点B作BH⊥AC于点H，连接BO，AO并延长交BC于点G，
第15题解图②
∵AB＝AC，∴AG⊥BC，
∵BC＝6，
∴CG＝BG＝BC＝3，
∵⊙O的半径为5，
∴OG＝＝＝4，
∴AG＝OA＋OG＝5＋4＝9，
∴AC＝AB＝＝＝3，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝，
∵sin∠ACB＝＝，即＝，解得BH＝，
∴CH＝＝＝，
∴DH＝CD－CH＝－＝.
∴BD＝＝＝，
∵∠ADB＝∠FDC，∠BAD＝∠CFD，
∴△ABD∽△FCD，
∴＝，即＝，解得FC＝5.
