杭州竺可桢学校教育集团2023学年第一学期期中阶段性检测（试卷）八年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和学号．
3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
4．考试结束后，上交答题卷．
一、仔细选一选（每小题3分）
1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 5，5，13 B. 1，2，3 C. 5，7，12 D. 11，12，13
3. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF
4. 若，则下列式子中错误的是（ ）
A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
5. 如图是作一个角等于已知角的尺规作图，图中的依据是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的比为 B. 三条边满足关系
C. 三条边的比为 D. 三个角满足关系
7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 某商品的标价比成本价高，根据市场需要，该商品需降价．为了不亏本，应满足（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A. 70 B. 74 C. 144 D. 148
10. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、认真填一填（每小题4分）
11. 命题“如果，则，”的逆命题为____________.
12. 若不等式(a－b)x＜a－b的解集是x＞1，则a，b的大小关系是a________b.
13. 等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为 _______．
14. 等腰三角形有一个角是，则它的顶角度数是 _____．
15. 已知关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是__________．
16. 如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) _____．
三、全面答一答解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
17. 解不等式：．
18. 如图，在中，．
（1）尺规作图在边上求作一点，使，并连接；(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)的条件下，当，时，求的周长．
19. 如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
20. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE形状，并说明理由．
（2）若AO=12，求OE的长．
21. 某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
22. 在中，，M是边中点，于点H，平分．
（1）求证：平分；
（2）过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．
23. 我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）若为整数，且，求的值；
（3）若、满足方程组，求、的取值范围．
24. 如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．
（1）当时，求的面积．
（2）当为何值时，把的面积分成相等的两部分，并求出此时的长；
（3）当何值时，为等腰三角形？
杭州竺可桢学校教育集团2023学年第一学期期中阶段性检测（试卷）八年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和学号．
3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
4．考试结束后，上交答题卷．
一、仔细选一选（每小题3分）
1. 下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据轴对称图形的概念可知：A、B、C都不是轴对称图形，故选D．
考点：轴对称图形．
2. 下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 5，5，13 B. 1，2，3 C. 5，7，12 D. 11，12，13
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴能构成三角形，符合题意；
故选D．
3. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ）
A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF
【答案】B
【解析】
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．
【详解】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以得出△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、由BC∥EF，得出∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
4. 若，则下列式子中错误的是（ ）
A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，依次判断即可．
【详解】A、由于x>y，则x 3>y 3，故A正确；
B、由于x>y，则，故B正确；
C、由于x>y，则x+3>y+3，故C正确；
D、由于x>y，则 3x＜ 3y，故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查不等式基本性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．
5. 如图是作一个角等于已知角的尺规作图，图中的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，根据作图方法可得，则可由证明，从而证明．
【详解】解：由作图方法可知，
∴，
∴，
故选A．
6. 下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（ ）
A. 三个角的比为 B. 三条边满足关系
C. 三条边的比为 D. 三个角满足关系
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为即可．根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、三个角的比为，设最小的角为，则，，，故正确；
B、三条边满足关系，故正确；
C、三条边的比为，，故错误；
D、三个角满足关系，则为，故正确．
故选：C．
7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC长是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【详解】如图，作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝AC·DF＋AB·DE＝DE（AC＋AB）＝9，
∴×2×（AC＋5）＝9，
∴AC＝4
故选：B．
8. 某商品的标价比成本价高，根据市场需要，该商品需降价．为了不亏本，应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．
【详解】解：设成本为x元，
由题意可得：，
整理得：，
∴，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．
9. 如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A. 70 B. 74 C. 144 D. 148
【答案】B
【解析】
【分析】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°，AD=DC，∠1=∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．
详解】解：如图：
过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD=∠DNC=90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND，
∴AM=CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
∴AM=CN=5，DN=7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2=DN2+CN2=72+52=74，
即正方形ABCD的面积为74，
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出△AMD≌△CND，难度适中．
10. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.
故选：B
二、认真填一填（每小题4分）
11. 命题“如果，则，”的逆命题为____________.
【答案】若，则
【解析】
【分析】根据逆命题的定义即可求解.
【详解】命题“如果，则，”的逆命题为若，，则
故填：若，，则.
【点睛】此题主要考查逆命题，解题的关键是熟知逆命题的定义.
12. 若不等式(a－b)x＜a－b的解集是x＞1，则a，b的大小关系是a________b.
【答案】＜
【解析】
【分析】本题需先根据不等式不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，的解集是x＜1，得出a，b的关系，即可求出答案．．
【详解】∵不等式（a﹣b）x＜a﹣b的解集是x＞1，
∴a﹣b＜0，
∴a＜b，
则a与b的大小关系是a＜b．
故答案为＜．
【点睛】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变
13. 等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，构成三角形的条件；根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可．
【详解】解：根据题意，
①当腰长为时，，不能构成三角形；
②当腰长为时，周长，
故答案为：．
14. 等腰三角形有一个角是，则它的顶角度数是 _____．
【答案】6°或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理；因为已知给出的角是顶角还是底角不明确，所以根据等腰三角形的性质分两种情况讨论来求顶角的度数．
【详解】分两种情况；①当角是顶角时，顶角就是；
②当角底角时，顶角．
因此，顶角为或．
故答案为：或．
15. 已知关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是__________．
【答案】-2
【分析】首先解每个不等式，根据不等式组有3个整数解，确定整数解，则可以得到a的范围．
【详解】解:
由①,得:x≥a,
由②,得:x<2.
∴不等式组的解集为:a≤x<2.
∵不等式组有3个整数解，
∴-1,0,1.
∴取值范围是-2
16. 如图，，点在上，且，按下列要求画图：以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第条线段；这样画下去，直到得第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则当时，=_____；求出的α取值范围(用含有n的代数式表示) _____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，求不等式的整数解；根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【详解】解：由题意可知：，，…，
则，，…，
∵，
∴°，，的度数，，…，
∴，
解得．
当时，n<．
由于为整数，故．
∵n<．
∴
故答案为：；．
三、全面答一答解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．
17. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，即可求解．
【详解】解：
去括号，
移项，
合并同类项，
化系数为1，
18. 如图，在中，．
（1）尺规作图在边上求作一点，使，并连接；(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）在(1)的条件下，当，时，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作垂直平分线，勾股定理，垂直平分线的性质．
（1）作的垂直平分线交于点；
（2）先利用勾股定理计算出，然后利用可得到的周长．
【小问1详解】
解：如图，点为所作；
【小问2详解】
在中，，
，
的周长．
19. 如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：
（1）；
（2）垂直平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定；
（1）根据直接证明；
（2）根据（1）的结论可得，,即可得证垂直平分．
【小问1详解】
在和中，
，
∴；
小问2详解】
∵，
∴，，
∴点、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
20. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）若AO=12，求OE的长．
【答案】（1）△CDE是等边三角形，理由见解析；（2）6．
【解析】
【详解】试题分析：（1）△CDE是等边三角形，根据已知条件易证∠C=60°，CD=CE，即可判定△CDE是等边三角形；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所以OA=OB=12，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE的长．
试题解析：（1）△CDE是等边三角形，理由如下，
（2）
考点：等边三角形的判定及性质；直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
21. 某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元
（2）超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元
（3）在的条件下超市不能实现利润元的目标
【解析】
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
（3）设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．
【小问1详解】
设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
【小问2详解】
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
【小问3详解】
依题意有：，
解得：，
，
在条件下超市不能实现利润元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解
22. 在中，，M是边的中点，于点H，平分．
（1）求证：平分；
（2）过点M作的垂线交的延长线于点E，
①求证：；
②是什么三角形？证明你的猜想．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②是等腰直角三角形，证明猜想见解析
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形到性质得到，由余角的性质得到，等量代换得到，根据角平分线得到结论；
（2）①根据得到，由平行线的性质得到，再进行角度的转换即可得到结论；
②根据，于是得到，推出是直角三角形，由于垂直平分，得到得到结论．
【小问1详解】
证明：在中，，
是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
即，
平分；
【小问2详解】
证明：①，
，
，
，
，
；
②△AEB是等腰直角三角形，理由如下：
，
，
是直角三角形，
垂直平分，
，
是等腰三角形，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，理解出题意思，利用（1）中的条件解接下来的题，是解题的关键．
23. 我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．根据上述规定，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）若为整数，且，求的值；
（3）若、满足方程组，求、的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3），
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解不等式组；
（1）根据表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，进行计算即可；
（2）根据，可得 进而得到
（3）解方程组可得 根据表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，即可得到、的取值范围．
【小问1详解】
解：由题可得，，
故答案为，；
【小问2详解】
，且为整数，
，
，且为整数，
，
，
，
解得；
【小问3详解】
解原方程组，得
又∵表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，
24. 如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为秒．
（1）当时，求的面积．
（2）当为何值时，把的面积分成相等的两部分，并求出此时的长；
（3）当为何值时，为等腰三角形？
【答案】24.
25. ,；
26. 当秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形
【解析】
【分析】（1）根据，，根据三角形的面积公式，即可求解．
（2）先由勾股定理求出的斜边，根据中线的性质可知，点在中点时，把的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①；②；③．
【小问1详解】
解：当时，，
的面积为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：中，，，，
根据中线的性质可知，点在中点时，把的面积分成相等的两部分，
∴
解得：，此时；
【小问3详解】
解：为等腰三角形时，分三种情况：
①如果，那么点在上，此时秒；
如果，那么点在上，
作边上的高，
∵
∴
∴
∴
∴
∴秒
②如果，那么点在上，，此时秒；
③如果，那么点在的垂直平分线与的交点处，如图
∵，
∴，
又∵
∴
∴，
∴,
即在的中点，此时，
秒；
综上可知，当秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积公式，三角形的中线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
