2023-2024学年辽宁省阜新市九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x＝x2+7 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣2xy＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝2
3．（3分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
5．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
8．（3分）已知线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22 B．24 C．48 D．44
10．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（共8小题每小题3分，共24分）
11．（3分）一元二次方程2x2﹣3x＝1的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
12．（3分）若，则＝ ．
13．（3分）关于x的方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 ．
14．（3分）若＝，则＝ ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为BC中点，点P为线段BE上一个动点，连接AP，DP，AB＝3，BC＝10，当∠APD＝90°时，AP的长为 ．
16．（3分）桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字﹣4，0，3，5．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
17．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接FC，则∠ACF的度数为 度．
18．（3分）边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 ．
三、解答题
19．（16分）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x+5＝x2﹣25；
（3）x2﹣6x﹣7＝0；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
四、解答题：（共6道题共50分）
20．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
21．（8分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO和AB的长．
22．（8分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．
24．（9分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 件．
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
25．（9分）数学课上，老师出示问题：如图1，将边长为12的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）若DP＝3，求CG的长；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为12的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是4：9，请写出求解过程．
2023-2024学年辽宁省阜新市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分共30分）
1．（3分）两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ）
A．16 B．8 C．2 D．1
【解答】解：设另一个三角形的周长为x，则
4：x＝，
解得：x＝8．
故另一个三角形的周长为8，
故选：B．
2．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x＝x2+7 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣2xy＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝2
【解答】解：A．x2﹣2x＝x2+7，
整理得：﹣2x＝7，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．3x2﹣2xy＝0是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．（x﹣3）（x﹣4）＝2，
整理得：x2﹣7x+10＝0，方程是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
1 2
1 2 3
2 3 4
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，
故选：C．
4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），则点D的坐标为（ ）
A．（，2） B．（2，） C．（，2） D．（2，）
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（0，2）、（﹣1，0），
∴OB＝1，AO＝2，
∴AB＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝，AD∥BC，
∴点D坐标为（，2），
故选A．
5．（3分）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2＝256．
故选：A．
6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵根据l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
解得EF＝4，
∴DF＝DE+EF＝2+4＝6，
故选：C．
7．（3分）方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定
【解答】解：解方程x2﹣9x+18＝0，得x1＝6，x2＝3
∵当底为6，腰为3时，由于3+3＝6，不符合三角形三边关系
∴等腰三角形的腰为6，底为3
∴周长为6+6+3＝15
故选：C．
8．（3分）已知线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，则AC的长度为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【解答】解：∵线段AB＝1，C是线段AB的黄金分割点，
当AC＞BC，
∴AC＝AB＝；
当AC＜BC，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝AB﹣BC＝1﹣＝．
故选：C．
9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22 B．24 C．48 D．44
【解答】解：∵AD∥BE，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC＝DE＝6，
在RT△BCO中，BO＝＝＝4，即可得BD＝8，
又∵BE＝BC+CE＝BC+AD＝10，
∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE＝DE BD＝24．
故选：B．
10．（3分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO＝CO，
在矩形ABCD，∠D＝90°，
∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，
∴CO＝，
∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，
∴△DAC∽△OFC，
∴，
∴，
∴FO＝，
∴EF＝2×＝．
故选：B．
二、填空题（共8小题每小题3分，共24分）
11．（3分）一元二次方程2x2﹣3x＝1的二次项系数为 2 ，一次项系数为 ﹣3 ，常数项为 ﹣1 ．
【解答】解：方程整理得：2x2﹣3x﹣1＝0，
则二次项系数为2，一次项系数为﹣3，常数项为﹣1，
故答案为：2，﹣3，﹣1
12．（3分）若，则＝ ．
【解答】解：∵，
∴设a＝3k，b＝4k，
∴＝＝．
故答案为：．
13．（3分）关于x的方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 c ．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2c＝9﹣8c＞0，
解得：c＜．
故答案为：c＜．
14．（3分）若＝，则＝ ．
【解答】解：设a＝2k，b＝3k，
∴＝，
故答案为．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，点E为BC中点，点P为线段BE上一个动点，连接AP，DP，AB＝3，BC＝10，当∠APD＝90°时，AP的长为 或3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，AB＝CD＝3，
设BP＝x，则CP＝10﹣x，
在Rt△ABP中，
AP2＝AB2+BP2＝9+x2，
在Rt△DCP中，
DP2＝CP2+DC2＝9+（10﹣x）2，
∵∠APD＝90°，
在Rt△APD中，
AD2＝AP2+DP2，
100＝9+x2+9+（10﹣x）2，
解得：x1＝1，x2＝9，
∵点E为BC中点，点P为线段BE上一个动点，
∴BP＝1，
∴AP＝．
∵点E为BC中点，点P为线段BE上一个动点，
∴BP＝9，
∴AP＝．
故答案为：或3．
16．（3分）桌面上放有四张背面完全一样的卡片，每张卡片正面分别标有数字﹣4，0，3，5．将四张卡片背面朝上，洗匀后随机抽取两张，则抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ．
【解答】解：用列表法列举出所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果，其中和为奇数的有7种，
所以抽出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是，
故答案为：．
17．（3分）如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF＝DC，连接FC，则∠ACF的度数为 15 度．
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF＝DC，
∴∠BCD＝60°，AB∥CD，∠DFC＝∠DCF，
∵DF⊥AB于点E，
∴∠FDC＝90°，
∴∠DFC＝∠DCF＝45°，
∵菱形ABCD中，∠DCA＝∠ACB，
∴∠DCA＝∠ACB＝30°，
∴∠ACF的度数为：45°﹣30°＝15°．
故答案为：15°．
18．（3分）边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为 4 ．
【解答】解：过C作CD⊥AB交AB延长线与D，如图：
∵∠CBD＝180﹣90°﹣60°＝30°，∠D＝90°，
∴CD＝BC＝×4＝2，
∴△ABC的面积为AB CD＝×4×2＝4，
故答案为：4．
三、解答题
19．（16分）请选择适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x+5＝x2﹣25；
（3）x2﹣6x﹣7＝0；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）．
【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x+5＝x2﹣25；
方程化为一般式为x2﹣x﹣30＝0，
（x﹣6）（x+5）＝0，
x﹣6＝0或x+5＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣5；
（3）x2﹣6x﹣7＝0，
（x﹣7）（x+1）＝0，
x﹣7＝0或x+1＝0，
所以x1＝7，x2＝﹣1；
（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2），
3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣6﹣x＝0，
所以x1＝2，x2＝3．
四、解答题：（共6道题共50分）
20．（8分）已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
【解答】解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21．（8分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO和AB的长．
【解答】解：
∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，
∴＝，解得OA＝6，
∴AB＝OA+OB＝4+6＝10．
22．（8分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
【解答】解：（1）设袋子中白球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的解，
∴袋子中白球有2个；
（2）画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，
∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由．
【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2．则
（5﹣t）×2t＝4，
整理，得
t2﹣5t+4＝0，
解得 t1＝1，t2＝4（舍去）．
答：如果P、Q两点同时出发，那么1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；
（2）△PBQ的面积能不能等于7cm2．理由如下：
设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2．则
（5﹣x）×2x＝7，
整理，得
x2﹣5x+7＝0，
则△＝25﹣28＝﹣3＜0，
所以该方程无解．
即：△PBQ的面积能不能等于7cm2．
24．（9分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 100 件．
（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
当销售单价为90元时，
销售量为：（件），
故答案为：100；
（2）设售价为x元，由题意可，
，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵使顾客获得更多的实惠，
∴x＝70，
答：销售单价应定为70元；
25．（9分）数学课上，老师出示问题：如图1，将边长为12的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．
（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；
（2）若DP＝3，求CG的长；
（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为12的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是4：9，请写出求解过程．
【解答】（1）解：△CPG和△FQG都与△DEP相似．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠D＝∠A＝90°，
由折叠知：∠EPG＝∠A＝90°，
∴∠DPE+∠CPG＝90°，∠DPE+∠DEP＝90°，
∴∠DEP＝∠CPG，
∴△DPE∽△CGP．
（2）根据折叠的性质，得AE＝EP，
∵DC＝12，DP＝3，
∴PC＝9，
设DE＝x，则AE＝EP＝12﹣x，
在Rt△DEP中，EP＝，
∴12﹣x＝，
解得：x＝，
∴DE＝，
∵△DPE∽△CGP，
∴，
∴CG＝PD ＝3×＝．
故答案为：．
（3）由折叠知：∠A＝∠EPF，AE＝PE，AF＝PF，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
AB＝AC＝BC＝12，
∵∠B+∠BEP＝∠EPC，∠EPC＝∠EPF＝∠FPC，∠B＝∠EPF，
∴∠BEP＝∠FPC，
∴△BEP∽△CPE，
∴，
∵△BEP与△CPF面积的比是4：9，
∴PE：PF＝2：3，
设PE＝2x，则AE＝2x，PF＝AF＝3x，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣2x，FC＝AC﹣AF＝12﹣3x，
∴BP＝FC＝（12﹣3x）＝8﹣2x，
∴PC＝BC﹣BP＝12﹣（8﹣2x）＝4+2x，
∵，
∴，
解得：x＝，
∴BP＝8﹣2×＝，
∴当 PC＝ 或 BP＝时△CPG 和△DEP 面积的比为 4：9．
故答案为：当 PC＝ 或 BP＝时△CPG 和△DEP 面积的比为 4：9．
