2023~2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试卷
考试时间：120分钟 卷面总分：150分
命题：冯婷婷 审核：钟文剑
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列方程中，属于一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2.已知的半径为3，当时，点与的位置关系是（ ）
A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.不能确定
3.下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A. B. C. D.
4.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
5.如表是几组二次函数的自变量与函数值的对应值
1 1.1 1.2 1.3 1.4
0.04 0.59 1.16
那么方程的一个解的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按5：3：2的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（ ）
A.8分 B.8.1分 C.8.2分 D.8.3分
7.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深寸，锯道尺（1尺=10寸），则这根圆柱形木材的直径是（ ）
A.12寸 B.13寸 C.24寸 D.26寸
8.已知点，，均在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）
9.已知是方程的一个根，则另一个根是_____.
10.如图，点把线段的黄金分割点，且.如果，那么_____（结果保留一位小数）.
11.若圆锥的底面半径长，母线长，则该圆锥的侧面积为_____.（结果保留）
12.二次函数的图象与轴只有一个公共点，则的值为_____.
13.如图，，分别为的两条弦，连接，，点为的延长线上一点，，则的度数为_____.
14.如图，在直角坐标系中，点，，，则的内切圆圆心的横坐标为_____.
15.如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示.升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为
2.25米.将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与的距离为_____.
图1 图2
16.如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接，.当时，的长为_____.
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17.（本题满分6分）
解方程：（1） （2）
18.（本题满分6分）
已知线段、满足，且.
（1）求、的值；
（2）若线段是线段、的比例中项，求的值.
19.（本题满分8分）
如图，在给定的圆上依次取点，，，.连结，，.设，交于点.
（1）求证：.
（2）若的度数是，，求的度数.
20.（本题满分8分）
王师傅开车带着儿子去参观我省举办的“奋进新征程——乡村振兴成果展”，他的车前有两辆车即将行驶到有信号灯的路口，该路口的信号灯分别为：直行、左转和右转.王师傅给儿子提出下列两个问题，请你帮助王师傅的儿子解答：
（1）在我们车前面的第一辆车直行的概率是______；
（2）在我们车前面的两辆车向同一个方向行驶的概率是多少，请用列表或画树状图的方法说明.（注：为了方便解答，我们把“直行”“右转”和“左转”分别用“直”“右”和“左”表示）
21.（本题满分8分）
已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如表：
… 0 1 2 3 4 …
… 0 5 …
（1）画出函数图象，并求出二次函数的解析式；
（2）当时，随的增大而______；
（3）当时，的取值范围为______.
22.（本题满分10分）
为弘扬中华优秀传统文化，校学生处在八、九年级各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分.竞赛成绩如图所示：
众数 中位数 平均数 方差
八年级竞赛成绩 7 8 8 1.88
九年级竞赛成绩 8 1.56
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：表中的______，______；
（2）该校九年级学生共有1900人，若九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有多少人？
（3）现要给成绩突出的年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请说明理由（写出一条理由即可）.
23.（本题满分10分）
如图，已知内接于，为直径.
（1）若的半径为，且，求阴影部分的面积；
（2）若的平分线交于点，点为延长线上的一点，且，判断与的位置关系，并说明理由.
24.（本题满分10分）
公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔8月份到10月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从8月份到10月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
25.（本题满分10分）
如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”.
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值.
26.（本题满分12分）
如图，抛物线上的点，的坐标分别为，，抛物线与轴负半轴交于点，点为轴负半轴上一点，且，连接、.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接、，当时，求点的横坐标；
（3）将抛物线沿轴的负方向平移个单位长度，得到新抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，在抛物线平移的过程中，
①当点在线段上时，求的值；
②当的值最小时，直接写出的值.
备用图
27.（本题满分14分）
如图①，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作.
（1）当点坐标为时，则与直线的位置关系为______；
（2）当与三边共有三个公共点时，则点的横坐标应满足的条件为______；
（3）如图②，当点在第二象限时，且与轴交于、两点（在的左边），以为对称轴，将下方的翻折到的上方，作的直径交于点.
①如图③，当翻折后的弧经过圆心时，直接写出点的坐标；
②当翻折后的弧把直径分成两段时，求点的坐标.
图① 图② 图③
备用图① 备用图②
2023~2024学年度第一学期期中考试
九年级数学试卷答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B D B B D D
二、填空题
9.4 10.1.2. 11.. 12.9
13.144 14.1 15.6
16.或.
解：如图：
∵，∴
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴点、、在同一条直线上，
由旋转得：
，
分两种情况：
当点在上，
在中，，
∴，
当点在的延长线上，
在中，，
∴，
综上所述：当时，的长为或，
故答案为：或.
三、简答题
17.（1），； （2），；
18.（1）； （2）
19.（1）证明：∵，
∴，
∴（两边都减去），
∴，
由圆周角定理得：，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数是，
∵，
∴，
∴的度数是.
20.解：（1）.
故答案为：.
（2）根据题意，列表如下：
二 直 右
直 （直，直） （直，右） （直，左）
右 （右，直） （右，右） （右，左）
左 （左，直） （左，右） （左，左）
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中，两辆车向同一方向行驶的结果有3种，分别是（直，直），（右，右）和（左，左），
∴.
21.解：（1）描点、连线，画出图形如图所示.
设二次函数的表达式为，
∵二次函数经过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为，即；
（2）观察函数图象可知：当时，随的增大而减小；
故答案为：减小；
（3）当时，的取值范围为.
故答案为：.
22.解：（1）九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数，
九年级竞赛成绩从小到大排列，第25个和第26个都为8分，所以中位数，
故答案为：8，8；
（2）（人），
答：九年级学生都参加传统文化知识竞赛，请估计满分有228人；
（3）如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖；综上所述，应该给九年级颁奖.
23.解：（1）连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴阴影部分的面积；
（2）与相切；
理由：连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴与相切.
24.解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为.
（2）设该品牌头盔的实际售价为元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元.
25.解：（1），，或，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2），或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为、，
根据根与系数的关系得，
解得，或，
∴的值为13或.
26.解：（1）将，代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）过点作轴于点，交线段于点，
设直线的解析式为，
将，代入，得；
，解得：
∴直线的解析式为：；
设点的横坐标为，
则，点，
∴，
∵，
解得，
∴，
故答案为：；
（3）①由题意得，点、、的坐标分别为：、、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
故答案为：8；
②设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下：
由平移的性质可知，，
∴的值最小就是最小值，
由题意得，点在直线上运动，
作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，
∵点关于直线对称的点是点，
∴，
∴，
设直线解析式是：，
将点，的坐标得，直线的解析式是：，
令，解得：，
∴，
∴平移的距离是.
27.解：（1）如下图过点作交直线于点.
∵，，，直线与轴相交于点，以为圆心，长为半径作，
∴，
∴，即圆心到直线的距离等于半径，
∴与直线相切.
（2）如下图与相切于点时，有两个公共点，点继续向右运动将会出现三个公共点.
∵，
∴，
∵，，，直线与轴相交于点，以为圆心，长为半径作，
∴，，，，，
∴，
∴，即，
∴.
设，则，
∵，
∴，即，
解得.
如下图，点继续向右运动直至和相切时，会有四个公共点，此时，即，
继续向右会出现5个公共点；如下图继续运动直至和直线交于点时，有4个公共点，连接，作垂直直线于点，
∵，
∴，，，
∵，
∴，解得.
继续向右运动将持续有三个公共点.
综上所述分析，当或时，与三边共有三个公共点，
故答案为：或.
（3）①如图过点作的垂线交于点，交弧于点.
∵直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作，
∴，
∴.
∵点在第二象限，且在直线上，下点的坐标为，
故答案为：.
②弧翻折后和直径交于点.
情况一：如下图当时，画出沿翻折后的完整，取中点，有等腰三角形。
直线与轴相交于点，与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作，
∴.
∵，
∴，
设圆半径为，则，，
∴，
∴，
∵.
∴，解得，
∴，即，
∴；
情况二：如下图当时，
画出沿翻折后的完整，取中点，有等腰三角形，
∵直线与轴相交于点与线段相交于点，为直线上一点，以为圆心，长为半径作，
∴，
∵，
∴，
设圆半径为，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴.
即，
∴，
综上所述，点坐标为或.
