2023—2024学年度第一学期期中质量检测
九年级数学答案
一、选择题（本大题共8个小题.每小题2分，计16分.）
1.C 2. A 3.C 4.B 5.A 6. C 7.B 8.D
二、填空题（本题共8个小题.每小题3分，计24分.）
9. 12 10. 20 11. 1501（1+x）2=1815 12. -2 13.8.5 14.①，②④（填对一个得1分） 15. 或 （填对一个得2分） 16.
三、解答题（本题共3个题.17题16分；18题7分；19题7分；计30分.）
17.（1） x1=-3 x2=1 （2）
（3） （4）x1=5 x2=65 （每题4分.结果错1个扣1分)
18.解：（1）；(2分)
（2）列表如下：
A B C D
A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A)
B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B)
C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C)
D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D)
(表格或树状图3分))
由上表可知共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相同.这两名乘客选择不同闸口通过的结果有12种，(1分)
∴P（两名乘客选择不同闸口通过）= ． (1分)
19.解：(1)100+5×10=150（件）答：若降价5元，平均每天的销售量是150件；(2分)
(2)设每件商品降价x元，由题意得，（100+10x）（40-x）=6000(2分)
化简得x2-30x+200 =0，
解得x1=10,x2=20 (2分)
答：当每件商品降价10或20元时，该商店每天销售利润为6000元．(1分)
四、解答题（本题共2个题，20题8分，21题每8分，计16分.）
20.（1）证明：在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC=90°，OB=OC，
∠AOB=∠DOC ∴△AOB≌△DOC(ASA) ∴OA=OD
又∵E、F分别是AO、DO的中点 ∴OE=OF；（4分）
（2）∵OB=OC，OE=OF
∴四边形BECF是平行四边形，BC=2OB,EF=2OE
∵E为AO的中点，∠ABO=90°，
∴EB=EO=EA
∵∠A=30°
∴∠BOE=60°
∴△BOE是等边三角形，
∴OB=OE
∴BC=EF
∴四边形BECF是矩形.（4分）
21.解：（1）设裁去的小正方形的边长为xcm，根据题意得：
（32-2x）(14-2x)=280，
整理，得，
解得 ．
答：裁去的正方形的边长是2cm．(4分)
能．
设左边的小正方形的边长为xcm，根据题意得：
（14-2x） （32-2x）=180
解得（不合题意，舍去）
∴盒子体积为：180×1=180（cm3）.(4分)
五、探究题（本题14分.）
22.解：(1)①PD =PB(2分)
②没有发生变化.
理由如下：延长BP到点E.
由①得，PD =PB ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠3=2∠2
由旋转得性质得：PD =PQ ∴PQ=PB ∴∠4=∠5 ∴∠6=2∠4
∠3+∠6=2（∠2+∠4）=90°∴∠DPQ=90°(4分)
③过点P作PE⊥AC，交AB于点E，过点E作EF⊥BD于点F
∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABD=∠CAB=45°，AC⊥BD
∵PE⊥AC，EF⊥BD ∴∠APE=∠EFB=90°
∴△APE和△EFB都是等腰直角三角形.∴AP=PE
∠PAE=∠PEA=45° EB=EF
由上可知：四边形PEFO是矩形
∴OP=EF∴EB=OP
由②可知∠4=∠5， PQ=PB ，∠PAQ=180°-45°=135°同理可知∠PEB=135°
△PAQ≌△PEB（AAS）∴AQ=EB AQ=OP (4分)
（2）延长BP到点E，连接DQ.
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，DO=OB,DA=DC，∠ABC =∠ADC
∴PD =PB
∴ ∠1=∠2 ∴ ∠3=2∠2
由旋转得性质得：PD =PQ ∴PQ=PB ∴∠4=∠5 ∴∠6=2∠4
由菱形的轴对称性可知：∠ABD=∠CBD= ∠ABC，
∵∠ABC=60°∴∠ABD=30°即∠2+∠4=30°
∴∠3+∠6=2（∠2+∠4）=60°∴∠DPQ=90° ∴ △PDQ是等边三角形
∴ PD=DQ ∠PDQ=60°
∵∠ADC=60°∴ ∠ADQ=∠CAP ∴△ADQ≌△CDP(SAS)
∴AQ=CP (4分)
(此题有多种解答方法,学生的方法只要符合题意均得分)2023—2024学年度第一学期期中质量检测
九年级数学
一、选择题（本大题共8个小题.每小题的4个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内.）
1.下列方程是一元二次方程的是( ▲ )
A. B. C. D.
2.关于x的一元二次方程 的根的情况是( ▲ )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.下列命题中，是真命题的是 ( ▲ )
A．矩形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直且相等 D．平行四边形的对角线相等
4.用配方法解一元二次方程 时,下列变形正确的( ▲ )
A． B． C． D．
5.如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，点B的坐标为（0，-3），则点A的坐标为( ▲ )
A． B． C．（-6,0） D．（6,0）
(
第
5
题图
) (
第
7
题图
) (
第
6
题图
)
6.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB=4,BC=8，则AE的长为( ▲ )
A．3 B．4 C．5 D．
7.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为( ▲ )秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？
A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对
8.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，给出下列结论：① PD= EC；② 四边形PECF的周长为8；
③ △APD 一定是等腰三角形；④ AP=EF；⑤ EF的最小值为 .其中正确结论的序号为( ▲ )
A. ①②④ B. ①③⑤
C. ②③④ D. ①②④⑤
(
第
8
题图
)
二、填空题（本题共8个小题.请将正确的答案填写在横线上.）
9.一个等腰三角形的两条边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是 ▲ .
10.一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a大约是 ▲ 个.
11.某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ▲ .
12.已知关于x的一元二次方程 的一个根为0，则m = ▲ .
13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点，CE=7，点F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为 ▲ .
(
第
13
题图
) (
第
16
题图
)
14.已知关于x的一元二次方程 .b、c可以分别取下列四组数值：
① ② b=3，c=5 ③ b=3，c=-1 ④ b=2,c=2；其中使这个方程有两个相等的实数根的是 ▲ ；没有实数根的是 ▲ .（只填序号）
15.在正方形ABCD中，AB=8，点F在边AD上，作点A关于BF的对称点G，连接AG并延长交CD于点E，若点E将CD分为1:3的两部分，则EG= ▲ .
16.如图，已知矩形ABCD的面积为1．分别为的中点，若四边形的面积为，分别为的中点，四边形的面积记为，…，依此类推，第n个四边形的面积记为，则 ▲ .
三、解答题（本题共3个题.解答题应写出必要的文字说明、演算步骤．）
17.解方程：(用适当的方法解方程)
（1）
(
此处不答题
)
（2）
(
此处不答题
)
（3）
(
此处不答题
)
（4）
(
此处不答题
)
18.随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷.为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口.某车站有四个出入闸口，分别记为A、B、C、D.
（1）一名乘客通过该站闸口时，选择C闸口通过的概率是 ▲ .
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法，求这两名乘客选择不同闸口通过的概率.
(
此处不答题
)
19.“杭州亚运·三人制篮球”赛将于9月25-10月1日在某县举行，某商店抓住商机，销售某款篮球服6月份平均每天售出100件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出10件.
(1)若降价5元，求平均每天的销售量是多少件？
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元
(
此处不答题
)
四、解答题(解答题应写出必要的文字说明、演算步骤．)
20.如图，AD和BC相交于点O，∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,点E、F分别是AO、DO的中点.
（1）求证：OE=OF
（2）当∠A=30°时，猜测四边形BECF的形状，并证明你的结论.
(
此处不答题
)
(
第
20
题图
)
21.有一块长32cm，宽14cm的矩形铁皮.
(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为280cm2的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长.
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为180cm2 的有盖盒子 如果能，请求出盒子的体积;如果不能，请说明理由.
(
第
21
题图
)
(
此处不答题
)
五、探究题（本题14分）
22.【问题探究】(1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接 PD、PB.
①直接写出：PD ▲ PB.（填数量关系）
②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由;
③探究AQ与OP的数量关系,并说明理由.
【迁移探究】(2)如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC =60°，其他条件不变，试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由.
(
第
22
题图
)
